DUET Admission 2027 Model Exam 057 - সিভিল ইঞ্জিনিয়ারিং (CE)
Civil Engineering · আসন সংখ্যা: 120
১ম পত্র: নন-টেকনিক্যাল (পদার্থবিজ্ঞান, রসায়ন, গণিত ও ইংরেজি)
পদার্থবিজ্ঞান (৪০) · রসায়ন (৪০) · গণিত (৪০) · ইংরেজি (৩০)বিভাগ-ক: বহু নির্বাচনি প্রশ্ন (MCQ)
৪০টি প্রশ্ন × ১.৫ নম্বর = ৬০ নম্বর (নেগেটিভ মার্ক ০.২৫)kg block, μ_s=0.2, g=10 হলে limiting friction কত?
f_max=μ_smg=0.2×5×10=10 N।
kg block, μ_k=0.1, g=10 হলে kinetic friction কত?
f_k=μ_kmg=0.1×5×10=5 N।
Applied force static friction-এর চেয়ে কম হলে block কী করবে?
Static friction applied force-কে balance করে যতক্ষণ limiting value অতিক্রম না করে।
Static friction কি সবসময় μ_sN?
Static friction self-adjusting: 0≤f_s≤μ_sN।
Block-কে চলাতে minimum horizontal force কী?
Motion শুরু করতে limiting static friction অতিক্রম করতে হয়।
একটি block slide করার পরে friction কোন coefficient ব্যবহার করে?
Sliding body-এর জন্য kinetic coefficient μ_k।
Frictionless inclined plane-এ block-এর acceleration কত?
Plane বরাবর component mg sinθ, তাই a=g sinθ।
Inclined plane-এ normal reaction কত?
Weight-এর normal component mg cosθ।
Rough inclined plane-এ friction-এর direction downward sliding tendency-এর ক্ষেত্রে কী?
Block নিচে নামতে চাইলে friction plane বরাবর উপরের দিকে কাজ করে।
Block plane-এর উপর উপরে উঠলে friction কোন দিকে?
Friction motion-এর বিপরীত, তাই downward along plane।
Na এর প্রথম আয়নীকরণ শক্তির প্রবণতা কোনটি?
Na এর কার্যকর আকর্ষণ বল দ্বারা এর আয়নীকরণ বিভব নির্ধারিত হয়।
প্রধান কোয়ান্টাম সংখ্যা \(n = 7\) এবং সহকারী কোয়ান্টাম সংখ্যা \(l = 6\) (7i) এ মোট অরবিটাল ও সর্বোচ্চ ইলেকট্রন ধারণক্ষমতা কত?
অরবিটাল সংখ্যা \(2l+1 = 13\) এবং সর্বোচ্চ ইলেকট্রন সংখ্যা \(2(2l+1) = 26\)।
VSEPR তত্ত্বানুসারে \(\text{BeCl₂}\) অণুর জ্যামিতিক আকৃতি কোনটি?
\(\text{BeCl₂}\) এ 2টি বন্ধনজোড় ও 0টি মুক্তজোড় ইলেকট্রন থাকায় এর আকৃতি Linear।
Al এর পারমাণবিক ব্যাসার্ধ সংশ্লিষ্ট পর্যায়ের অন্যান্য মৌলের তুলনায় কেমন?
একই পর্যায়ে বাম থেকে ডানে কার্যকর নিউক্লীয় চার্জ বাড়ে তাই ব্যাসার্ধ হ্রাস পায়।
N এর পারমাণবিক ব্যাসার্ধ সংশ্লিষ্ট পর্যায়ের অন্যান্য মৌলের তুলনায় কেমন?
একই পর্যায়ে বাম থেকে ডানে কার্যকর নিউক্লীয় চার্জ বাড়ে তাই ব্যাসার্ধ হ্রাস পায়।
S এর পারমাণবিক ব্যাসার্ধ সংশ্লিষ্ট পর্যায়ের অন্যান্য মৌলের তুলনায় কেমন?
একই পর্যায়ে বাম থেকে ডানে কার্যকর নিউক্লীয় চার্জ বাড়ে তাই ব্যাসার্ধ হ্রাস পায়।
He এর প্রথম আয়নীকরণ শক্তির প্রবণতা কোনটি?
He এর কার্যকর আকর্ষণ বল দ্বারা এর আয়নীকরণ বিভব নির্ধারিত হয়।
Zn এর প্রথম আয়নীকরণ শক্তির প্রবণতা কোনটি?
Zn এর কার্যকর আকর্ষণ বল দ্বারা এর আয়নীকরণ বিভব নির্ধারিত হয়।
mL 0.05 M \(\text{NaOH}\) দ্রবণ প্রস্তুত করতে কত গ্রাম দ্রব প্রয়োজন হবে? (M = 40.0 g/mol)
\[W = \frac{S \cdot M \cdot V_{mL}}{1000} = \frac{0.05 \times 40.0 \times 100}{1000} = 0.2\text{ g}\]
mL 0.05 M \(\text{KMnO₄}\) দ্রবণ প্রস্তুত করতে কত গ্রাম দ্রব প্রয়োজন হবে? (M = 158.0 g/mol)
\[W = \frac{S \cdot M \cdot V_{mL}}{1000} = \frac{0.05 \times 158.0 \times 100}{1000} = 0.79\text{ g}\]
(cos θ + i sin θ)(cos θ - i sin θ) = কত?
দুইটি সংখ্যা পরস্পরের conjugate এবং modulus 1, তাই গুণফল = |z|² = 1।
n ≥ 2 এর জন্য n-তম roots of unity-এর যোগফল কত?
roots of unity সমান দূরত্বে unit circle-এ থাকে, তাই তাদের যোগফল 0 হয়।
|z - i| = |z + i| হলে z কোথায় অবস্থিত?
(0, 1) ও (0, -1) বিন্দু থেকে সমদূরত্বের locus হলো real axis (x-অক্ষ), তাই z purely real।
P3 = 8! / (5)! — এই সম্পর্কটি সঠিক?
8P3 এর সংজ্ঞা অনুযায়ী এটি সঠিক।
p(x)=x²-3x+2 হলে p(2) কত?
p(2) = 2² - (2+1)2 + 2 = 0।
x² - 5x + 6 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে (α³ + β³) এর মান কত?
α + β = 5, αβ = 6। α³ + β³ = (α + β)³ - 3αβ(α + β) = 5³ - 3(6)(5) = 125 - 90 = 35।
i² এর মান কত?
i হলো imaginary unit, যেখানে i = √(-1)। তাই i² = -1।
z - z̄ (z = a + bi) সবসময় কী হয়?
z - z̄ = 2i·Im(z)। Im(z) = 0 না হলে মান purely imaginary; Im(z) = 0 হলে শূন্য।
দুইটি complex number z₁ ও z₂ এর জন্য |z₁z₂| কত?
modulus গুণফলের ক্ষেত্রে গুণ হয়ে যায়: |z₁ z₂| = |z₁| |z₂|।
+ i এর argument (amplitude) কত?
tan θ = Im/Re = 1/1 = 1, এবং z প্রথম চতুর্ভাগে, তাই θ = 45°।
She ___ for two hours before the guests arrived.
Before ... arrived-এ duration + past perfect continuous।
My father ___ help every afternoon.
Third person singular subject-এ present indefinite tense-এ verb শেষে s/es যোগ হয়।
Fill in the blank with the correct verb conforming to Subject-Verb Agreement:
'Neither the lead project supervisor nor the mechanical apprentices #1 ___ present in the workshop.'
'Neither ... nor' দ্বারা যুক্ত দুটি Subject-এর ক্ষেত্রে Verb সর্বদা নিকটবর্তী Subject (apprentices - Plural) অনুযায়ী নির্ধারিত হয়।
Select the most accurate synonym for the word 'OBSTINATE' in context sample #5:
'OBSTINATE'-এর অর্থ 'একগুঁয়ে বা অনমনীয়'। এর সবচেয়ে যথার্থ সমার্থক শব্দ হলো 'Stubborn'。
Select the most accurate synonym for the word 'GREGARIOUS' in context sample #11:
'GREGARIOUS'-এর অর্থ 'মিশুক বা সামাজিক'। এর সবচেয়ে যথার্থ সমার্থক শব্দ হলো 'Sociable'。
Select the most accurate synonym for the word 'UBIQUITOUS' in context sample #20:
'UBIQUITOUS'-এর অর্থ 'সর্বব্যাপী বা সর্বত্র বিদ্যমান'। এর সবচেয়ে যথার্থ সমার্থক শব্দ হলো 'Omnipresent'。
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The Vice-Chancellor congratulated the winning team ___ their outstanding innovation.'
'congratulate' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'on' বসে (অর্থ: অভিনন্দন জানানো)।
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The top-ranking graduate seemed destined ___ a distinguished career in robotics.'
'destined' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'for' বসে (অর্থ: নির্ধারিত)।
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The professor was exceptionally fond ___ mentoring ambitious young innovators.'
'fond' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'of' বসে (অর্থ: অনুরক্ত বা প্রিয়)।
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'Poorly grounded metallic chassis is liable ___ deliver dangerous electrical shocks.'
'liable' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'to' বসে (অর্থ: দায়ী বা ঝুঁকিপূর্ণ)।
বিভাগ-খ: সংক্ষিপ্ত ও বর্ণনামূলক লিখিত প্রশ্ন (Written/CQ)
১৮টি প্রশ্ন × ৫ নম্বর = ৯০ নম্বরএকটি বস্তুকে অনুভূমিকের সাথে \(30^\circ\) কোণে \(40\,\text{m/s}\) বেগে নিক্ষেপ করা হলো (\(g = 9.8\,\text{m/s}^2\))।
(ক) বস্তুটির সর্বাধিক উচ্চতা (\(H\)) এবং উড্ডয়ন কাল (\(T\)) নির্ণয় করো।
(খ) বস্তুটির অনুভূমিক পাল্লা (\(R\)) কত হবে? [মান: ৫]
গণনা:
- \(u = 40\,\text{m/s}, \alpha = 30^\circ\)
(ক) সর্বাধিক উচ্চতা: \[H = \frac{u^2 \sin^2\alpha}{2g} = \frac{40^2 \times \sin^2(30^\circ)}{2 \times 9.8} = \frac{1600 \times 0.25}{19.6} = \frac{400}{19.6} = \mathbf{20.41\,\text{m}}\]
উড্ডয়ন কাল: \[T = \frac{2 u \sin\alpha}{g} = \frac{2 \times 40 \times 0.5}{9.8} = \frac{40}{9.8} = \mathbf{4.08\,\text{s}}\]
(খ) অনুভূমিক পাল্লা: \[R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g} = \frac{1600 \times \sin(60^\circ)}{9.8} = \frac{1600 \times 0.866}{9.8} = \frac{1385.64}{9.8} = \mathbf{141.39\,\text{m}}\]
পৃষ্ঠটান (Surface Tension)-এর সংজ্ঞা ও মাত্রা সমীকরণ লেখ। একটি কৈশিক নলে পানির আরোহণ উচ্চতার সমীকরণ \(h = \frac{2 T \cos\theta}{r \rho g}\) প্রতিপাদন করো। [মান: ৫]
সংজ্ঞা: তরলের মুক্ত পৃষ্ঠে অঙ্কিত একক দৈর্ঘ্যের কাল্পনিক রেখার সাথে লম্বভাবে এবং পৃষ্ঠের স্পর্শক বরাবর যে বল ক্রিয়া করে তাকে তরলের পৃষ্ঠটান বলে: \(T = F / L\) (একক \(\text{N/m}\), মাত্রা \([MT^{-2}]\))।
কৈশিক আরোহণ প্রতিপাদন:
\(r\) ব্যাসার্ধের নলের পরিধিতে পৃষ্ঠটানজনিত ঊর্ধ্বমুখী বল: \[F_{up} = T \times (2\pi r) \times \cos\theta\]
উত্থিত \(h\) উচ্চতার পানি স্তম্ভের ওজন (নিম্নমুখী বল): \[W = m g = (\pi r^2 h \rho) g\]
ভারসাম্য অবস্থায় (\(F_{up} = W\)): \[2\pi r T \cos\theta = \pi r^2 h \rho g \implies \mathbf{h = \frac{2 T \cos\theta}{r \rho g}}\]
তাপগতিবিদ্যার ১ম সূত্রটি বিবৃতি ও গাণিতিক রূপ লেখ। একটি সিস্টেমে \(500\,\text{J}\) তাপ সরবরাহ করায় সিস্টেম কর্তৃক সম্পাদিত বাহ্যিক কাজ \(300\,\text{J}\) হলে এর অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন (\(\Delta U\)) কত হবে? [মান: ৫]
বিবৃতি: যখন কাজ তাপে বা তাপ কাজে রূপান্তরিত হয়, তখন কাজ ও তাপ পরস্পর সমানুপাতিক (\(W \propto Q\))।
গাণিতিক রূপ: \(\Delta Q = \Delta U + \Delta W\)।
গণনা:
- \(\Delta Q = +500\,\text{J}\) (গৃহীত তাপ)
- \(\Delta W = +300\,\text{J}\) (সম্পাদিত কাজ)
\[\Delta U = \Delta Q - \Delta W = 500 - 300 = \mathbf{+200\,\text{J}}\]
অভ্যন্তরীণ শক্তি \(200\,\text{J}\) বৃদ্ধি পায়।
দ্য ব্রগলি (de Broglie) তরঙ্গদৈর্ঘ্যের সমীকরণ \(\lambda = \frac{h}{p}\) প্রতিপাদন করো। \(100\,\text{V}\) বিভব পার্থক্যের মধ্য দিয়ে ত্বরান্বিত একটি ইলেকট্রনের দ্য ব্রগলি তরঙ্গদৈর্ঘ্য কত? (\(h = 6.63 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}, m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\text{kg}, e = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}\)) [মান: ৫]
প্রতিপাদন: আইনস্টাইনের সমীকরণ \(E = m c^2 = h \nu = h \frac{c}{\lambda} \implies \lambda = \frac{h}{m c} = \frac{h}{p}\)।
ইলেকট্রনের তরঙ্গদৈর্ঘ্য:
গতিশক্তি \(K = e V = \frac{p^2}{2m} \implies p = \sqrt{2 m e V}\)।
\[\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m e V}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times (9.11 \times 10^{-31}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times 100}}\]
\[\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2.9152 \times 10^{-47}}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{5.40 \times 10^{-24}} = 1.228 \times 10^{-10}\,\text{m} = \mathbf{0.123\,\text{nm (1.23 \AA)}}\]
ভূ-পৃষ্ঠ হতে কত উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) এর মান ভূ-পৃষ্ঠের মানের 64% হবে? (পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(R = 6400 ext{ km}\))
প্রদত্ত: \(g_h = 0.64 g\), পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(R = 6400 ext{ km}\)।
উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের সূত্র: \[g_h = g \left( rac{R}{R + h}
ight)^2 \implies 0.64 = \left( rac{R}{R + h}
ight)^2\]
উভয়পক্ষে বর্গমূল নিয়ে: \[0.8 = rac{R}{R + h} \implies 0.8(R + h) = R \implies 0.8h = 0.2R\]
\[h = rac{0.2}{0.8} R = rac{1}{4} R = rac{6400}{4} = 1600 ext{ km}\]
মহাকর্ষ বল ও দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতিক সম্পর্ক প্রয়োগ।
ফ্যারাডের তড়িৎ বিশ্লেষণের ১ম সূত্রটি লেখ। কপার সালফেট দ্রবণে \(2\,\text{A}\) কারেন্ট \(30\) মিনিট ধরে চালনা করলে ক্যাথোডে কত গ্রাম তামা জমা হবে? (\(\text{Cu}\)-এর তড়িৎ রাসায়নিক তুল্যাঙ্ক \(Z = 0.000329\,\text{g/C}\)) [মান: ৫]
১ম সূত্র: তড়িৎ বিশ্লেষণের সময় কোনো তড়িৎদ্বারে সঞ্চিত বা দ্রবীভূত পদার্থের ভর প্রবাহিত তড়িৎ আধানের সমানুপাতিক (\(W \propto Q \implies W = Z I t\))।
গণনা:
- \(I = 2\,\text{A}\)
- \(t = 30 \times 60 = 1800\,\text{s}\)
- \(Z = 0.000329\,\text{g/C}\)
\[W = Z \cdot I \cdot t = 0.000329 \times 2 \times 1800 = 0.000329 \times 3600 = \mathbf{1.1844\,\text{g}}\]
অতএব ক্যাথোডে \(1.184\,\text{g}\) তামা জমা হবে।
লা-শাতেলিয়ারের নীতিটি বিবৃত করো। হেবার-বশ পদ্ধতিতে অ্যামোনিয়া সংশ্লেষণের সাম্যাবস্থায়:
\[\text{N}_2(g) + 3\text{H}_2(g) \rightleftharpoons 2\text{NH}_3(g), \quad \Delta H = -92.4\,\text{kJ/mol}\]
তাপমাত্রা ও চাপের প্রভাব ব্যাখ্যা করো। সর্বোচ্চ উৎপাদনের অনুকূল শর্ত কী? [মান: ৫]
নীতি: কোনো উভমুখী বিক্রিয়া সাম্যাবস্থায় থাকাকালে তাপমাত্রা, চাপ বা ঘনমাত্রার মতো নিয়ামক পরিবর্তন করলে সাম্যের অবস্থান এমনভাবে পরিবর্তিত হয় যাতে নিয়ামক পরিবর্তনের ফলাফল প্রশমিত হয়।
প্রভাব:
১. তাপমাত্রার প্রভাব: যেহেতু বিক্রিয়াটি তাপোৎপাদী (\(\Delta H < 0\)), তাপমাত্রা বৃদ্ধি করলে লা-শাতেলিয়ার নীতি অনুসারে বিক্রিয়া পেছনের দিকে সরে যাবে (অ্যামোনিয়া উৎপাদন কমবে)। তাই কম তাপমাত্রা অনুকূল (তবে গতি ঠিক রাখতে সর্বোত্তম তাপমাত্রা \(450^\circ-500^\circ\text{C}\))।
২. চাপের প্রভাব: বামে মোট ৪ মোল গ্যাস এবং ডানে ২ মোল গ্যাস। চাপ বাড়ালে বিক্রিয়া বেশি মোল থেকে কম মোলের দিকে (সম্মুখপানে) ধাবিত হবে।
অনুকূল শর্ত: \(200\,\text{atm}\) উচ্চ চাপ, \(450^\circ-500^\circ\text{C}\) তাপমাত্রা এবং আয়রন (Fe) প্রভাবক।
মারকনিকভের (Markownikoff's) নিয়মটি বিবৃত করো এবং প্রোপিনের (\(\text{CH}_3-\text{CH}=\text{CH}_2\)) সাথে \(\text{HBr}\)-এর বিক্রিয়াটিতে প্রধান উৎপাদ কোনটি হবে তা বিক্রিয়াসহ ব্যাখ্যা করো। [মান: ৫]
মারকনিকভের নিয়ম: অসম অসম্পৃক্ত হাইড্রোকার্বনের সাথে অসম বিকারক অণুর সংযোজন বিক্রিয়ায় বিকারকের ঋণাত্মক অংশটি দ্বিবন্ধনযুক্ত কার্বনদ্বয়ের যেটিতে কম সংখ্যক হাইড্রোজেন পরমাণু রয়েছে তার সাথে যুক্ত হয়।
প্রোপিন + HBr বিক্রিয়া:
\[\text{CH}_3-\text{CH}=\text{CH}_2 + \text{HBr} \longrightarrow \text{CH}_3-\text{CH}(\text{Br})-\text{CH}_3 \quad (80\%\text{ 2-Bromopropane})\]
- প্রোপিনের মাঝের কার্বনে মাত্র ১টি হাইড্রোজেন থাকায় ঋণাত্মক ব্রোমাইড (\(\text{Br}^-\)) আয়ন সেখানে যুক্ত হয়ে প্রধান উৎপাদ 2-ব্রোমোপ্রোপেন তৈরি করে।
আম্লিক মাধ্যমে পটাশিয়াম পারম্যাঙ্গানেট (\(\text{KMnO}_4\)) দ্বারা অক্সালিক অ্যাসিড (\(\text{H}_2\text{C}_2\text{O}_4\)) এর জারণ-বিজারণ বিক্রিয়াটি আয়ন-ইলেকট্রন পদ্ধতিতে সমতাবিধান করো।
বিক্রিয়ার সমতাবিধান ধাপসমূহ:
১. বিজারণ অর্ধ-বিক্রিয়া:
\[\text{MnO}_4^- + 8\text{H}^+ + 5e^- \longrightarrow \text{Mn}^{2+} + 4\text{H}_2\text{O} \quad \times 2\]
২. জারণ অর্ধ-বিক্রিয়া:
\[\text{C}_2\text{O}_4^{2-} \longrightarrow 2\text{CO}_2 + 2e^- \quad \times 5\]
৩. ইলেকট্রন সমতা করে যোগ:
\[2\text{MnO}_4^- + 16\text{H}^+ + 5\text{C}_2\text{O}_4^{2-} \longrightarrow 2\text{Mn}^{2+} + 10\text{CO}_2 + 8\text{H}_2\text{O}\]
আণবিক রূপ:
\[2\text{KMnO}_4 + 5\text{H}_2\text{C}_2\text{O}_4 + 3\text{H}_2\text{SO}_4 \longrightarrow \text{K}_2\text{SO}_4 + 2\text{MnSO}_4 + 10\text{CO}_2 + 8\text{H}_2\text{O}\]
আয়ন-ইলেকট্রন পদ্ধতিতে জারণ সংখ্যা পরিবর্তন ও ইলেকট্রন বিনিময় সমীকরণ।
প্রোপিনের (\(\text{CH}_3-\text{CH}=\text{CH}_2\)) সাথে \(\text{HBr}\) এর সংযোজন বিক্রিয়াটি (ক) পারঅক্সাইডের অনুপস্থিতিতে (মারকভনিকভ নিয়ম) এবং (খ) জৈব পারঅক্সাইডের উপস্থিতিতে (খারাশ প্রভাব) সমীকরণসহ কৌশল ব্যাখ্যা করো।
(ক) পারঅক্সাইডের অনুপস্থিতিতে (Markovnikov's Rule):
অপ্রতিসম অ্যালকিনে অসম বিকারক যুক্ত হলে ঋণাত্মক অংশ (\(\text{Br}^-\)) কম হাইড্রোজেনযুক্ত কার্বনে যুক্ত হয়।
\[\text{CH}_3-\text{CH}=\text{CH}_2 + \text{HBr} \longrightarrow \text{CH}_3-\text{CH(Br)}-\text{CH}_3 \quad (2\text{-ব্রোমোপ্রোপেন, মূখ্য})\]
কৌশল: অধিক স্থিতিশীল ২° কার্বোক্যাটায়ন (\(\text{CH}_3-\text{CH}^+-\text{CH}_3\)) গঠনের মাধ্যমে বিক্রিয়াটি ঘটে।
(খ) পারঅক্সাইডের উপস্থিতিতে (Anti-Markovnikov / Kharasch Effect):
মুক্তমূলক (Free Radical) মেকানিজমে \(\text{Br}^\bullet\) অধিক হাইড্রোজেনযুক্ত প্রান্তে যুক্ত হয়ে অধিক স্থিতিশীল ২° মুক্তমূলক গঠন করে।
\[\text{CH}_3-\text{CH}=\text{CH}_2 + \text{HBr} \xrightarrow{\text{Peroxide}} \text{CH}_3-\text{CH}_2-\text{CH}_2\text{Br} \quad (1\text{-ব্রোমোপ্রোপেন, মূখ্য})\]
মারকভনিকভ ও বিপরীত মারকভনিকভ সংযোজন কৌশল ও কার্বোক্যাটায়ন/মুক্তমূলকের স্থায়িত্ব।
যদি \(2x^2 - 5x + 2 = 0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হয়, তবে এমন একটি নতুন দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করো যার মূলদ্বয় হবে \(\frac{1}{\alpha}\) এবং \(\frac{1}{\beta}\)। [মান: ৫]
প্রদত্ত সমীকরণ: \(2x^2 - 5x + 2 = 0\)।
মূলদ্বয়ের যোগফল: \(\alpha + \beta = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}\)
মূলদ্বয়ের গুণফল: \(\alpha \beta = \frac{2}{2} = 1\)
নতুন সমীকরণের মূলদ্বয়:
১. নতুন মূলদ্বয়ের যোগফল: \[S = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{5/2}{1} = \frac{5}{2}\]
২. নতুন মূলদ্বয়ের গুণফল: \[P = \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha \beta} = \frac{1}{1} = 1\]
নতুন দ্বিঘাত সমীকরণ: \[x^2 - S x + P = 0 \implies x^2 - \frac{5}{2}x + 1 = 0 \implies \mathbf{2x^2 - 5x + 2 = 0}\]
মান নির্ণয় করো: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}\] [মান: ৫]
সমাধান: \(x = 0\) বসালে রাশিটি \(\frac{0}{0}\) অনির্ণেয় আকার পায়। এল-হসপিটাল নীতি প্রয়োগ করে:
১ম অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x} \quad \left(\frac{0}{0} \text{ আকার}\right)\]
২য় অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x} \quad \left(\frac{0}{0} \text{ আকার}\right)\]
৩য় অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{e^0 + e^0}{\cos 0} = \frac{1 + 1}{1} = \mathbf{2}\]
নির্দিষ্ট সমাকলন (Definite Integration) ব্যবহার করে \(y = x^2\) পরাবৃত্ত এবং \(y = x\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো। [মান: ৫]
ছেদবিন্দু নির্ণয়:
\(x^2 = x \implies x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0 \implies x = 0, 1\)।
সীমা: \(x = 0\) থেকে \(x = 1\) পর্যন্ত রেখাটি (\(y = x\)) বক্ররেখার (\(y = x^2\)) উপরে অবস্থিত।
ক্ষেত্রফল সূত্র:
\[A = \int_{0}^{1} (y_1 - y_2) \, dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}\]
\[A = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - 0 = \frac{3 - 2}{6} = \mathbf{\frac{1}{6}\text{ বর্গ একক}}\]
পরাবৃত্ত \(y^2 = 4x\) এবং সরলরেখা \(y = 2x\) দ্বারা সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
প্রদত্ত বক্ররেখা: \(y^2 = 4x\) এবং সরলরেখা \(y = 2x\)।
ছেদবিন্দু নির্ণয়: \[ (2x)^2 = 4x \implies 4x^2 - 4x = 0 \implies 4x(x - 1) = 0 \implies x = 0, 1 \]
যখন \(x = 0\), \(y = 0\); যখন \(x = 1\), \(y = 2\)। অর্থাৎ ছেদবিন্দু \((0,0)\) এবং \((1,2)\)।
সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল: \[A = \int_0^1 (y_{\text{upper}} - y_{\text{lower}}) \, dx = \int_0^1 (2\sqrt{x} - 2x) \, dx\]
\[A = \left[ 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \left[ \frac{4}{3}x^{3/2} - x^2 \right]_0^1\]
\[A = \frac{4}{3}(1) - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3} \text{ বর্গ একক}\]
ছেদবিন্দু নির্ধারণ ও নির্দিষ্ট যোগজের সাহায্যে দুটি বক্ররেখার মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফল।
প্রমাণ করো যে: \[\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{16}\]
বামপক্ষ: \[LHS = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ\]
আমরা জানি \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\):
\[LHS = \frac{1}{2} [\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ] = \frac{1}{4} [2 \cos 40^\circ \cos 20^\circ] \cos 80^\circ\]
সূত্র \(2 \cos A \cos B = \cos(A + B) + \cos(A - B)\) প্রয়োগ করে:
\[= \frac{1}{4} [\cos 60^\circ + \cos 20^\circ] \cos 80^\circ = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2} + \cos 20^\circ \right] \cos 80^\circ\]
\[= \frac{1}{8} \cos 80^\circ + \frac{1}{4} \cos 80^\circ \cos 20^\circ = \frac{1}{8} \cos 80^\circ + \frac{1}{8} [2 \cos 80^\circ \cos 20^\circ]\]
\[= \frac{1}{8} \cos 80^\circ + \frac{1}{8} [\cos 100^\circ + \cos 60^\circ] = \frac{1}{8} \cos 80^\circ + \frac{1}{8} \cos(180^\circ - 80^\circ) + \frac{1}{8} \left(\frac{1}{2}\right)\]
\[= \frac{1}{8} \cos 80^\circ - \frac{1}{8} \cos 80^\circ + \frac{1}{16} = \frac{1}{16} = RHS \quad \text{[প্রমাণিত]}\]
ত্রিকোণমিতিক রূপান্তর সূত্রাবলীর ধারাক্রমিক প্রয়োগ ও প্রমাণ।
নিচের বাক্যগুলোর ব্যাকরণগত ভুল সংশোধন করে সঠিক বাক্য লেখ:
(i) He gave me many advices.
(ii) The sceneries of Cox's Bazar are very charming.
(iii) He is senior than me in service.
(iv) Neither of the two boys have attended the lecture.
(v) One should do his duty sincerely. [মান: ৫]
সংশোধিত বাক্যসমূহ:
(i) Correct: He gave me much advice. (বা He gave me many pieces of advice. 'Advice' আনকাউন্টেবল নাউন)।
(ii) Correct: The scenery of Cox's Bazar is very charming. ('Scenery' সর্বদা সিঙ্গুলার)।
(iii) Correct: He is senior to me in service. (Senior, junior, superior, inferior এর পর 'to' বসে)।
(iv) Correct: Neither of the two boys has attended the lecture. ('Neither of' এর পর সিঙ্গুলার ভার্ব বসে)।
(v) Correct: One should do one's duty sincerely. (Subject 'One' হলে possessive রূপ 'one's' হয়)।
নির্দেশনা অনুযায়ী বাক্যগুলো রূপান্তর করো:
(i) No other metal is as useful as iron. (Make it Superlative)
(ii) He is too weak to carry the heavy load. (Make it Complex)
(iii) As soon as the bell rang, the students entered the examination hall. (Make it Negative using 'No sooner had')
(iv) Every mother loves her child. (Make it Negative)
(v) Man is mortal. (Make it Interrogative) [মান: ৫]
উত্তরসমূহ:
(i) Superlative: Iron is the most useful metal.
(ii) Complex: He is so weak that he cannot carry the heavy load.
(iii) Negative: No sooner had the bell rung than the students entered the examination hall.
(iv) Negative: There is no mother but loves her child.
(v) Interrogative: Isn't man mortal?
Change the speech of the following sentences into Indirect:
(i) The instructor said to the students, "Why did you not connect the ammeter in series?"
(ii) The engineer said, "Do not touch the high-voltage busbar."
(iii) He said, "The earth moves round the sun."
(iv) The manager said to me, "Can you complete the PCB layout by tomorrow?"
(v) The student said, "Alas! I have forgotten my scientific calculator." [মান: ৫]
Indirect Speech:
(i) The instructor asked the students why they had not connected the ammeter in series.
(ii) The engineer warned / forbade them not to touch the high-voltage busbar (বা forbade them to touch the high-voltage busbar).
(iii) He said that the earth moves round the sun. (Universal truth remains unchanged).
(iv) The manager asked me if I could complete the PCB layout by the next day.
(v) The student exclaimed with sorrow that he had forgotten his scientific calculator.
২য় পত্র: টেকনিক্যাল (বিভাগীয় বিষয়)
সিভিল ইঞ্জিনিয়ারিং (স্পেশালাইজড ইঞ্জিনিয়ারিং)বিভাগ-ক: বহু নির্বাচনি প্রশ্ন (Technical MCQ)
৪০টি প্রশ্ন × ১.৫ নম্বর = ৬০ নম্বর (নেগেটিভ মার্ক ০.২৫)তরলে নিমজ্জিত সমতল উল্লম্ব পৃষ্ঠে কার্যকর মোট হাইড্রোস্ট্যাটিক বল (Total Pressure, F) এর সূত্র কোনটি?
হাইড্রোস্ট্যাটিক বল ক্ষেত্রফলের সেন্ট্রয়েডের গভীরতায় চাপের সমান: \[F = P_{ ext{avg}} imes A = ( ho g ar{h}) A = w A ar{h}\]।
পাইপে প্রবাহিত পানির হেড লস (Head Loss) নির্ণয়ে ডার্সি-ওয়েইসব্যাক (Darcy-Weisbach) সূত্র কোনটি?
ডার্সি-ওয়েইসব্যাক সূত্রানুযায়ী পাইপে ঘর্ষণজনিত হেড লস: \[h_f = rac{f L v^2}{2 g D}\], যেখানে f ডার্সি ঘর্ষণ সহগ এবং v প্রবাহ বেগ।
ম্যানিংয়ের সূত্রে উন্মুক্ত খালের হাইড্রোলিক ব্যাসার্ধ (Hydraulic Radius, R) এর সংজ্ঞা কোনটি?
হাইড্রোলিক ব্যাসার্ধ হলো প্রবাহ ক্ষেত্রফল এবং পানির সংস্পর্শে থাকা চ্যানেলের তলার পরিসীমার অনুপাত: \[R = rac{A}{P}\]।
একটি উন্মুক্ত খালে ফ্রউড সংখ্যা (Froude Number, Fr) > 1.0 হলে উক্ত প্রবাহকে কী বলা হয়?
Fr = v / √(g y_h); Fr < 1 হলে সাবক্রিটিক্যাল বা শান্ত প্রবাহ, Fr = 1 হলে সংকট প্রবাহ এবং Fr > 1 হলে অতিসংকট বা সুপারক্রিটিক্যাল প্রবাহ।
মৃত্তিকা বলবিদ্যায় মাটির শূন্যস্থান অনুপাত (Void Ratio, e) এবং রন্ধ্রতার (Porosity, n) সঠিক সম্পর্ক কোনটি?
মৃত্তিকার দশা চিত্রে: \[e = rac{V_v}{V_s} = rac{n}{1 - n}\] এবং \[n = rac{V_v}{V} = rac{e}{1 + e}\]।
সম্পূর্ণ সম্পৃক্ত মাটিতে (Fully Saturated Soil) সম্পৃক্তি মাত্রা (Degree of Saturation, S) এর মান কত?
ডিগ্রি অব স্যাচুরেশন: \[S = rac{V_w}{V_v} imes 100\%\]। সমস্ত রন্ধ্রে পানি পূর্ণ থাকলে V_w = V_v হওয়ায় S = 100%।
মাটির প্লাস্টিসিটি ইনডেক্স (Plasticity Index, PI) নির্ণয়ের সঠিক সূত্র কোনটি?
অ্যাটারবার্গ লিমিট অনুসারে প্লাস্টিসিটি সূচক হলো তরল সীমা (Liquid Limit, LL) এবং প্লাস্টিক সীমার (Plastic Limit, PL) ব্যবধান: \[PI = LL - PL\]।
ডিমেনশনাল ডায়নামিকসে ডার্সির সূত্র (Darcy's Law) অনুসারে মাটিতে পানির নিঃসরণ বেগ (v) কিসের সমানুপাতিক?
ল্যামিনার প্রবাহে ডার্সির সূত্র: \[v = k \cdot i\], যেখানে k হলো মাটির পারমিয়্যাবিলিটি সহগ এবং i হলো হাইড্রোলিক গ্রেডিয়েন্ট (h/L)।
টারজাঘির একক বিয়ারিং ক্ষমতা সমীকরণে স্ট্রিপ ফুটিংয়ের (Strip Footing) জন্য আলটিমেট ভারবহন ক্ষমতা (q_ult) কোনটি?
Karl Terzaghi-র ক্লাসিকাল অগভীর ভিত্তির সমীকরণ: \[q_u = c N_c + \gamma D_f N_q + 0.5 \gamma B N_\gamma\]। বর্গাকার হলে প্রথম পদে 1.3 এবং শেষ পদে 0.4 গুণ হয়।
হাইওয়েতে অনুভূমিক বাঁকে কেন্দ্রাতিগ বল (Centrifugal Force) প্রশমিত করতে রাস্তার বাইরের ধার ভেতরের ধার অপেক্ষা উঁচুকরণকে কী বলে?
যানবাহন উল্টে যাওয়া বা স্কিডিং রোধ করতে বাঁকে বাইরের কিনারা উঁচুকরণকে সুপার-এলিভেশন বলে, যার সূত্র: \[e + f = rac{v^2}{127 R}\]।
সড়কের পৃষ্ঠ হতে বৃষ্টির পানি নিষ্কাশনের সুবিধার্থে রাস্তার কেন্দ্রের অংশকে দুই পাশের চেয়ে সামান্য উঁচুকরণকে কী বলা হয়?
রাস্তার পৃষ্ঠ থেকে দ্রুত বৃষ্টির পানি পার্শ্ব ড্রেনে সরিয়ে ফুটপাথকে সুরক্ষিত রাখতে ট্রান্সভার্স ঢাল বা ক্যাম্বার প্রদান করা হয়।
বিশুদ্ধ পানির 5-দিনের বায়োকেমিক্যাল অক্সিজেন ডিমান্ড (BOD₅) সাধারণত কত হওয়া উচিত?
বিশুদ্ধ ও পানযোগ্য প্রাকৃতিক পানির BOD₅ মান 1-2 ppm (বা mg/L) এর কম থাকে। মান যত বাড়ে পানি তত জৈব দূষণে দূষিত।
পানীয় জল শোধনাগারে রোগ সৃষ্টিকারী ক্ষতিকর জীবাণু ধ্বংসের জন্য ক্লোরিনেশন প্রক্রিয়াকে কী বলা হয়?
পানির প্যাথোজেনিক ব্যাকটেরিয়া ধ্বংস করতে ক্লোরিন, ওজোন বা অতিবেগুনি রশ্মি প্রয়োগকে ডিসইনফেকশন বা জীবাণুমুক্তকরণ বলে।
আরসিসি ডিজাইনে টেনসাইল রডের নূন্যতম রিইনফোর্সমেন্ট রেশিও (ρ_min) নির্ধারণের মূল উদ্দেশ্য কী?
কংক্রিট টেনশনে ফেটে যাওয়ার সাথে সাথে যাতে সম্পূর্ণ বিম ধসে না পড়ে রড লোড বহন করে প্লাস্টিক ডিফর্মেশন দেখাতে পারে এজন্য \[ ho_{\min} = rac{1.4}{f_y}\] নিশ্চিত করা হয়।
আরসিসি বিমে আন্ডার-রিইনফোর্সড (Under-Reinforced) ডিজাইনে ব্যর্থতার প্রকৃতি কেমন হয়?
আন্ডার-রিইনফোর্সড বিমে কংক্রিট ভাঙার পূর্বেই স্টিল ইল্ডিং সীমায় পৌঁছে প্রসারিত হয়, ফলে বিমে বড় ধরনের ডিফ্লেকশন ও ফাটলের মাধ্যমে আগাম সতর্কবার্তা পাওয়া যায়।
আরসিসি বিমে ডায়াগোনাল টেনশন ফাটল (Diagonal Tension Crack) সাধারণত কোন অঞ্চলে দেখা যায়?
সাপোর্টের সন্নিকটে সর্বোচ্চ শিয়ার বল এবং বেন্ডিং পীড়নের লব্ধির ফলে 45 ডিগ্রি কোণে ডায়াগোনাল টেনশন সৃষ্টি হয়, যা প্রতিরোধে খাড়া স্টিরাপ (Stirrups) দেওয়া হয়।
একটি দ্বিমুখী স্ল্যাবের (Two-Way Slab) দীর্ঘতম স্প্যান (L) ও সংক্ষিপ্ত স্প্যানের (S) অনুপাত (L/S) কত হতে হয়?
স্ল্যাবের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 2.0 এর কম হলে লোড উভয় দিকে বণ্টিত হয় এবং তাকে টু-ওয়ে স্ল্যাব বলে। অনুপাত 2.0 বা বেশি হলে ওয়ান-ওয়ে স্ল্যাব।
কলামে টাই বার (Ties) বা ল্যাটারাল স্পাইরাল ব্যবহারের প্রধান কাঠামোগত উদ্দেশ্য কোনটি?
টাই বার প্রধান ভার্টিক্যাল রডগুলোকে তাদের নির্ধারিত অবস্থানে দৃঢ়ভাবে ধরে রাখে এবং উচ্চ কম্প্রেসিভ লোডে রডের বাইরের দিকে বাঁকা বা বাকলিং হওয়া প্রতিহত করে।
প্রজেক্ট ম্যানেজমেন্টে ক্রিটিক্যাল পাথ (Critical Path Method, CPM) বলতে নিচের কোনটিকে বোঝায়?
ক্রিটিক্যাল পাথ হলো প্রজেক্ট নেটওয়ার্কের সবচেয়ে দীর্ঘ অবিচ্ছিন্ন পথ যা সমাপ্ত করতে সর্বোচ্চ সময় লাগে। এই পাথের কোনো কাজের বিলম্ব হলে সমগ্র প্রকল্প বিলম্বিত হয় (Total Float = 0)।
স্টিলে কার্বনের শতকরা পরিমাণ বৃদ্ধি করলে স্টিলের যান্ত্রিক বৈশিষ্ট্যে কোন পরিবর্তন ঘটে?
কার্বন বৃদ্ধি করলে পার্লাইট ও সিমেন্টাইট স্তর গঠনের ফলে উপাদান শক্ত ও মজবুত হয় কিন্তু এটি সহজে নমনীয় হতে পারে না অর্থাৎ ভঙ্গুরতা বাড়ে ও ডাকটিলিটি কমে।
মৃদু ইস্পাতের (Mild Steel) জন্য আদর্শ ইয়ং মডুলাস (Modulus of Elasticity, E) এর মান কত?
কাঠামোগত স্টিলের ক্ষেত্রে স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক প্রায় 200 GPa বা 29,000 ksi। কংক্রিটের ক্ষেত্রে এটি প্রায় 20-30 GPa।
সাধারণ ইটের আদর্শ পরিমাপ (Standard Modular Size of Brick in Bangladesh, মসলা ছাড়া) কোনটি?
BDS 208 ও PWD শিডিউল অনুযায়ী ঐতিহ্যবাহী বাংলাদেশী ইটের সাইজ 9.5 ইঞ্চি × 4.5 ইঞ্চি × 2.75 ইঞ্চি।
কাঠামোগত ট্রাসে (Truss) মেম্বারসমূহের সংযোগস্থলকে সাধারণত কী প্রকৃতির জয়েন্ট বিবেচনা করা হয়?
আইডিয়াল ট্রাস তত্ত্বে প্রতিটি নোড বা জয়েন্টকে ঘর্ষণহীন পিন ধরা হয় যাতে মেম্বারে কেবল অক্ষীয় টানা (Tension) বা চাপ (Compression) বল কাজ করে এবং বেন্ডিং মোমেন্ট শূন্য থাকে।
কংক্রিট ঢালাইয়ের পর পানির সংস্পর্শে শক্তিবৃদ্ধি প্রক্রিয়ার জন্য প্রয়োজনীয় আর্দ্রকরণ প্রক্রিয়াকে কী বলে?
সিমেন্টের পূর্ণ হাইড্রেশনের মাধ্যমে কাঙ্ক্ষিত শক্তি অর্জন এবং শুষ্ক সংকোচনজনিত ফাটল রোধে কমপক্ষে ৭-২৮ দিন ভিজিয়ে রাখাকে কিউরিং বলে।
সাধারণ পোর্টল্যান্ড সিমেন্টের (OPC) প্রাথমিক জমাটবদ্ধ কাল (Initial Setting Time) ন্যূনতম কত?
BDS ও ASTM C150 মান অনুযায়ী সাধারণ পোর্টল্যান্ড সিমেন্টের প্রাথমিক জমাটবদ্ধ কাল ন্যূনতম 30 মিনিট এবং চূড়ান্ত কাল সর্বোচ্চ 600 মিনিট (10 ঘণ্টা)।
কংক্রিটের স্ট্যান্ডার্ড কিউব টেস্টের (Compressive Strength) আদর্শ সাইজ কোনটি?
BS ও ASTM মান অনুযায়ী কংক্রিটের স্ট্যান্ডার্ড কিউব সাইজ 150 mm এবং সিলিন্ডারের সাইজ 150 mm ব্যাস × 300 mm উচ্চতা।
কংক্রিট তৈরিতে পানির সাথে সিমেন্টের ওজন অনুপাত (Water-Cement Ratio) বৃদ্ধি করলে কোনটি ঘটে?
Abrams' Law অনুসারে W/C অনুপাত বাড়লে ওয়ার্ক্যাবিলিটি বাড়ে তবে অতিরিক্ত পানি শুকিয়ে যাওয়ার পর সূক্ষ্ম ছিদ্র সৃষ্টির কারণে কংক্রিটের কম্প্রেসিভ শক্তি উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস পায়।
বালির সূক্ষ্মতা গুণাঙ্ক (Fineness Modulus, FM) 2.6 হতে 2.9 হলে উক্ত বালিকে কোন শ্রেণীর অন্তর্ভুক্ত করা হয়?
ASTM ও BNBC অনুযায়ী: FM 2.2-2.6 মধ্যম বালি, FM 2.6-2.9 মোটা বালি এবং FM 2.9 এর বেশি অতিরিক্ত মোটা বালি হিসেবে গণ্য হয়।
সিমেন্টের সাউন্ডনেস (Soundness) বা আয়তন স্থায়িত্ব পরীক্ষার জন্য কোন যন্ত্রটি ব্যবহৃত হয়?
মুক্ত চুন (Free Lime) ও ম্যাগনেশিয়ার কারণে সিমেন্টের অতিরিক্ত প্রসারণ রোধ ও সাউন্ডনেস যাচাইয়ে লে-শাতেলিয়ার অ্যাপারেটাস ও অটোকেভ টেস্ট ব্যবহৃত হয়। ভিকাট নিডল দিয়ে জমাটবদ্ধ কাল নির্ণয় করা হয়।
লেভেলিংয়ে ব্যাকসাইট (Backsight, BS) পাঠ সর্বদা কোন বিন্দুতে নেওয়া হয়?
যন্ত্র স্থাপনের পর প্রথম যে পাঠটি জানা আরএল (RL) বিশিষ্ট বেঞ্চমার্কে বা চেঞ্জ পয়েন্টে নেওয়া হয় তাকে ব্যাকসাইট বলে।
লেভেলিং যন্ত্রের উচ্চতা পদ্ধতিতে যন্ত্রের অক্ষের উচ্চতা (Height of Instrument, HI) নির্ণয়ের সমীকরণ কোনটি?
কলাইমেশন বা হাইট অব ইনস্ট্রুমেন্ট পদ্ধতিতে: \[HI = RL_{ ext{BM}} + BS\] এবং যেকোনো স্টেশনের \[RL = HI - IS ext{ বা } HI - FS\]।
পৃথিবীর বক্রতার (Curvature) জন্য লেভেলিং পাঠে প্রয়োজনীয় সংশোধন (Curvature Correction, C_c) এর মান কত?
পৃথিবীর বক্রতার কারণে দৃশ্যমান রেখা প্রকৃত অনুভূমিক তলের উপরে অবস্থান করায় স্টাফ পাঠ বেশি আসে। ফলে সংশোধন ঋণাত্মক হয়: \[C_c = - rac{d^2}{2R} pprox -0.0785 d^2 ext{ m}\], যেখানে d কিমি এককে দূরত্ব।
একটি কন্ট্যুর ম্যাপে কন্ট্যুর রেখাসমূহ খুব কাছাকাছি ঘন সন্নিবিষ্ট থাকলে তা ভূমির কোন প্রকৃতি নির্দেশ করে?
কন্ট্যুর রেখাগুলোর মধ্যবর্তী অনুভূমিক দূরত্ব (Horizontal Equivalent) যত কম হয়, ভূমির ঢাল তত বেশি বা খাড়া নির্দেশিত হয়।
হুকের সূত্র (Hooke's Law) স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে পীড়ন ও বিকৃতির কোন সম্পর্ক নির্দেশ করে?
স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে হুকের সূত্র: \[\sigma = E \cdot arepsilon\], যেখানে E হলো ইয়ং এর স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক (Young's Modulus)।
পয়সনের অনুপাত (Poisson's Ratio, ν) বলতে নিচের কোন দুই বিকৃতির অনুপাতকে বোঝায়?
অক্ষীয় বল প্রয়োগের ফলে অক্ষীয় প্রসারণের সাথে লম্ব অভিমুখে সংকোচনের অনুপাতই পয়সনের অনুপাত: \[ u = - rac{ arepsilon_{ ext{lateral}}}{ arepsilon_{ ext{axial}}}\]। স্টিলের ক্ষেত্রে এর মান প্রায় 0.28-0.30।
সমভাবে বিস্তৃত লোড (UDL) বিশিষ্ট সাধারণভাবে স্থাপিত বিমের বেন্ডিং মোমেন্ট ডায়াগ্রামের (BMD) আকার কেমন হয়?
লোড সমীকরণ ধ্রুবক (0 ডিগ্রি), শিয়ার ফোর্স 1ম মাত্রার রৈখিক এবং বেন্ডিং মোমেন্ট সমীকরণ ২য় মাত্রার বহুপদী হওয়ায় প্যারাবলিক বক্ররেখা সৃষ্টি হয়।
বিমের যে বিন্দুতে বেন্ডিং মোমেন্টের মান শূন্য হয় এবং বক্রতার দিক ধনাত্মক হতে ঋণাত্মকে পরিবর্তিত হয় তাকে কী বলে?
ওভারহ্যাংগিং বা অবিচ্ছিন্ন বিমে যেখানে স্যাগিং হতে হগিং মোমেন্টে রূপান্তর ঘটে এবং মোমেন্ট ডায়াগ্রাম শূন্য অক্ষ অতিক্রম করে তাকে পয়েন্ট অব কন্ট্রাফ্লেক্সার বলে।
ফ্লেক্সারাল সূত্র (Bending Stress Formula) অনুসারে বিমের প্রস্থচ্ছেদে বেন্ডিং স্ট্রেসের সঠিক সমীকরণ কোনটি?
বিশুদ্ধ বেন্ডিং সমীকরণ: \[ rac{M}{I} = rac{\sigma}{y} = rac{E}{R} \implies \sigma = rac{M y}{I}\], যেখানে y নিরপেক্ষ অক্ষ হতে দূরত্ব এবং I জড়তার ভ্রামক।
বৃত্তাকার শ্যাফটের টরশন সূত্রে পোলার সেকশন মডুলাস (Z_p) এর মান d ব্যাসের শ্যাফটের জন্য কত?
পোলার মোমেন্ট অব ইনার্শিয়া \[J = rac{\pi d^4}{32}\]। সর্বোচ্চ ব্যাসার্ধ \[r = rac{d}{2}\]। সুতরাং \[Z_p = rac{J}{r} = rac{\pi d^3}{16}\]।
ইউলারের সূত্র অনুসারে উভয় প্রান্ত ফিক্সড (Fixed-Fixed) কলামের কার্যকরী দৈর্ঘ্য (Effective Length, L_e) কত?
উভয় প্রান্ত সম্পূর্ণ দৃঢ়ভাবে আবদ্ধ থাকলে ইনফ্লেকশন বিন্দুর মধ্যকার কার্যকরী দৈর্ঘ্য মূল দৈর্ঘ্যের অর্ধেক হয় (L_e = 0.5 L বা L/2)।
বিভাগ-খ: টেকনিক্যাল লিখিত প্রশ্ন (Technical Written/CQ)
১৮টি প্রশ্ন × ৫ নম্বর = ৯০ নম্বরকলিমেশন বা হাইট অব ইনস্ট্রুমেন্ট (HI) পদ্ধতিতে লেভেলিংয়ের কাজের নিয়মাবলী ছক আকারে বর্ণনা করো। বেঞ্চমার্কের RL দেওয়া থাকলে কীভাবে স্টেশন পয়েন্টের RL বের করা হয় এবং গাণিতিক শুদ্ধতা পরীক্ষা (Arithmetic Check) কী? [মান: ৫]
HI পদ্ধতি সূত্রাবলী:
১. যন্ত্রের উচ্চতা: \(\text{HI} = \text{RL of BM} + \text{BS (Back Sight)}\)
২. যেকোনো স্টেশনের RL: \(\text{RL} = \text{HI} - \text{IS (Intermediate Sight)}\) অথবা \(\text{HI} - \text{FS (Fore Sight)}\)
গাণিতিক শুদ্ধতা পরীক্ষা (Arithmetic Check):
\[\sum \text{BS} - \sum \text{FS} = \text{Last RL} - \text{First RL}\]
এই দুটি মান পরস্পর সমান হলে লেভেল বইয়ের হিসাব নির্ভুল হয়েছে প্রমাণিত হয়।
থিওডোলাইট ব্যবহার করে পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি (Repetition Method)-তে অনুভূমিক কোণ পরিমাপের ধাপগুলো সংক্ষেপে লেখ। এই পদ্ধতির প্রধান সুবিধা কী? [মান: ৫]
ধাপসমূহ:
১. টেলিস্কোপকে রেফারেন্স স্টেশন \(A\)-তে বাইসেক্ট করে ভার্নিয়ার \(A\)-কে \(0^\circ\) তে লক করা হয়।
২. আপার ক্ল্যাম্প আলগা করে স্টেশন \(B\)-তে বাইসেক্ট করা হয় এবং পাঠ \(\theta\) নেওয়া হয়।
৩. লোয়ার ক্ল্যাম্প আলগা করে পুনরায় \(A\)-তে তাক করা হয় (পাঠ অপরিবর্তিত রেখে)।
৪. আবার আপার ক্ল্যাম্প ঘুরিয়ে \(B\)-তে তাক করলে পাঠ দ্বিগুণ (\(2\theta\)) হয়।
৫. এভাবে \(n\) বার পুনরাবৃত্তি করে চূড়ান্ত পাঠকে \(n\) দিয়ে ভাগ করা হয়।
সুবিধা: যন্ত্রের গ্র্যাজুয়েশন ত্রুটি, ভার্নিয়ার রিডিং ত্রুটি দূর হয়ে অত্যন্ত নিখুঁত কোণ পাওয়া যায়।
একটি \(8\,\text{m}\) দীর্ঘ সাধারণভাবে সমর্থিত বিমের সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্যের উপর \(4\,\text{kN/m}\) সমভাবে বিস্তৃত লোড (UDL) ক্রিয়াশীল।
(ক) বিমের সর্বোচ্চ শেয়ার ফোর্স ও সর্বোচ্চ বেন্ডিং মোমেন্ট নির্ণয় করো।
(খ) SFD এবং BMD-এর সাধারণ রূপ বর্ণনা করো। [মান: ৫]
গণনা:
মোট লোড: \(W = w \times L = 4 \times 8 = 32\,\text{kN}\)
সাপোর্ট রিঅ্যাকশন: \(R_A = R_B = \frac{32}{2} = 16\,\text{kN}\)
(ক) সর্বোচ্চ মান:
- সর্বোচ্চ শেয়ার ফোর্স (সাপোর্টে): \[V_{max} = R_A = \mathbf{16\,\text{kN}}\]
- সর্বোচ্চ বেন্ডিং মোমেন্ট (কেন্দ্রে, যেখানে \(SF = 0\)): \[M_{max} = \frac{w L^2}{8} = \frac{4 \times 8^2}{8} = 4 \times 8 = \mathbf{32\,\text{kN}\cdot\text{m}}\]
(খ) রূপরেখা: SFD হবে একটি আনত সরলরেখা (+16 থেকে -16 পর্যন্ত) এবং BMD হবে একটি প্রতিসম ২য় ঘাতের প্যারাবোলা (Parabola)।
বৃত্তাকার শ্যাফটের টরশন সমীকরণ \(\frac{T}{J} = \frac{\tau}{r} = \frac{G \theta}{L}\) লেখ। একটি \(50\,\text{mm}\) ব্যাসের সলিড শ্যাফট সর্বাধিক কত টর্ক (\(T\)) বহন করতে পারবে যদি সর্বোচ্চ শিয়ার পীড়ন \(60\,\text{MPa}\) অতিক্রম না করে? [মান: ৫]
টরশন সমীকরণ ও সূত্র:
সলিড বৃত্তাকার শ্যাফটের পোলার সেকশন মডুলাস: \[Z_p = \frac{J}{r} = \frac{\pi}{16} d^3\]
সর্বোচ্চ টর্ক বহন ক্ষমতা: \[T = \tau_{max} \times Z_p = \tau_{max} \times \frac{\pi}{16} d^3\]
গণনা (\(d = 50\,\text{mm}, \tau_{max} = 60\,\text{N/mm}^2\)):
\[T = 60 \times \frac{\pi}{16} \times (50)^3 = 60 \times 0.19635 \times 125,000 = 1,472,625\,\text{N}\cdot\text{mm} = \mathbf{1.473\,\text{kN}\cdot\text{m}}\]
WSD (Working Stress Design) পদ্ধতিতে একটি সিঙ্গলি রিইনফোর্সড আয়তাকার বিমের নিউট্রাল অ্যাক্সিস ডেপথ (\(k d\)) নির্ণয়ের সূত্রটি এরিয়া মোমেন্টের সাহায্যে প্রতিপাদন করো। মড্যুলার রেশিও (\(n\)) কী? [মান: ৫]
প্রতিপাদন:
নিরপেক্ষ অক্ষের সাপেক্ষে কম্প্রেশন জোনের কংক্রিটের ক্ষেত্রফলের মোমেন্ট এবং টেনশন জোনের স্টিলের সমতুল্য ক্ষেত্রফলের মোমেন্ট সমান হবে:
\[b \cdot (k d) \cdot \frac{k d}{2} = n \cdot A_s \cdot (d - k d)\]
\[\frac{b (k d)^2}{2} + n A_s (k d) - n A_s d = 0\]
উভয়পক্ষকে \(b d^2\) দিয়ে ভাগ করে স্টিল রেশিও \(\rho = \frac{A_s}{b d}\) বসালে: \(\frac{k^2}{2} + n \rho k - n \rho = 0\)
\[\mathbf{k = \sqrt{(n \rho)^2 + 2 n \rho} - n \rho}\]
মড্যুলার রেশিও: স্টিল ও কংক্রিটের স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্কের অনুপাত: \(n = \frac{E_s}{E_c}\)।
একটি RCC স্ল্যাব ওয়ান-ওয়ে (One-way) নাকি টু-ওয়ে (Two-way) হবে তা কীভাবে নির্ধারিত হয়? এদের লোড ডিস্ট্রিবিউশন এবং প্রধান রড (Main reinforcement) স্থাপনের পার্থক্য লেখ। [মান: ৫]
নির্ধারণ পদ্ধতি: স্ল্যাবের দীর্ঘ বাহু (\(L_y\)) এবং খাটো বাহু (\(L_x\))-এর অনুপাতের উপর ভিত্তি করে:
- One-way Slab: \(\frac{L_y}{L_x} > 2\) (স্ল্যাবটি মূলত খাটো স্প্যান বরাবর বেন্ড হয়)।
- Two-way Slab: \(\frac{L_y}{L_x} \le 2\) (স্ল্যাবটি উভয় স্প্যান বরাবর সমানভাবে লোড শেয়ার করে বেন্ড হয়)।
রড স্থাপনের পার্থক্য:
- ওয়ান-ওয়ে স্ল্যাবে প্রধান রড কেবল খাটো স্প্যান বরাবর বসে এবং দীর্ঘ স্প্যান বরাবর তাপমাত্রা রড (Temperature bar) বসে।
- টু-ওয়ে স্ল্যাবে উভয় দিকেই প্রধান বেন্ডিং মোমেন্ট রড জালের মতো বসাতে হয়।
USD (Ultimate Strength Design) পদ্ধতিতে একটি সিঙ্গলি রিইনফোর্সড বিমের সুষম ইস্পাত অনুপাত \(\rho_b = 0.85 \beta_1 \frac{f_c'}{f_y} \frac{600}{600 + f_y}\) প্রতিপাদন করো। [মান: ৫]
প্রতিপাদন:
সুষম অবস্থায় কংক্রিট তার চরম বিকৃতি \(\epsilon_u = 0.003\) এবং স্টিল একই সাথে ইল্ড বিকৃতি \(\epsilon_y = \frac{f_y}{E_s} = \frac{f_y}{200,000}\)-এ পৌঁছায়।
লিনিয়ার বিকৃতি ডায়াগ্রাম থেকে: \[ rac{c}{d} = \frac{\epsilon_u}{\epsilon_u + \epsilon_y} = \frac{0.003}{0.003 + f_y / 200000} = \frac{600}{600 + f_y}\]
কংক্রিট কম্প্রেশন বল: \(C = 0.85 f_c' a b = 0.85 f_c' (\beta_1 c) b\)
স্টিল টেনশন বল: \(T = A_s f_y = (\rho_b b d) f_y\)
বলদ্বয় সমান করে (\(C = T\)): \[0.85 f_c' \beta_1 c b = \rho_b b d f_y \implies \rho_b = 0.85 \beta_1 \frac{f_c'}{f_y} \left(\frac{c}{d}\right)\]
\[\therefore \mathbf{\rho_b = 0.85 \beta_1 \frac{f_c'}{f_y} \frac{600}{600 + f_y}}\] (প্রমাণিত)
একটি আয়তাকার উইয়ারের (Rectangular Weir) উপর দিয়ে পানি প্রবাহের ডিসচার্জের ফ্রান্সিস সূত্র \(Q = \frac{2}{3} C_d \sqrt{2g} (L - 0.1 n H) H^{3/2}\) ব্যাখ্যা করো। প্রান্তিক সংকোচন (End Contractions) কী? [মান: ৫]
সূত্র উপাদানসমূহ:
- \(L\): উইয়ারের মোট ক্রেস্ট দৈর্ঘ্য
- \(H\): উইয়ারের ক্রেস্টের উপর পানির হেড
- \(C_d\): ডিসচার্জ কো-এফিশিয়েন্ট
- \(n\): প্রান্তিক সংকোচনের সংখ্যা (সাধারণত \(n = 2\))
End Contractions: উইয়ারের দুই পাশের খাড়া দেয়ালের ঘর্ষণের কারণে পানির চাদর (Nappe) সংকুচিত হয়ে কার্যকর দৈর্ঘ্য কমে যায়। প্রতিটি প্রান্তিক সংকোচন দৈর্ঘ্য \(0.1 H\) পরিমাণ হ্রাস করে, ফলে কার্যকর দৈর্ঘ্য হয় \((L - 0.1 n H)\)।
মুক্ত খাল বা চ্যানেলে পানির প্রবাহের জন্য ম্যানিংসের সূত্র \(v = \frac{1}{n} R^{2/3} S^{1/2}\) ব্যাখ্যা করো। হাইড্রোলিক রেডিয়াস (\(R\)) কী? [মান: ৫]
ম্যানিংসের সমীকরণ:
- \(v\): পানির গড় প্রবাহ বেগ (m/s)
- \(n\): ম্যানিংসের রুক্ষতা সহগ (Roughness coefficient)
- \(R\): হাইড্রোলিক ব্যাসার্ধ বা হাইড্রোলিক মিন ডেপথ (\(R = A / P\))
- \(S\): খালের তলদেশের ঢাল বা হাইড্রোলিক গ্রেডিয়েন্ট (Bed slope)
হাইড্রোলিক রেডিয়াস (\(R\)): খালের জলপ্রবাহের প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল (\(A\)) এবং ভেজা পরিসীমা বা ওয়েটেড পেরিমিটারের (\(P\)) অনুপাত। \(R\) যত বড় হয় ঘর্ষণ তত কম হয় এবং চ্যানেলের ডিসচার্জ ক্ষমতা বৃদ্ধি পায়।
একটি উলম্ব পানির গেটের প্রস্থ \(2\,\text{m}\) এবং উচ্চতা \(3\,\text{m}\)। পানির মুক্ত তল গেটের শীর্ষবিন্দু স্পর্শ করে আছে।
(ক) গেটের উপর মোট হাইড্রোস্ট্যাটিক চাপ বল (\(F\)) নির্ণয় করো।
(খ) সেন্টার অব প্রেসার (\(h_{cp}\))-এর গভীরতা কত? [মান: ৫]
গণনা (\(\gamma_w = 9.81\,\text{kN/m}^3\)):
- ক্ষেত্রফল: \(A = b \times h = 2 \times 3 = 6\,\text{m}^2\)
- ভরকেন্দ্রের গভীরতা: \(\bar{y} = \frac{3}{2} = 1.5\,\text{m}\)
(ক) মোট চাপ বল: \[F = \gamma_w A \bar{y} = 9.81 \times 6 \times 1.5 = \mathbf{88.29\,\text{kN}}\]
(খ) সেন্টার অব প্রেসার: \[h_{cp} = \bar{y} + \frac{I_G}{A \bar{y}} = 1.5 + \frac{\frac{b h^3}{12}}{A \bar{y}} = 1.5 + \frac{\frac{2 \times 27}{12}}{6 \times 1.5} = 1.5 + \frac{4.5}{9.0} = 1.5 + 0.5 = \mathbf{2.0\,\text{m}}\]
অ্যাটারবার্গ লিমিটের (Atterberg Limits) তিনটি অবস্থা—লিকুইড লিমিট (LL), প্লাস্টিক লিমিট (PL) এবং শ্রিঙ্কেজ লিমিট (SL) ব্যাখ্যা করো। প্লাস্টিসিটি ইনডেক্স (\(PI\)) কীভাবে বের করা হয়? [মান: ৫]
সংজ্ঞা: সূক্ষ্ম কণার মাটির জলের পরিমাণের পরিবর্তনের সাথে যে সীমানায় অবস্থার রূপান্তর ঘটে:
১. Liquid Limit (LL): যে সর্বনিম্ন আর্দ্রতায় মাটি তরলের মতো প্রবাহিত হতে শুরু করে (ক্যাসগ্রান্ডে যন্ত্রে ২৫ আঘাতে ২ মিমি খাঁজ বন্ধ হয়)।
২. Plastic Limit (PL): যে সর্বনিম্ন আর্দ্রতায় মাটিকে ৩ মিমি ব্যাসের সরু সুতায় ফাটল না ধরিয়ে পাকানো যায়।
৩. Shrinkage Limit (SL): আর্দ্রতার যে সীমার নিচে আর্দ্রতা কমালেও মাটির আয়তন আর কমে না।
প্লাস্টিসিটি ইনডেক্স: \[PI = \mathbf{LL - PL}\]
\(PI\) মাটির প্লাস্টিক আচরণের সীমা নির্দেশ করে।
টারজাঘির সাধারণ স্ট্রিপ ফুটিংয়ের আল্টিমেট বিয়ারিং ক্যাপাসিটি সমীকরণ \(q_u = c N_c + q N_q + 0.5 \gamma B N_\gamma\) ব্যাখ্যা করো। ফুটিংয়ের গভীরতা বাড়ালে কেন ভারবহন ক্ষমতা বাড়ে? [মান: ৫]
সমীকরণ উপাদানসমূহ:
- \(c N_c\): মাটির কোহেশন উপাদান
- \(q N_q = (\gamma D_f) N_q\): ফুটিংয়ের গভীরতার জন্য চারপাশের ওভারবার্ডেন ও সারচার্জ অবদান
- \(0.5 \gamma B N_\gamma\): ফুটিংয়ের প্রস্থ (\(B\)) এবং মাটির ওজনের জন্য অবদান
- \(N_c, N_q, N_\gamma\): বিয়ারিং ক্যাপাসিটি ফ্যাক্টর (যা \(\phi\)-এর উপর নির্ভরশীল)
গভীরতা বৃদ্ধির সুবিধা: সারচার্জ টার্ম \(q = \gamma D_f\) বৃদ্ধি পাওয়ায় মাটির ফেলিউর জোনের উপর ল্যাটারাল কনফাইনমেন্ট বাড়ে, ফলে ভারবহন ক্ষমতা সরাসরি বৃদ্ধি পায়।
হাইওয়েতে স্টপিং সাইট ডিসট্যান্স (SSD) বলতে কী বোঝায়? একটি গাড়ির গতি \(80\,\text{km/h}\), চালকের প্রতিক্রিয়া সময় \(2.5\,\text{s}\) এবং অনুদৈর্ঘ্য ঘর্ষণ সহগ \(f = 0.35\) হলে সমতল সড়কে SSD নির্ণয় করো। [মান: ৫]
সংজ্ঞা: কোনো চালক রাস্তায় হঠাৎ কোনো বাধা দেখে গাড়ি থামানোর জন্য তার সামনে যে ন্যূনতম নিরাপদ দৃষ্টি দূরত্বের প্রয়োজন হয়।
গণনা:
গাড়ির গতি \(v = 80\,\text{km/h} = \frac{80}{3.6} = 22.22\,\text{m/s}\)
১. ল্যাগ দূরত্ব (Reaction distance): \[d_1 = v \times t = 22.22 \times 2.5 = 55.55\,\text{m}\]
২. ব্রেকিং দূরত্ব: \[d_2 = \frac{v^2}{2 g f} = \frac{(22.22)^2}{2 \times 9.81 \times 0.35} = \frac{493.73}{6.867} = 71.90\,\text{m}\]
মোট SSD: \[SSD = d_1 + d_2 = 55.55 + 71.90 = \mathbf{127.45\,\text{m}}\]
m দীর্ঘ একটি স্টিল রডের উভয় প্রান্ত দুটি অনমনীয় সাপোর্ট দ্বারা দৃঢ়ভাবে আবদ্ধ। তাপমাত্রা 31°C বৃদ্ধি করা হলে রডটিতে সৃষ্ট তাপীয় পীড়ন (Thermal Stress) কত হবে? (\(lpha = 12 imes 10^{-6}/^\circ ext{C}, \, E = 200 ext{ GPa}\)) [মান: ৫]
তাপীয় পীড়ন সমীকরণ:
যেহেতু সাপোর্ট সম্পূর্ণ অনমনীয় এবং প্রসারণে বাধা সৃষ্টি করে, তাই সৃষ্ট স্ট্রেন \(\epsilon = lpha \Delta T\)।
\[\sigma = E \cdot lpha \Delta T = (200 imes 10^3) imes (12 imes 10^{-6}) imes 31 = 74.4 ext{ MPa}\]
পীড়নের প্রকৃতি: সংকোচনমূলক (Compressive)।
থার্মাল স্ট্রেন ও অনমনীয় সাপোর্টের প্রতিক্রিয়া বল।
একটি 3.7 m দীর্ঘ নিরেট বৃত্তাকার স্টিল কলামের উভয় প্রান্ত পিন-যুক্ত (Both ends hinged)। কলামের ব্যাস 110 mm এবং \(E = 200\) GPa হলে অয়লারের সূত্রানুসারে ক্রিপলিং বা বাকলিং লোড (Euler's Critical Load) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
১. মোমেন্ট অব ইনার্শিয়া:
\[I = rac{\pi d^4}{64} = rac{\pi imes 110^4}{64} = 7186884.1 ext{ mm}^4\]
উভয় প্রান্ত পিন-যুক্ত হওয়ায় কার্যকরী দৈর্ঘ্য \(L_e = L = 3700.0\) mm।
২. অয়লারের ক্রিটিক্যাল লোড:
\[P_{cr} = rac{\pi^2 E I}{L_e^2} = rac{\pi^2 imes 200 imes 10^3 imes 7186884.1}{(3700.0)^2 imes 10^3} = 1036.26 ext{ kN}\]
কলামের বাকলিং তত্ত্ব ও অয়লারের সূত্রাবলী।
একটি আয়তাকার ওপেন চ্যানেলের তলদেশের প্রস্থ \(b = 2.7\) m এবং পানির গভীরতা \(y = 1.3\) m। চ্যানেলের অনুদৈর্ঘ্য ঢাল \(S = 0.001\) এবং ম্যানিংয়ের খসখসে গুণাঙ্ক \(n = 0.015\) হলে চ্যানেলের ডিসচার্জ (\(Q\)) কত? [মান: ৫]
ম্যানিংয়ের সমীকরণ:
প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল: \[A = b imes y = 2.7 imes 1.3 = 3.51 ext{ m}^2\]
ভিজা পরিসীমা: \[P = b + 2y = 2.7 + 2(1.3) = 5.3 ext{ m}\]
হাইড্রোলিক ব্যাসার্ধ: \[R = rac{A}{P} = rac{3.51}{5.3} = 0.662 ext{ m}\]
ডিসচার্জ: \[Q = rac{1}{n} A R^{2/3} S^{1/2} = rac{1}{0.015} imes 3.51 imes (0.662)^{2/3} imes \sqrt{0.001} = 5.621 ext{ m}^3 ext{/s}\]
মুক্ত তল প্রবাহ, ম্যানিং সূত্র ও হাইড্রোলিক ব্যাসার্ধ।
তারজাগির সূত্রানুসারে একটি 1.6 m × 1.6 m আকারের বর্গাকার অগভীর ফুটিংয়ের চরম ভারবহন ক্ষমতা (Ultimate Bearing Capacity, \(q_{ult}\)) নির্ণয় করো। প্রদত্ত: ভিত্তির গভীরতা \(D_f = 1.3\) m, মাটির \(c = 16 ext{ kN/m}^2\), \(\gamma = 17.7 ext{ kN/m}^3\), এবং ভারবহন ক্ষমতা সহগ \(N_c = 17.7, \, N_q = 7.4, \, N_\gamma = 5.0\)। [মান: ৫]
বর্গাকার ফুটিংয়ের জন্য তারজাগির সমীকরণ:
\[q_{ult} = 1.3 c N_c + \gamma D_f N_q + 0.4 \gamma B N_\gamma\]
\[q_{ult} = (1.3 imes 16 imes 17.7) + (17.7 imes 1.3 imes 7.4) + (0.4 imes 17.7 imes 1.6 imes 5.0)\]
\[q_{ult} = 368.16 + 170.27 + 56.64 = 595.07 ext{ kN/m}^2\]
তারজাগির বিয়ারিং ক্যাপাসিটি তত্ত্ব ও অগভীর ফাউন্ডেশন ডিজাইন।
একটি বর্জ্য পানির নমুনার চূড়ান্ত প্রথম-ক্রম বিওডি \(L_0 = 310\) mg/L। ডিওক্সিজেনেশন রেট কনস্ট্যান্ট \(k = 0.23 ext{ day}^{-1}\) (base e) হলে 20°C তাপমাত্রায় নমুনাটির ৫-দিনের বিওডি (5-day BOD, \( ext{BOD}_5\)) হিসাব করো। [মান: ৫]
BOD সমীকরণ:
\[ ext{BOD}_t = L_0 (1 - e^{-k t})\]
৫ দিন পর (\(t = 5\)):
\[ ext{BOD}_5 = 310 \left(1 - e^{-0.23 imes 5}
ight) = 310 \left(1 - e^{-1.15}
ight) = 310 (1 - 0.3166) = 211.84 ext{ mg/L}\]
বর্জ্য পানির গুণমান, প্রথম-ক্রম বিক্রিয়া ও বিওডি সমীকরণ।