DUET Admission 2027 Model Exam 061 - ইন্ডাস্ট্রিয়াল এন্ড প্রোডাকশন ইঞ্জিনিয়ারিং (IPE)
Industrial and Production Engineering · আসন সংখ্যা: 30
১ম পত্র: নন-টেকনিক্যাল (পদার্থবিজ্ঞান, রসায়ন, গণিত ও ইংরেজি)
পদার্থবিজ্ঞান (৪০) · রসায়ন (৪০) · গণিত (৪০) · ইংরেজি (৩০)বিভাগ-ক: বহু নির্বাচনি প্রশ্ন (MCQ)
৪০টি প্রশ্ন × ১.৫ নম্বর = ৬০ নম্বর (নেগেটিভ মার্ক ০.২৫)Ball bearing friction কমায় কীভাবে?
Rolling friction সাধারণত sliding friction-এর তুলনায় কেমন?
Coefficient of friction force-এর dimension কী?
Friction ও normal reaction-এর relation কী?
Normal reaction দ্বিগুণ হলে একই μ-তে friction কী হয়?
Coefficient দ্বিগুণ হলে একই N-এ friction কী হয়?
Friction work সাধারণত কী ধরনের?
Friction force-এর power-এর sign sliding-এর ক্ষেত্রে কী?
Inclined plane-এ θ=0 হলে plane horizontal; angle of repose-এর তুলনায় কী?
Inclined plane-এ θ angle of repose-এর চেয়ে বেশি হলে কী হয়?
\(\text{H₂O}\) অণুর কেন্দ্রীয় পরমাণুতে নিঃসঙ্গ মুক্তজোড় (Lone Pair) ইলেকট্রন সংখ্যা কত?
\(2H₂O(g) ⇌ 2H₂(g) + O₂(g)\) বিক্রিয়াটির জন্য \(K_p\) ও \(K_c\) এর সঠিক সম্পর্ক কোনটি?
Al এর অক্সাইডের প্রকৃতি সাধারণত কেমন?
N এর অক্সাইডের প্রকৃতি সাধারণত কেমন?
S এর অক্সাইডের প্রকৃতি সাধারণত কেমন?
He এর অক্সাইডের প্রকৃতি সাধারণত কেমন?
Zn এর অক্সাইডের প্রকৃতি সাধারণত কেমন?
VSEPR তত্ত্বানুসারে \(\text{CH₄}\) অণুর জ্যামিতিক আকৃতি কোনটি?
\(\text{CH₄}\) অণুটি পোলার (Polar) না অপোলার (Non-polar)?
লা-শাতেলিয়ারের নীতি অনুসারে \(PCl₅(g) ⇌ PCl₃(g) + Cl₂(g) - Q kJ\) বিক্রিয়ায় উৎপাদের পরিমাণ বৃদ্ধির অনুকূল শর্ত কোনটি?
(1 + i)/(1 - i) এর conjugate কোনটি?
x² + 3x + 1 = 0 সমীকরণের শূন্যগুলির যোগফল কত?
x² + 5x + 2 = 0 সমীকরণের গুণফল নির্ণয় করুন।
y = x³ - 3x² + 2 বক্ররেখার কোন বিন্দুতে স্পর্শক x-অক্ষের সমান্তরাল?
+ 4i এর imaginary part কত?
complex number-এর multiplicative identity কোনটি?
z = (1 + i)/(1 - i) হলে |z| কত?
z = -1 - i এর polar form কোনটি?
i এর square root কোনটি?
x² + 1 = 0 সমীকরণের solution কোনটি?
The number of students ___ increasing.
Select the most accurate synonym for the word 'BENEVOLENT' in context sample #1:
Select the most accurate synonym for the word 'ACUMEN' in context sample #7:
Select the most accurate synonym for the word 'MITIGATE' in context sample #14:
Select the most accurate synonym for the word 'CAPRICIOUS' in context sample #23:
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'Engineers from all across the nation converged ___ the annual national convention.'
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The project director was utterly disgusted ___ the contractor's sloppy workmanship.'
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The trade union representatives were openly hostile ___ the automated inspection policy.'
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'A soldier is strictly trained to remain obedient ___ superior chain of command.'
I usually ___ tea in the morning.
বিভাগ-খ: সংক্ষিপ্ত ও বর্ণনামূলক লিখিত প্রশ্ন (Written/CQ)
১৮টি প্রশ্ন × ৫ নম্বর = ৯০ নম্বরদুটি ভেক্টর \(\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}\) এবং \(\vec{B} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}\)।
(ক) ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণন (\(\vec{A} \cdot \vec{B}\)) এবং মধ্যবর্তী কোণ (\(\theta\)) নির্ণয় করো।
(খ) ভেক্টরদ্বয়ের ক্রস গুণন (\(\vec{A} \times \vec{B}\)) দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত? [মান: ৫]
গণনা:
(ক) ডট গুণন: \[ ec{A} \cdot \vec{B} = (2)(1) + (3)(-2) + (-1)(2) = 2 - 6 - 2 = \mathbf{-6}\]
মানসমূহ: \(|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{14} \approx 3.742\)
\(|\vec{B}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\)
কোণ: \[\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|} = \frac{-6}{3 \times \sqrt{14}} = \frac{-2}{\sqrt{14}} \approx -0.5345 \implies \mathbf{\theta \approx 122.31^\circ}\]
(খ) ক্রস গুণন: \[ ec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 2) - \hat{j}(4 + 1) + \hat{k}(-4 - 3) = 4\hat{i} - 5\hat{j} - 7\hat{k}\]
ক্ষেত্রফল = \(|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 25 + 49} = \sqrt{90} = \mathbf{9.487\text{ বর্গ একক}}\)।
হুকের সূত্রটি লেখ। একটি \(2\,\text{m}\) দীর্ঘ ও \(1\,\text{mm}^2\) প্রস্থচ্ছেদের তারে \(100\,\text{N}\) ভার চাপালে এর দৈর্ঘ্য \(1\,\text{mm}\) বৃদ্ধি পায়।
(ক) তারের উপাদানের ইয়ং-এর গুণাঙ্ক (\(Y\)) কত?
(খ) প্রসারিত তারে সঞ্চিত স্থিতিশক্তি (Elastic Potential Energy) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
হুকের সূত্র: স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে বস্তুর পীড়ন তার বিকৃতির সমানুপাতিক (\(\text{পীড়ন} \propto \text{বিকৃতি}\))।
গণনা:
- \(L = 2\,\text{m}, A = 1\,\text{mm}^2 = 10^{-6}\,\text{m}^2, F = 100\,\text{N}, \Delta L = 1\,\text{mm} = 10^{-3}\,\text{m}\)
(ক) ইয়ং-এর গুণাঙ্ক: \[Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L} = \frac{100 \times 2}{10^{-6} \times 10^{-3}} = \frac{200}{10^{-9}} = \mathbf{2 \times 10^{11}\,\text{N/m}^2\text{ (200 GPa)}}\]
(খ) সঞ্চিত স্থিতিশক্তি: \[U = \frac{1}{2} F \cdot \Delta L = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-3} = \mathbf{0.05\,\text{J}}\]
ডপলার প্রভাব (Doppler Effect) বিবৃত করো। একটি ট্রেনের বাঁশির প্রকৃত কম্পাঙ্ক \(400\,\text{Hz}\)। ট্রেনটি \(20\,\text{m/s}\) বেগে একজন স্থির পর্যবেক্ষকের দিকে এগিয়ে আসলে পর্যবেক্ষক কর্তৃক অনুভূত আপাত কম্পাঙ্ক কত হবে? (বাতাসে শব্দের বেগ \(v = 340\,\text{m/s}\)) [মান: ৫]
ডপলার প্রভাব: উৎস ও পর্যবেক্ষকের আপেক্ষিক গতির কারণে তরঙ্গের আপাত কম্পাঙ্কের পরিবর্তনকে ডপলার প্রভাব বলে।
গণনা: উৎস পর্যবেক্ষকের দিকে গতিশীল (\(v_s = 20\,\text{m/s}, v_o = 0\)):
\[f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 400 \left( \frac{340}{340 - 20} \right) = 400 \left( \frac{340}{320} \right) = 400 \times 1.0625 = \mathbf{425\,\text{Hz}}\]
একটি ডিফ্র্যাকশন গ্রেটিংয়ে প্রতি সেন্টিমিটারে 5000 টি দাগ কাটা আছে। \(600\,\text{nm}\) তরঙ্গদৈর্ঘ্যের আলোর জন্য প্রথম ক্রমের (First order) অপবর্তন কোণ (\(\theta\)) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
গ্রেটিং সমীকরণ (\(d \sin\theta = n \lambda\)):
গ্রেটিং ধ্রুবক: \[d = \frac{1}{N} = \frac{1\,\text{cm}}{5000} = \frac{10^{-2}\,\text{m}}{5000} = 2 \times 10^{-6}\,\text{m}\]
১ম ক্রম (\(n = 1\)), \(\lambda = 600 \times 10^{-9}\,\text{m}\):
\[\sin\theta = \frac{n \lambda}{d} = \frac{1 \times 600 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-6}} = 0.30\]
\[\mathbf{\theta = \sin^{-1}(0.30) \approx 17.46^\circ}\]
একটি সরল দোলকের ববের ভর 150 g এবং কার্যকরী দৈর্ঘ্য 1 m। ববটিকে সাম্যাবস্থান হতে 60° কোণে টেনে ছেড়ে দেওয়া হলো। সাম্যাবস্থান অতিক্রমকালে ববের বেগ এবং সুতার টান নির্ণয় করো। (g = 9.8 m/s²)
প্রদত্ত: দৈর্ঘ্য \(L = 1 ext{ m}\), কোণ \( heta = 60^\circ\), ভর \(m = 0.15 ext{ kg}\)।
সাম্যাবস্থান হতে উলম্ব উচ্চতা: \[h = L(1 - \cos 60^\circ) = 1(1 - 0.5) = 0.5 ext{ m}\]
শক্তির নিত্যতা নীতি অনুযায়ী: \[ rac{1}{2}mv^2 = mgh \implies v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 imes 9.8 imes 0.5} = \sqrt{9.8} pprox 3.13 ext{ m/s}\]
সাম্যাবস্থানে সুতার টান: \[T = mg + rac{mv^2}{L} = m\left(g + rac{v^2}{L}
ight) = 0.15\left(9.8 + rac{9.8}{1}
ight) = 0.15 imes 19.6 = 2.94 ext{ N}\]
সরল দোলকের যান্ত্রিক শক্তির রূপান্তর ও বৃত্তাকার গতির কেন্দ্রমুখী বল সমন্বয়।
ফ্যারাডের তড়িৎ বিশ্লেষণের ১ম সূত্রটি বিবৃত ও প্রতিপাদন করো (\(W = Z I t\))। কপার সালফেট দ্রবণে \(5\,\text{A}\) কারেন্ট \(30\,\text{minutes}\) চালনা করলে ক্যাথোডে কত গ্রাম তামা জমা হবে? (\(\text{Cu} = 63.5, 1\,\text{F} = 96500\,\text{C}\)) [মান: ৫]
১ম সূত্র: তড়িৎ বিশ্লেষণের সময় কোনো তড়িৎদ্বারে সঞ্চিত বা দ্রবীভূত পদার্থের ভর (\(W\)) প্রবাহিত মোট তড়িৎ আধানের (\(Q\)) সমানুপাতিক: \[W \propto Q \implies W = Z \cdot Q = \mathbf{Z I t}\]
(এখানে \(Z = \frac{\text{Molar mass}}{n \cdot F}\) হলো তড়িৎ-রাসায়নিক তুল্যাঙ্ক)।
গণনা (\(\text{Cu}^{2+} + 2e^- \rightarrow \text{Cu}\), ফলে \(n = 2\)):
- \(I = 5\,\text{A}\)
- \(t = 30 \times 60 = 1800\,\text{s}\)
- \(Q = I \cdot t = 5 \times 1800 = 9000\,\text{C}\)
\[Z = \frac{63.5}{2 \times 96500} = \frac{63.5}{193000} \approx 3.29 \times 10^{-4}\,\text{g/C}\]
সঞ্চিত তামার ভর: \[W = Z \cdot Q = (3.29 \times 10^{-4}) \times 9000 = \mathbf{2.961\,\text{g}}\]
মোলারিটি (Molarity) বলতে কী বোঝায়? \(250\,\text{mL}\) দ্রবণে \(10.6\,\text{g}\) সোডিয়াম কার্বনেট (\(\text{Na}_2\text{CO}_3\)) দ্রবীভূত থাকলে দ্রবণের মোলারিটি কত হবে? (\(\text{Na} = 23, \text{C} = 12, \text{O} = 16\)) [মান: ৫]
সংজ্ঞা: নির্দিষ্ট তাপমাত্রায় প্রতি লিটার (১০০০ মিলি) দ্রবণে দ্রবীভূত দ্রবের মোল সংখ্যাকে ঐ দ্রবণের মোলারিটি বলে (একক: \(\text{mol/L}\) বা M)।
গণনা:
\(\text{Na}_2\text{CO}_3\)-এর মোলার ভর: \[M_w = (23 \times 2) + 12 + (16 \times 3) = 46 + 12 + 48 = 106\,\text{g/mol}\]
মোলারিটির সূত্র: \[M = \frac{1000 \times w}{M_w \times V\,(\text{mL})}\]
- \(w = 10.6\,\text{g}, V = 250\,\text{mL}, M_w = 106\,\text{g/mol}\)
\[M = \frac{1000 \times 10.6}{106 \times 250} = \frac{10600}{26500} = \mathbf{0.40\,\text{M}}\]
অতএব দ্রবণের মোলার ঘনমাত্রা \(0.40\,\text{M}\)।
বাফার দ্রবণ কী? হেন্ডারসন-হ্যাসেলবালখ সমীকরণটি লেখ। \(0.1\,\text{M}\) অ্যাসিটিক অ্যাসিড এবং \(0.1\,\text{M}\) সোডিয়াম অ্যাসিটেট দ্রবণের মিশ্রণে গঠিত বাফার দ্রবণের pH কত? (\(K_a = 1.8 \times 10^{-5}\)) [মান: ৫]
বাফার দ্রবণ: যে দ্রবণে সামান্য এসিড বা ক্ষার যোগ করলেও দ্রবণের pH মান প্রায় অপরিবর্তিত থাকে।
হেন্ডারসন সমীকরণ: \[\text{pH} = \text{p}K_a + \log\frac{[\text{Salt}]}{[\text{Acid}]}\]
গণনা:
\(\text{p}K_a = -\log(1.8 \times 10^{-5}) = 4.745\)
\[\text{pH} = 4.745 + \log\frac{0.1}{0.1} = 4.745 + \log(1) = 4.745 + 0 = \mathbf{4.745}\]
\(25\,\text{mL}\) অজানা ঘনমাত্রার হাইড্রোক্লোরিক অ্যাসিড (\(\text{HCl}\)) দ্রবণকে প্রশমিত করতে \(0.15\,\text{M}\) সোডিয়াম কার্বনেট (\(\text{Na}_2\text{CO}_3\)) দ্রবণের \(20\,\text{mL}\) প্রয়োজন হলো। \(\text{HCl}\) দ্রবণের মোলারিটি এবং প্রতি লিটারে গ্রাম এককে ঘনমাত্রা নির্ণয় করো। [মান: ৫]
বিক্রিয়া সমীকরণ:
\[\text{Na}_2\text{CO}_3 + 2\text{HCl} \longrightarrow 2\text{NaCl} + \text{H}_2\text{O} + \text{CO}_2\]
এখানে, এসিডের মোল সংখ্যা \(n_A = 2\) এবং ক্ষারের মোল সংখ্যা \(n_B = 1\)।
টাইট্রেশন সূত্র:
\[\frac{V_A M_A}{n_A} = \frac{V_B M_B}{n_B} \implies \frac{25 \times M_A}{2} = \frac{20 \times 0.15}{1}\]
\[25 \times M_A = 2 \times 3.0 = 6.0 \implies M_A = \frac{6.0}{25} = \mathbf{0.24\,\text{M}}\]
গ্রাম/লিটার ঘনমাত্রা (\(S = M \times M_w\)):
\(\text{HCl}\)-এর আণবিক ভর = \(1 + 35.5 = 36.5\,\text{g/mol}\)।
\[S = 0.24 \times 36.5 = \mathbf{8.76\,\text{g/L}}\]
\(\text{SF}_6\) এবং \(\text{PCl}_5\) অণুদ্বয়ের সংকরায়ন (Hybridization), মুক্তজোড় ইলেকট্রন সংখ্যা এবং জ্যামিতিক আকৃতি বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করো।
১. \(\text{SF}_6\) অণু:
সালফারের যোজনী স্তরে ৬টি ইলেকট্রন এবং ৬টি ফ্লোরিন পরমাণুর সাথে ৬টি বন্ধন গঠন করে।
স্টেরিক সংখ্যা \(SN = 6 + 0 = 6\)। সংকরায়ন: \(sp^3d^2\)।
মুক্তজোড় ইলেকট্রন: 0টি। বন্ধন কোণ: 90°।
জ্যামিতিক আকৃতি: অষ্টতলকীয় (Octahedral)।
২. \(\text{PCl}_5\) অণু:
ফসফরাসের যোজনী স্তরে ৫টি ইলেকট্রন এবং ৫টি ক্লোরিনের সাথে ৫টি বন্ধন গঠন করে।
স্টেরিক সংখ্যা \(SN = 5 + 0 = 5\)। সংকরায়ন: \(sp^3d\)।
মুক্তজোড় ইলেকট্রন: 0টি। বন্ধন কোণ: 120° (নিরক্ষীয়) ও 90° (অক্ষীয়)।
জ্যামিতিক আকৃতি: ত্রিকোণাকার দ্বিপিরামিডীয় (Trigonal Bipyramidal)।
VSEPR তত্ত্ব ও সংকরায়ন কাঠামোর পূর্ণাঙ্গ বিশ্লেষণ।
ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে সমাধান করো (Cramer's Rule অথবা ইনভার্স পদ্ধতি):
\[2x + y = 7\]
\[3x - 2y = 7\]
ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়কের মান কত? [মান: ৫]
ম্যাট্রিক্স সমীকরণ: \[A X = B \implies \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 7 \end{bmatrix}\]
নির্ণায়কের মান: \[D = |A| = (2)(-2) - (1)(3) = -4 - 3 = -7 \neq 0\]
Cramer's Rule:
\[D_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 7 & -2 \end{vmatrix} = (7)(-2) - (1)(7) = -14 - 7 = -21\]
\[D_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} = (2)(7) - (7)(3) = 14 - 21 = -7\]
সমাধান: \[x = \frac{D_x}{D} = \frac{-21}{-7} = \mathbf{3}\]
\[y = \frac{D_y}{D} = \frac{-7}{-7} = \mathbf{1}\]
ক্র্যামারের নিয়ম (Cramer's Rule) ব্যবহার করে নিচের সমীকরণ জোট সমাধান করো:
\[x + y + z = 6\]
\[2x - y + z = 3\]
\[x + 2y - z = 2\] [মান: ৫]
নির্ণায়ক গঠন ও গণনা:
\[D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(1 - 2) - 1(-2 - 1) + 1(4 - (-1)) = -1 + 3 + 5 = 7\]
\[D_x = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 6(1 - 2) - 1(-3 - 2) + 1(6 - (-2)) = -6 + 5 + 8 = 7 \implies x = \frac{D_x}{D} = \frac{7}{7} = \mathbf{1}\]
\[D_y = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(-3 - 2) - 6(-2 - 1) + 1(4 - 3) = -5 + 18 + 1 = 14 \implies y = \frac{D_y}{D} = \frac{14}{7} = \mathbf{2}\]
\[D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 1(-2 - 6) - 1(4 - 3) + 6(4 - (-1)) = -8 - 1 + 30 = 21 \implies z = \frac{D_z}{D} = \frac{21}{7} = \mathbf{3}\]
নির্ণেয় সমাধান: \(\mathbf{(x, y, z) = (1, 2, 3)}\)।
\(y^2 = 8x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু (Vertex), উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (Focus), উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য (Latus Rectum) এবং নিয়ামক রেখার (Directrix) সমীকরণ নির্ণয় করো। [মান: ৫]
আদর্শ সমীকরণের সাথে তুলনা:
\(y^2 = 4ax\) এর সাথে তুলনা করে পাই: \(4a = 8 \implies a = 2\)।
১. শীর্ষবিন্দু: \((0, 0)\)
২. উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক: \((a, 0) = \mathbf{(2, 0)}\)
৩. উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: \(|4a| = |8| = \mathbf{8\text{ একক}}\)
৪. নিয়ামক রেখার সমীকরণ: \(x = -a \implies x = -2 \implies \mathbf{x + 2 = 0}\)।
L'Hôpital's Rule প্রয়োগ করে মান নির্ণয় করো: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}\]
প্রদত্ত সীমাস্থ মান \(x = 0\) বসিয়ে পাই: \[\frac{e^0 - e^0 - 0}{0 - \sin 0} = \frac{0}{0} \quad \text{(অসংজ্ঞায়িত রূপ)}\]
লব ও হরকে পৃথকভাবে \(x\) এর সাপেক্ষে পর পর ব্যবকলন (L'Hôpital's Rule) করে পাই:
১ম অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x} = \frac{1 + 1 - 2}{1 - 1} = \frac{0}{0}\]
২য় অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}\]
৩য় অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{e^0 + e^0}{\cos 0} = \frac{1 + 1}{1} = 2\]
সুতরাং নির্ণেয় মান: 2।
অনির্ণেয় আকার ও লাপ্লাস/লা-হস্পিটাল নিয়মের ধারাবাহিক ব্যবকলন প্রয়োগ।
উপবৃত্ত \(9x^2 + 16y^2 = 144\) এর (ক) উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity), (খ) উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক (Foci), এবং (গ) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণকে আদর্শ রূপ \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) এ প্রকাশ করে পাই:
\[\frac{9x^2}{144} + \frac{16y^2}{144} = 1 \implies \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\]
এখানে \(a^2 = 16 \implies a = 4\) এবং \(b^2 = 9 \implies b = 3\)। যেহেতু \(a > b\):
(ক) উৎকেন্দ্রিকতা (e): \[e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}\]
(খ) উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক: \[(\pm ae, 0) = \left(\pm 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}, 0\right) = (\pm \sqrt{7}, 0)\]
(গ) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: \[\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{4} = \frac{18}{4} = 4.5\text{ একক}\]
কণিক অধ্যায়ে উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ হতে বৈশিষ্ট্যাবলী বিশ্লেষণ।
নিচের বাক্যগুলোর ব্যাকরণগত ভুল সংশোধন করে সঠিক বাক্য লেখ:
(i) He gave me many advices.
(ii) The sceneries of Cox's Bazar are very charming.
(iii) He is senior than me in service.
(iv) The patient had died before the doctor came.
(v) Either of the two pens are good. [মান: ৫]
সংশোধিত বাক্যসমূহ:
(i) Correct: He gave me much advice. (বা He gave me many pieces of advice. 'Advice' হলো আনকাউন্টেবল নাউন)।
(ii) Correct: The scenery of Cox's Bazar is very charming. ('Scenery' সর্বদা সিঙ্গুলার)।
(iii) Correct: He is senior to me in service. (Senior, junior, superior, inferior এর পর 'to' বসে, 'than' নয়)।
(iv) Correct: The patient had died before the doctor came. (সঠিক বাক্য, অথবা The doctor came after the patient had died)।
(v) Correct: Either of the two pens is good. ('Either of' এর পর সিঙ্গুলার ভার্ব বসে)।
ব্র্যাকেটের ভার্বগুলোর সঠিক রূপ ব্যবহার করে বাক্যগুলো সম্পূর্ণ করো:
(i) If he (study) regularly, he would pass the DUET admission test.
(ii) It is high time we (start) the project.
(iii) The teacher entered the room while the students (make) a noise.
(iv) I look forward to (hear) from you soon.
(v) Had I possessed enough funds, I (establish) a software firm. [মান: ৫]
উত্তরসমূহ:
(i) studied (Second Conditional: If + Past Indefinite, would + base verb).
(ii) started ('It is high time' এর পর Past Indefinite tense হয়)।
(iii) were making ('While' এর পর Past Continuous tense হয়)।
(iv) hearing ('Look forward to' এর পর verb+ing বসে)।
(v) would have established (Third Conditional: Had + Subject + V3, Subject + would have + V3)।
Fill in the blanks with appropriate prepositions:
(i) The performance of an alternator depends ______ its excitation system.
(ii) Diploma engineers should adhere ______ safety regulations in the substation.
(iii) He is very proficient ______ Python programming.
(iv) The supervisor inquired ______ the cause of the boiler failure.
(v) This material is superior ______ conventional steel in corrosion resistance. [মান: ৫]
Answers:
(i) on / upon (depends on).
(ii) to (adhere to).
(iii) in / at (proficient in/at).
(iv) into / about (inquired into/about).
(v) to (superior to).
২য় পত্র: টেকনিক্যাল (বিভাগীয় বিষয়)
ইন্ডাস্ট্রিয়াল এন্ড প্রোডাকশন ইঞ্জিনিয়ারিং (স্পেশালাইজড ইঞ্জিনিয়ারিং)বিভাগ-ক: বহু নির্বাচনি প্রশ্ন (Technical MCQ)
৪০টি প্রশ্ন × ১.৫ নম্বর = ৬০ নম্বর (নেগেটিভ মার্ক ০.২৫)লিন ম্যানুফ্যাকচারিংয়ে (Lean Manufacturing) 'জাস্ট-ইন-টাইম' (JIT) দর্শনের মূল উদ্দেশ্য কোনটি?
টোটাল প্রোডাক্টিভ মেইনটেন্যান্সের (TPM) ৫এস (5S) কাঠামোর প্রথম ধাপ কোনটি?
অর্থনৈতিক বিশ্লেষণে ক্যাপিটাল রিকভারি ফ্যাক্টর (Capital Recovery Factor, CRF) দ্বারা কী গণনা করা হয়?
স্ট্রেট লাইন ডেপ্রিসিয়েশন (Straight Line Depreciation) পদ্ধতিতে প্রতি বছরের অবচয় কীভাবে নির্ধারিত হয়?
কিউয়িং থিওরিতে (Queuing Theory) ক্যান্ডাল নোটেশন M/M/1 এর অর্থ কী?
ট্রান্সপোর্টেশন সমস্যায় প্রাথমিক সম্ভাব্য সমাধান (Initial Basic Feasible Solution) নির্ণয়ে সবচেয়ে কম খরচের সেল পদ্ধতি কোনটি?
এরগনোমিক্সে (Ergonomics) কাজের পরিবেশ ডিজাইনে মানবদেহের কাঠামোগত পরিমাপ সংক্রান্ত বিদ্যাকে কী বলে?
টুল পরিধানের (Tool Wear) ক্ষেত্রে ক্র্যাটার ওয়্যার (Crater Wear) টুলের কোন তলে সংঘটিত হয়?
নন-ট্র্যাডিশনাল মেশিনিংয়ে ইলেকট্রিক্যাল ডিসচার্জ মেশিনিংয়ের (EDM) প্রধান কাটিং মেকানিজম কোনটি?
সারফেস রাফনেস বা পৃষ্ঠের খসখসে ভাব পরিমাপে 'Ra' মান বলতে নিচের কোনটিকে বোঝায়?
কাইজেন (Kaizen) শব্দটির জাপানি শিল্প ব্যবস্থাপনায় প্রকৃত অর্থ কী?
সুগার ক্যান বা অ্যাসেম্বলি লাইনে ব্যালেন্সিং লস (Balancing Loss / Balance Delay) এর সংজ্ঞা কোনটি?
ফ্যাসিলিটি লেআউটে রিলেশনশিপ চার্ট বা মুথারের রিলেশনশিপ চার্টে 'A' কোডের রেটিং কী নির্দেশ করে?
ম্যানুফ্যাকচারিং কস্টে প্রাইম কস্ট (Prime Cost) বলতে নিচের কোন দুই ব্যয়ের সমষ্টিকে বোঝায়?
অ্যাসাইনমেন্ট সমস্যা (Assignment Problem) সমাধানের জন্য সর্বাধিক দক্ষ পদ্ধতি কোনটি?
কাটিং ফ্লুইড বা কুল্যান্ট ব্যবহারের প্রাথমিক উদ্দেশ্য কোনটি?
ওয়ার্ক স্যাম্পলিংয়ে (Work Sampling) পর্যবেক্ষণের সংখ্যা (Sample Size, N) কিসের উপর নির্ভর করে?
সিলিন্ড্রিক্যাল গ্রাইন্ডিংয়ে গ্রাইন্ডিং হুইলের গ্রিট সাইজ (Grit Size) নম্বর যত বড় হয়, হুইলের ক্ষয়কারী দানাগুলো কেমন হয়?
ইঞ্জিনিয়ারিং প্রকল্পে পে-ব্যাক পিরিয়ড (Payback Period) পদ্ধতির প্রধান সীমাবদ্ধতা কোনটি?
অটোমেশনে রোবোটিক আর্মে মোট অ্যাকচুয়েটর বা স্বাধীন গতির সংখ্যাকে কী বলে?
লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ে (Linear Programming) সিমপ্লেক্স পদ্ধতিতে বেসিক ভেরিয়েবলসমূহের অপটিমালিটি যাচাইয়ের শর্ত কোনটি?
ক্লাসিক্যাল ইকোনমিক অর্ডার কোয়ান্টিটি (EOQ) মডেলে মোট বার্ষিক ইনভেন্টরি খরচ কখন সর্বনিম্ন হয়?
ইনভেন্টরির এবিসি বিশ্লেষণে (ABC Analysis) 'A' শ্রেণীর আইটেমসমূহের বৈশিষ্ট্য কোনটি?
প্রজেক্ট ম্যানেজমেন্টে পিইআরটি (PERT) পদ্ধতিতে একটি অ্যাক্টিভিটির প্রত্যাশিত সময় (Expected Time, t_e) নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?
কোয়ালিটি কন্ট্রোলে এক্স-বার ও আর (X̄ and R) চার্ট কোন ধরনের ডেটার জন্য ব্যবহৃত হয়?
সিক্স সিগমা (Six Sigma) প্রক্রিয়ার ডিফেক্ট রেট (Defects Per Million Opportunities, DPMO) কত?
ওয়ার্ক স্টাডিতে আদর্শ সময় (Standard Time) নির্ধারণের সঠিক সমীকরণ কোনটি?
থার্ব্লিগস (Therbligs) বলতে কাজের গতি অধ্যয়নে (Motion Study) নিচের কোনটিকে বোঝায়?
পণ্যের বৈচিত্র্য বেশি কিন্তু উৎপাদনের পরিমাণ কম হলে (Low Volume, High Variety) কোন ধরনের প্ল্যান্ট লেআউট সর্বাধিক উপযোগী?
ব্রেক-ইভেন বিশ্লেষণে (Break-Even Analysis) ব্রেক-ইভেন কোয়ান্টিটি (Q_BEP) নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?
মেশিনের রিলায়াবিলিটিতে মীন টাইম বিটুইন ফেইলিউরস (MTBF) কিসের নির্দেশক?
সাপ্লাই চেইন ম্যানেজমেন্টে তথ্য বিলম্ব ও ভুল অনুমানের কারণে রিটেইলার হতে ম্যানুফ্যাকচারার পর্যন্ত চাহিদার দোলন বহুগুণ বেড়ে যাওয়াকে কী বলে?
টুল মেকার্স মাইক্রোস্কোপ বা অপটিক্যাল প্রজেক্টরের প্রধান কাজ কী?
সিএনসি (CNC) প্রোগ্রামিংয়ে 'G01' কোডটি দ্বারা মেশিন টুলের কোন গতি বোঝায়?
ধাতব উপাদানের মেশিনিংয়ে চিপ তৈরিতে কন্টিনিউয়াস চিপ উইথ বিল্ট-আপ এজ (BUE) সৃষ্টির প্রধান কারণ কোনটি?
মার্চেন্টের বল ডায়াগ্রামে (Merchant's Circle Diagram) কাটিং ফোর্স (F_c) এবং থ্রাস্ট ফোর্স (F_t) এর লব্ধি বলের নাম কী?
ঢালাই বা কাস্টিংয়ে সলিডিফিকেশন সময় (Solidification Time, t) নির্ণয়ে চভোরিনভের সূত্র (Chvorinov's Rule) কোনটি?
শিট মেটাল অপারেশনে ব্ল্যাঙ্কিং (Blanking) এবং পানচিংয়ের (Punching) মূল পার্থক্য কোনটি?
হোল বেসিস সিস্টেমে (Hole Basis System) বেসিক হোলের নিম্ন বিচ্যুতি (Lower Deviation, EI) কত হয়?
প্রক্রিয়া সক্ষমতা সূচক (Process Capability Index, C_p) 1.33 এর বেশি হলে প্রক্রিয়াটি সম্পর্কে কী বলা যায়?
বিভাগ-খ: টেকনিক্যাল লিখিত প্রশ্ন (Technical Written/CQ)
১৮টি প্রশ্ন × ৫ নম্বর = ৯০ নম্বরতাপগতিবিদ্যার ১ম সূত্রটি বিবৃতি ও সমীকরণসহ লেখ (\(dQ = dU + dW\))। একটি বদ্ধ গ্যাসে \(500\,\text{J}\) তাপ প্রয়োগ করার ফলে গ্যাসটি সম্প্রসারিত হয়ে \(200\,\text{J}\) কাজ সম্পাদন করে। গ্যাসটির অভ্যন্তরীণ শক্তির (Internal Energy) পরিবর্তন কত? সমআয়তন (Isochoric) প্রক্রিয়ায় কাজ কত হয়? [মান: ৫]
বিবৃতি: কোনো সিস্টেম দ্বারা গৃহীত তাপশক্তি (\(dQ\)) সিস্টেমের অভ্যন্তরীণ শক্তি বৃদ্ধি (\(dU\)) এবং সিস্টেম কর্তৃক সম্পাদিত বাহ্যিক কাজের (\(dW\)) সমষ্টির সমান।
গণনা:
- \(dQ = +500\,\text{J}\)
- \(dW = +200\,\text{J}\)
\[dU = dQ - dW = 500 - 200 = \mathbf{+300\,\text{J}}\]
অভ্যন্তরীণ শক্তি \(300\,\text{J}\) বৃদ্ধি পায়।
সমআয়তন প্রক্রিয়ায়: আয়তনের কোনো পরিবর্তন হয় না (\(dV = 0\)), ফলে কাজ \[dW = P \cdot dV = \mathbf{0\,\text{J}}\]
আর্দ্র বাষ্পের (Wet Steam) ড্রাইনেস ফ্র্যাকশন (\(x\))-এর সংজ্ঞা দাও। \(10\,\text{bar}\) চাপে স্টিমের সংবেদনশীল তাপ \(h_f = 762.6\,\text{kJ/kg}\) এবং সুপ্ততাপ \(h_{fg} = 2013.6\,\text{kJ/kg}\)। যদি বাষ্পের ড্রাইনেস ফ্র্যাকশন \(x = 0.90\) হয়, তবে \(1\,\text{kg}\) আর্দ্র বাষ্পের মোট এনথালপি (\(h\)) কত? [মান: ৫]
ড্রাইনেস ফ্র্যাকশন (\(x\)): আর্দ্র বাষ্পে বিদ্যমান শুষ্ক বাষ্পের ভর (\(m_s\)) এবং বাষ্প ও পানির মোট ভরের (\(m_s + m_w\)) অনুপাত: \[x = \frac{m_s}{m_s + m_w}\]
এনথালপি গণনা: সূত্র: \[h = h_f + x \cdot h_{fg}\]
\[h = 762.6 + (0.90 \times 2013.6) = 762.6 + 1812.24 = \mathbf{2574.84\,\text{kJ/kg}}\]
অতএব আর্দ্র বাষ্পের এনথালপি \(2574.84\,\text{kJ/kg}\)।
ডিজেল সাইকেলে কাট-অফ রেশিও (Cut-off Ratio, \(r_c\)) বলতে কী বোঝায়? একই কম্প্রেশন রেশিওতে অটো সাইকেল এবং ডিজেল সাইকেলের দক্ষতার তুলনা করো। [মান: ৫]
কাট-অফ রেশিও: ধ্রুব চাপে দহন শেষে সিলিন্ডারের আয়তন (\(V_3\)) এবং দহন শুরুর আয়তনের (\(V_2\)) অনুপাতকে কাট-অফ রেশিও বলে: \[r_c = \frac{V_3}{V_2}\]
দক্ষতার তুলনা:
- একই কম্প্রেশন রেশিওতে: \(\eta_{otto} > \eta_{diesel}\) (অটো সাইকেলে স্থির আয়তনে সম্পূর্ণ তাপ যোগ হওয়ায় কার্যকর তাপীয় চক্র অধিক দক্ষ হয়)।
- তবে বাস্তব ক্ষেত্রে নকশাগত সীমাবদ্ধতায় ডিজেল ইঞ্জিনের কম্প্রেশন রেশিও (\(15-22\)) পেট্রোল ইঞ্জিনের (\(6-10\)) চেয়ে অনেক বেশি রাখা যায়, ফলে বাস্তব ডিজেল ইঞ্জিন অধিক মাইলেজ ও দক্ষতা দেয়।
বাষ্প সংকোচন হিমায়ন পদ্ধতির (VCRS) প্রধান চারটি উপাদান—কম্প্রেসর, কনডেন্সার, এক্সপানশন ভালভ এবং ইভাপোরেটরের কাজ সংক্ষেপে লেখ। হিমায়নে COP (Coefficient of Performance) কীভাবে সংজ্ঞায়িত হয়? [মান: ৫]
চারটি প্রধান উপাদান:
১. Compressor: ইভাপোরেটর থেকে কম চাপ ও তাপমাত্রার বাষ্পীয় রেফ্রিজারেন্ট টেনে নিয়ে সংকুচিত করে উচ্চ চাপ ও তাপমাত্রায় কনডেন্সারে পাঠায়।
২. Condenser: উচ্চ তাপমাত্রার বাষ্প থেকে তাপ পরিবেশে বর্জন করে তরল রেফ্রিজারেন্টে পরিণত করে।
৩. Expansion Valve (Throttle Valve): উচ্চ চাপের তরল রেফ্রিজারেন্টের চাপ ও তাপমাত্রা হঠাৎ কমিয়ে নিয়ন্ত্রণ করে ইভাপোরেটরে প্রবেশ করায়।
৪. Evaporator: শীতলীকরণ স্থান থেকে তাপ শোষণ করে রেফ্রিজারেন্টকে বাষ্পীভূত করে কামরা ঠান্ডা করে।
COP সংজ্ঞা: উৎপাদিত রেফ্রিজারেশন ইফেক্ট (\(Q_e\)) এবং কম্প্রেসরে সরবরাহকৃত কাজের (\(W\)) অনুপাত: \[\mathbf{\text{COP} = \frac{Q_e}{W}}\]
টন হিমায়ন (1 Ton of Refrigeration বা TR) বলতে কী বোঝায়? প্রমাণ করো যে \(1\,\text{TR} = 3.517\,\text{kW}\) (বা \(211\,\text{kJ/min}\))। [মান: ৫]
সংজ্ঞা: \(0^\circ\text{C}\) তাপমাত্রার ১ টন (বা ২০০০ পাউন্ড / ৯০৭.১৮ কেজি) পানিকে ২৪ ঘণ্টায় সমতাপমাত্রার বরফে পরিণত করতে যে হারে তাপ নিষ্কাশন করতে হয় তাকে ১ টন রেফ্রিজারেশন বলে।
হিসাব (SI এককে):
বরফ গলনের সুপ্ততাপ: \(L = 335\,\text{kJ/kg}\)।
১ মেট্রিক টন \(= 1000\,\text{kg}\)।
২৪ ঘণ্টায় অপসারিত তাপ: \(Q = 1000 \times 335 = 335,000\,\text{kJ}\)।
প্রতি মিনিটে তাপ অপসারণ: \[ rac{335,000}{24 \times 60} = \frac{335000}{1440} \approx \mathbf{232.6\,\text{kJ/min}}\]
ইউএস টন (2000 lbs = 907.2 kg) হিসাবে: \[Q = \frac{907.2 \times 335}{24 \times 3600} = \frac{303912}{86400} = \mathbf{3.517\,\text{kJ/s} = 3.517\,\text{kW}}\]
পাম্প এবং টারবাইনে ক্যাভিটেশন (Cavitation) কী? ক্যাভিটেশন সৃষ্টির কারণ এবং এর ক্ষতিকর প্রভাবগুলো লেখ। NPSH কী? [মান: ৫]
ক্যাভিটেশন: তরল প্রবাহে কোনো অঞ্চলের চাপ যদি ঐ তাপমাত্রার বাষ্প চাপের (Vapor pressure) চেয়ে নিচে নেমে যায়, তবে তরল ফুটে বাষ্পের বুদবুদ সৃষ্টি করে। এই বুদবুদ উচ্চচাপ অঞ্চলে গিয়ে হঠাৎ তীব্রভাবে বিস্ফোরিত (Implode) হয়ে ধাতব পৃষ্ঠের উপর মারাত্মক আঘাত হানে, একে ক্যাভিটেশন বলে।
ক্ষতিকর প্রভাব:
১. ইম্পেলার ও ব্লেডের গায়ে গভীর পিটিং ও ক্ষত (Pitting corrosion) সৃষ্টি করে।
২. তীব্র কম্পন ও বিকট শব্দ তৈরি করে।
৩. পাম্প বা টারবাইনের দক্ষতা মারাত্মকভাবে হ্রাস পায়।
NPSH: Net Positive Suction Head—ক্যাভিটেশন রোধে পাম্পের ইনলেটে বাষ্প চাপের চেয়ে যে পরিমাণ অতিরিক্ত প্রেসার হেড থাকা আবশ্যক।
মিলিং মেশিনে আপ-মিলিং (Up-milling / Conventional) এবং ডাউন-মিলিং (Down-milling / Climb)-এর মধ্যে প্রধান পার্থক্য চিত্রসহ আলোচনা করো। কাটিং ফোর্সের দিক ও সারফেস ফিনিশ কেমন হয়? [মান: ৫]
পার্থক্য:
১. গতির দিক: আপ-মিলিংয়ে কাটার ও ওয়ার্কপিসের ফিডের দিক পরস্পর বিপরীত; ডাউন-মিলিংয়ে কাটার ও ফিডের দিক একই।
২. চিপের পুরুত্ব: আপ-মিলিংয়ে চিপের পুরুত্ব শূন্য থেকে শুরু হয়ে সর্বোচ্চ হয়; ডাউন-মিলিংয়ে শুরুতে সর্বোচ্চ চিপ পুরুত্ব নিয়ে কাটা শুরু হয়ে শেষে শূন্য হয়।
৩. কাটিং ফোর্স: আপ-মিলিংয়ে কাটিং ফোর্স ওয়ার্কপিসকে টেবিল থেকে উপরের দিকে তুলে ফেলতে চায়; ডাউন-মিলিংয়ে ওয়ার্কপিসকে টেবিলের দিকে চেপে ধরে।
৪. সারফেস ফিনিশ: ডাউন-মিলিংয়ে অত্যন্ত উন্নতমানের মসৃণ সারফেস ফিনিশ পাওয়া যায়।
একটি সিম্পল গিয়ার ট্রেন এবং একটি কম্পাউন্ড গিয়ার ট্রেনের মধ্যে পার্থক্য কী? একটি কম্পাউন্ড গিয়ার ট্রেনের ১ম গিয়ারের দাঁত সংখ্যা \(20\), ২য় গিয়ারের \(40\), ৩য় গিয়ারের \(15\) এবং ৪র্থ গিয়ারের \(60\) হলে ট্রেনের স্পিড রেশিও নির্ণয় করো। [মান: ৫]
পার্থক্য: সিম্পল গিয়ার ট্রেনে প্রতি শ্যাফটে কেবল ১টি গিয়ার থাকে; কম্পাউন্ড গিয়ার ট্রেনে একই শ্যাফটে একাধিক গিয়ার মাউন্ট করা থাকে।
গণনা:
ধরি গিয়ার ১ ড্রাইভার (\(T_1 = 20\)), গিয়ার ২ ও ৩ একই শ্যাফটে কম্পাউন্ড (\(T_2 = 40, T_3 = 15\)), এবং গিয়ার ৪ ড্রিভেন (\(T_4 = 60\))।
স্পিড রেশিও: \[ rac{N_1}{N_4} = \frac{\text{Product of Teeth of Drivens}}{\text{Product of Teeth of Drivers}} = \frac{T_2 \times T_4}{T_1 \times T_3}\]
\[\frac{N_1}{N_4} = \frac{40 \times 60}{20 \times 15} = \frac{2400}{300} = \mathbf{8}\]
অতএব গিয়ার ট্রেনের স্পিড রেশিও হলো \(8:1\)।
ইনভেন্টরি নিয়ন্ত্রণে ইকোনমিক অর্ডার কোয়ান্টিটি (EOQ) মডেলের উইলসন সূত্র \(EOQ = \sqrt{\frac{2 D S}{H}}\) প্রতিপাদন করো (যেখানে \(D\) বার্ষিক চাহিদা, \(S\) অর্ডারিং কস্ট, \(H\) হোল্ডিং কস্ট)। [মান: ৫]
প্রতিপাদন:
ধরি ব্যাচ সাইজ বা অর্ডার পরিমাণ = \(Q\)।
১. বার্ষিক অর্ডারিং খরচ: \[C_o = \left(\frac{D}{Q}\right) \times S\]
২. বার্ষিক হোল্ডিং বা ক্যারিং খরচ (গড় ইনভেন্টরি \(Q/2\)): \[C_h = \left(\frac{Q}{2}\right) \times H\]
মোট খরচ: \[TC = \frac{D \cdot S}{Q} + \frac{Q \cdot H}{2}\]
মোট খরচ সর্বনিম্ন করার জন্য \(\frac{d(TC)}{dQ} = 0\):
\[-\frac{D \cdot S}{Q^2} + \frac{H}{2} = 0 \implies \frac{H}{2} = \frac{D \cdot S}{Q^2}\]
\[Q^2 = \frac{2 D S}{H} \implies \mathbf{Q_{EOQ} = \sqrt{\frac{2 D S}{H}}}\] (প্রমাণিত)
পরিসংখ্যানিক মান নিয়ন্ত্রণ (SQC)-এ কন্ট্রোল চার্ট ব্যবহারের মূল উদ্দেশ্য কী? \(\bar{X}\) চার্ট এবং \(R\) চার্টের কন্ট্রোল লিমিটের (UCL এবং LCL) সূত্রগুলো লেখ। [মান: ৫]
উদ্দেশ্য: উৎপাদন প্রক্রিয়ায় কোনো বিশেষ ত্রুটি (Assignable cause) তৈরি হয়েছে কি না তা সময়মতো শনাক্ত করে প্রক্রিয়াকে স্ট্যাটিস্টিক্যাল নিয়ন্ত্রণে রাখা।
কন্ট্রোল লিমিট সূত্র:
১. \(\bar{X}\) Chart (গড় মান নিয়ন্ত্রণ):
- \(\text{UCL} = \bar{\bar{X}} + A_2 \bar{R}\)
- \(\text{CL} = \bar{\bar{X}}\)
- \(\text{LCL} = \bar{\bar{X}} - A_2 \bar{R}\)
২. \(R\) Chart (বিস্তার বা ভ্যারিয়েশন নিয়ন্ত্রণ):
- \(\text{UCL} = D_4 \bar{R}\)
- \(\text{CL} = \bar{R}\)
- \(\text{LCL} = D_3 \bar{R}\)
(এখানে \(A_2, D_3, D_4\) হলো স্যাম্পল সাইজের উপর ভিত্তি করে নির্ধারিত স্ট্যান্ডার্ড ফ্যাক্টর)।
একটি কারখানা দুটি পণ্য \(A\) এবং \(B\) উৎপাদন করে। প্রতি ইউনিট \(A\) তৈরিতে লাভ \(40\) টাকা এবং \(B\)-তে লাভ \(30\) টাকা। \(A\)-এর জন্য \(2\) ঘণ্টা কাটিং ও \(1\) ঘণ্টা পলিশিং লাগে; \(B\)-এর জন্য \(1\) ঘণ্টা কাটিং ও \(2\) ঘণ্টা পলিশিং লাগে। কারখানায় দৈনিক সর্বোচ্চ \(100\) ঘণ্টা কাটিং এবং \(80\) ঘণ্টা পলিশিং সময় পাওয়া যায়। মুনাফা সর্বোচ্চকরণের জন্য একটি লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা (LPP) ফরম্যুলেট করো। [মান: ৫]
LPP Formulation:
ধরি, কারখানা দৈনিক \(x_1\) ইউনিট পণ্য \(A\) এবং \(x_2\) ইউনিট পণ্য \(B\) তৈরি করে।
উদ্দেশ্যমূলক ফাংশন (Objective Function):
\[\text{Maximize } Z = 40 x_1 + 30 x_2\]
সীমাবদ্ধতা শর্তাবলী (Constraints):
১. কাটিং সময়ের সীমাবদ্ধতা: \[2 x_1 + x_2 \le 100\]
২. পলিশিং সময়ের সীমাবদ্ধতা: \[x_1 + 2 x_2 \le 80\]
৩. অ-ঋণাত্মক শর্ত (Non-negativity constraint): \[x_1 \ge 0, \quad x_2 \ge 0\]
রেফ্রিজারেশনের টন (Ton of Refrigeration, 1 TR) বলতে কী বোঝায় এবং এর মান \(\text{kW}\)-এ কত? একটি রেফ্রিজারেটর \(2\,\text{kW}\) শক্তি গ্রহণ করে \(7\,\text{kW}\) হারে শীতলীকরণ প্রভাব (Refrigeration Effect) বজায় রাখে। এর কার্যসম্পাদন সহগ (Coefficient of Performance, \(\text{COP}\)) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
1 TR সংজ্ঞা: \(0^\circ\text{C}\) তাপমাত্রার ১ টন (২০০০ পাউন্ড বা ৯০৭.১৮ কেজি) বিশুদ্ধ পানিকে ২৪ ঘণ্টায় সমান হারে \(0^\circ\text{C}\) তাপমাত্রার বরফে পরিণত করতে যে হারে তাপ অপসারণ করতে হয় তাকে ১ টন রেফ্রিজারেশন বলে।
\[1\,\text{TR} = 3.517\,\text{kW} = 210\,\text{kJ/min} = 50\,\text{kcal/min}\]
COP গণনা: সূত্র: \[\text{COP} = \frac{\text{Refrigeration Effect (}Q_{\text{ref}}\text{)}}{\text{Work Input (}W_{\text{in}}\text{)}} = \frac{7\,\text{kW}}{2\,\text{kW}} = \mathbf{3.5}\]
একটি কার্নো ইঞ্জিন 410°C এবং 31°C তাপমাত্রার দুটি তাপাধারের মধ্যে পরিচালিত হয়। ইঞ্জিনটি উৎস থেকে প্রতি চক্রে 520 kJ তাপ গ্রহণ করলে (ক) ইঞ্জিনের তাপীয় দক্ষতা কত? এবং (খ) প্রতি চক্রে কৃতকাজের পরিমাণ ও গ্রাহকে বর্জিত তাপ হিসাব করো। [মান: ৫]
১. পরম তাপমাত্রা ও কর্মদক্ষতা:
\(T_1 = 410 + 273.15 = 683.15\) K, \(T_2 = 31 + 273.15 = 304.15\) K।
\[\eta = 1 - rac{T_2}{T_1} = 1 - rac{304.15}{683.15} = 0.5548 = 55.48\%\longleftarrow\]
২. কৃতকাজ ও বর্জিত তাপ:
\[W = \eta \cdot Q_{in} = 0.5548 imes 520 = 288.5 ext{ kJ}\]
\[Q_{out} = Q_{in} - W = 520 - 288.5 = 231.5 ext{ kJ}\]
কার্নো তাপ ইঞ্জিন চক্র, পরম তাপমাত্রা স্কেল ও তাপগতিবিদ্যার দ্বিতীয় সূত্র।
একটি ফার্নেসের দেয়াল 200 mm পুরু ফায়ারব্রিক (\(k_1 = 0.9 ext{ W/m}\cdot ext{K}\)) এবং 50 mm পুরু ইনসুলেশন স্তর (\(k_2 = 0.05 ext{ W/m}\cdot ext{K}\)) দ্বারা গঠিত। অভ্যন্তরীণ তাপমাত্রা 205°C এবং বাইরের তাপমাত্রা 25°C হলে প্রতি বর্গমিটারে তাপ স্থানান্তরের হার নির্ণয় করো। [মান: ৫]
১. তাপীয় রোধ (Thermal Resistance):
\[R_{th} = rac{L_1}{k_1} + rac{L_2}{k_2} = rac{0.2}{0.9} + rac{0.05}{0.05} = 0.222 + 1.0 = 1.222 ext{ K}\cdot ext{m}^2 ext{/W}\]
২. তাপ স্থানান্তরের হার:
\[q = rac{\Delta T}{R_{th}} = rac{205 - 25}{1.222} = rac{180}{1.222} = 147.3 ext{ W/m}^2\]
যৌগিক দেয়ালে পরিবাহী তাপ স্থানান্তর ও তাপীয় রোধের ধারণা।
একটি পেল্টন হুইল টারবাইন কার্যকর হেড \(H = 210\) m এবং ডিসচার্জ \(Q = 0.55 ext{ m}^3 ext{/s}\) তে চালিত হচ্ছে। সামগ্রিক দক্ষতা \(\eta_o = 86\%\) হলে টারবাইনটির শ্যাফট পাওয়ার (Shaft Power) কিলোওয়াটে নির্ণয় করো। [মান: ৫]
১. পানির ক্ষমতা (Water Power):
\[P_w =
ho g Q H = 9.81 imes 0.55 imes 210 = 1133.06 ext{ kW}\]
২. শ্যাফট পাওয়ার (Shaft Power):
\[P_{shaft} = \eta_o imes P_w = 0.86 imes 1133.06 = 974.43 ext{ kW}\]
ইমপালস টারবাইনের জলবিদ্যুৎ রূপান্তর ও সামগ্রিক দক্ষতা।
একটি সলিড স্টিল শ্যাফট 1500 rpm গতিতে 55 kW ক্ষমতা স্থানান্তর করে। শ্যাফটের উপাদানের সর্বোচ্চ অনুমোদিত শিয়ার স্ট্রেস 45 MPa হলে শ্যাফটের উপযুক্ত ব্যাস (Diameter) নির্ধারণ করো। [মান: ৫]
১. স্থানান্তরিত টর্ক গণনা:
\[T = rac{60 imes P}{2 \pi N} = rac{60 imes 55 imes 10^3}{2 imes \pi imes 1500} = 350.14 ext{ N}\cdot ext{m}\]
২. শ্যাফট ব্যাস:
\[T = rac{\pi}{16} au d^3 \implies d = \left( rac{16 T}{\pi au}
ight)^{1/3} = \left( rac{16 imes 350.14 imes 10^3}{\pi imes 45}
ight)^{1/3} = 34.1 ext{ mm}\]
টর্শন সমীকরণ ও পাওয়ার ট্রান্সমিশন শ্যাফট ডিজাইন।
একটি ঘূর্ণনশীল শ্যাফট একই সাথে \(M = 1.6\) kN·m বেন্ডিং মোমেন্ট এবং \(T = 2.1\) kN·m টর্শনাল মোমেন্ট গ্রহণ করে। গেস্টের তত্ত্ব (সর্বোচ্চ শিয়ার স্ট্রেস তত্ত্ব) অনুসারে সমতুল্য টুইস্টিং মোমেন্ট (\(T_e\)) এবং র্যাংকিনের তত্ত্ব অনুসারে সমতুল্য বেন্ডিং মোমেন্ট (\(M_e\)) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
১. সমতুল্য টুইস্টিং মোমেন্ট (Equivalent Twisting Moment):
\[T_e = \sqrt{M^2 + T^2} = \sqrt{1.6^2 + 2.1^2} = \sqrt{6.97} = 2.64 ext{ kN}\cdot ext{m}\]
২. সমতুল্য বেন্ডিং মোমেন্ট (Equivalent Bending Moment):
\[M_e = rac{1}{2} \left( M + \sqrt{M^2 + T^2}
ight) = rac{1}{2} (1.6 + 2.64) = 2.12 ext{ kN}\cdot ext{m}\]
সম্মিলিত বেন্ডিং ও টর্শনের ক্ষেত্রে শ্যাফট ডিজাইনের ব্যর্থতা তত্ত্ব।
অর্থোগোনাল কাটিং (Orthogonal Cutting) অপারেশনে একটি কাটিং টুলের রেক কোণ \(lpha = 10^\circ\)। না-কাটা চিপের পুরুত্ব \(t_1 = 0.25\) mm এবং কাটার পর চিপের পুরুত্ব \(t_2 = 0.55\) mm। চিপ থিকনেস রেশিও (\(r\)) এবং শিয়ার কোণ (Shear Angle, \(\phi\)) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
১. চিপ থিকনেস রেশিও:
\[r = rac{t_1}{t_2} = rac{0.25}{0.55} = 0.455\]
২. শিয়ার কোণ সমীকরণ:
\[ an\phi = rac{r \coslpha}{1 - r \sinlpha} = rac{0.455 \cos(10^\circ)}{1 - 0.455 \sin(10^\circ)} = rac{0.4481}{0.921} = 0.4865\]
\[\phi = an^{-1}(0.4865) = 25.94^\circ\longleftarrow\]
ধাতু কর্তন বলবিজ্ঞান ও মার্চেন্ট সার্কেল তত্ত্ব।