DUET Admission 2027 Model Exam 011 - ইন্ডাস্ট্রিয়াল এন্ড প্রোডাকশন ইঞ্জিনিয়ারিং (IPE)
Industrial and Production Engineering · আসন সংখ্যা: 30
১ম পত্র: নন-টেকনিক্যাল (পদার্থবিজ্ঞান, রসায়ন, গণিত ও ইংরেজি)
পদার্থবিজ্ঞান (৪০) · রসায়ন (৪০) · গণিত (৪০) · ইংরেজি (৩০)বিভাগ-ক: বহু নির্বাচনি প্রশ্ন (MCQ)
৪০টি প্রশ্ন × ১.৫ নম্বর = ৬০ নম্বর (নেগেটিভ মার্ক ০.২৫)একটি wheel-এর radius 0.2 m এবং 5 revolution করলে rim-এর distance কত?
Distance=5×2πr=5×2π×0.2=2π m; তাই সঠিক option b।
Angular displacement 2π rad হলে linear arc distance কী?
s=rθ=2πr।
একটি point-এর angular speed fixed হলে তার period radius বদলালে কী হয়?
ω=2π/T; radius period relation-এ সরাসরি নেই।
একই wheel-এর center ও rim-এর angular displacement কেমন?
Rigid body-এর সব point একই angle ঘোরে।
একই wheel-এর center ও rim-এর arc displacement কেমন?
s=rθ; rim-এর radius বেশি, তাই arc distance বেশি।
Angular velocity constant হলেও rim-এর linear acceleration zero কি?
Direction change-এর জন্য a_c=rω² non-zero।
Center point-এর centripetal acceleration কত?
Center-এ r=0, তাই a_c=0।
একটি rotating body-এর angular velocity 0 হলে linear speed কী?
v=rω=0।
একটি body pure translation করলে angular velocity কী?
Pure translation-এ body rotate করে না, তাই angular velocity zero।
একটি body pure rotation করলে center of rotation-এর linear speed কী?
Axis-এর point-এর radius zero, তাই v=0।
°C তাপমাত্রায় \(\text{Cl₂}\) গ্যাসের মূল গড় বর্গবেগ (RMS Velocity) কত? (M = 71.0 g/mol, R = 8.314 J/mol·K)
\[v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 273.1}{71.0 \times 10^{-3}}} = 309.8\text{ m/s}\]
\(2NO₂(g) ⇌ N₂O₄(g) + 57 kJ\) বিক্রিয়াটির জন্য \(K_p\) ও \(K_c\) এর সঠিক সম্পর্ক কোনটি?
\(\Delta n = -1\)। সূত্রানুসারে \(K_p = K_c(RT)^{\Delta n}\) হওয়ায় সঠিক রূপ \(Kp = Kc(RT)⁻¹\)।
Mg মৌলটির বিশিষ্ট রাসায়নিক বৈশিষ্ট্য কোনটি?
Mg এর প্রধান বৈশিষ্ট্য: মৃৎক্ষার ধাতু, ক্লোরোফিলের কেন্দ্রীয় ধাতু।
VSEPR তত্ত্বানুসারে \(\text{PCl₅}\) অণুর জ্যামিতিক আকৃতি কোনটি?
\(\text{PCl₅}\) এ 5টি বন্ধনজোড় ও 0টি মুক্তজোড় ইলেকট্রন থাকায় এর আকৃতি Trigonal Bipyramidal।
\(\text{XeF₄}\) অণুটি পোলার (Polar) না অপোলার (Non-polar)?
অণুর জ্যামিতিক প্রতিসাম্য ও নিঃসঙ্গ জোড়ের উপস্থিতির কারণে পোলার (Polar) কারণ লব্ধি ডাইপোল মোমেন্ট \(\mu \ne 0\)।
VSEPR তত্ত্বানুসারে \(\text{ClF₃}\) অণুর জ্যামিতিক আকৃতি কোনটি?
\(\text{ClF₃}\) এ 3টি বন্ধনজোড় ও 2টি মুক্তজোড় ইলেকট্রন থাকায় এর আকৃতি T-shaped।
Br মৌলটির বিশিষ্ট রাসায়নিক বৈশিষ্ট্য কোনটি?
Br এর প্রধান বৈশিষ্ট্য: কক্ষ তাপমাত্রায় তরল একমাত্র অধাতু।
Cr মৌলটির বিশিষ্ট রাসায়নিক বৈশিষ্ট্য কোনটি?
Cr এর প্রধান বৈশিষ্ট্য: অর্ধপূর্ণ d⁵ কাঠামোযুক্ত স্থিতিশীল ট্রানজিশন ধাতু।
পর্যায় সারণিতে Li মৌলটি কোন গ্রুপে অবস্থিত?
Li এর পারমাণবিক গঠন ও যোজ্যতার ভিত্তিতে এটি গ্রুপ ১-এর অন্তর্ভুক্ত। ক্ষার ধাতু, সবচেয়ে হালকা ধাতু।
Li এর পারমাণবিক ব্যাসার্ধ সংশ্লিষ্ট পর্যায়ের অন্যান্য মৌলের তুলনায় কেমন?
একই পর্যায়ে বাম থেকে ডানে কার্যকর নিউক্লীয় চার্জ বাড়ে তাই ব্যাসার্ধ হ্রাস পায়।
|z - i| = |z + i| হলে z কোথায় অবস্থিত?
(0, 1) ও (0, -1) বিন্দু থেকে সমদূরত্বের locus হলো real axis (x-অক্ষ), তাই z purely real।
P3 = 8! / (5)! — এই সম্পর্কটি সঠিক?
8P3 এর সংজ্ঞা অনুযায়ী এটি সঠিক।
p(x)=x²-3x+2 হলে p(2) কত?
p(2) = 2² - (2+1)2 + 2 = 0।
x² - 5x + 6 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে (α³ + β³) এর মান কত?
α + β = 5, αβ = 6। α³ + β³ = (α + β)³ - 3αβ(α + β) = 5³ - 3(6)(5) = 125 - 90 = 35।
i² এর মান কত?
i হলো imaginary unit, যেখানে i = √(-1)। তাই i² = -1।
z - z̄ (z = a + bi) সবসময় কী হয়?
z - z̄ = 2i·Im(z)। Im(z) = 0 না হলে মান purely imaginary; Im(z) = 0 হলে শূন্য।
দুইটি complex number z₁ ও z₂ এর জন্য |z₁z₂| কত?
modulus গুণফলের ক্ষেত্রে গুণ হয়ে যায়: |z₁ z₂| = |z₁| |z₂|।
+ i এর argument (amplitude) কত?
tan θ = Im/Re = 1/1 = 1, এবং z প্রথম চতুর্ভাগে, তাই θ = 45°।
z = i/(1 + i) এর argument কত?
i/(1 + i) = i(1 - i)/((1 + i)(1 - i)) = (i + 1)/2। লব ও হরের modulus সমান, তাই argument 45°।
n-তম roots of unity কোন বৃত্তের উপর অবস্থিত?
zⁿ = 1 এর প্রতিটি root-এর modulus 1, তাই সব root unit circle-এর উপর সমান দূরত্বে থাকে।
Select the most accurate synonym for the word 'BLATANT' in context sample #22:
'BLATANT'-এর অর্থ 'সুস্পষ্ট বা নির্লজ্জ'। এর সবচেয়ে যথার্থ সমার্থক শব্দ হলো 'Obvious'。
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'He showed complete contempt ___ frivolous administrative hurdles.'
'contempt' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'for' বসে (অর্থ: ঘৃণা বা অবজ্ঞা)।
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'She proved remarkably diligent ___ carrying out continuous numerical simulations.'
'diligent' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'in' বসে (অর্থ: অধ্যবসায়ী)।
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'A true philosopher does not hanker ___ transient material wealth.'
'hanker' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'after' বসে (অর্থ: লালায়িত হওয়া)।
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The whole university mourned ___ the untimely demise of the legendary professor.'
'mourn' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'for' বসে (অর্থ: শোক প্রকাশ করা)।
We ___ the match when it began to rain.
When clause-এ past simple, কিন্তু ongoing action past continuous।
The old man ___ eat every afternoon.
Third person singular subject-এ present indefinite tense-এ verb শেষে s/es যোগ হয়।
Select the correct form of verb for the blank:
'The automated safety valve #1 prevented the high-pressure steam from ___ the turbine casing.'
Preposition 'from'-এর পর Verb-এর সাথে 'ing' যুক্ত হয়ে Gerund গঠিত হয় (prevent from doing something)।
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'Engineers must strictly adhere ___ standard safety protocols.'
'adhere' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'to' বসে (অর্থ: লেগে থাকা / অটল থাকা)।
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'She demonstrated a remarkable aptitude ___ structural mechanics.'
'aptitude' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'for' বসে (অর্থ: স্বাভাবিক দক্ষতা)।
বিভাগ-খ: সংক্ষিপ্ত ও বর্ণনামূলক লিখিত প্রশ্ন (Written/CQ)
১৮টি প্রশ্ন × ৫ নম্বর = ৯০ নম্বরদুটি ভেক্টর \(\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}\) এবং \(\vec{B} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}\)।
(ক) ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণন (\(\vec{A} \cdot \vec{B}\)) এবং মধ্যবর্তী কোণ (\(\theta\)) নির্ণয় করো।
(খ) ভেক্টরদ্বয়ের ক্রস গুণন (\(\vec{A} \times \vec{B}\)) দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত? [মান: ৫]
গণনা:
(ক) ডট গুণন: \[ ec{A} \cdot \vec{B} = (2)(1) + (3)(-2) + (-1)(2) = 2 - 6 - 2 = \mathbf{-6}\]
মানসমূহ: \(|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{14} \approx 3.742\)
\(|\vec{B}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\)
কোণ: \[\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|} = \frac{-6}{3 \times \sqrt{14}} = \frac{-2}{\sqrt{14}} \approx -0.5345 \implies \mathbf{\theta \approx 122.31^\circ}\]
(খ) ক্রস গুণন: \[ ec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 2) - \hat{j}(4 + 1) + \hat{k}(-4 - 3) = 4\hat{i} - 5\hat{j} - 7\hat{k}\]
ক্ষেত্রফল = \(|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 25 + 49} = \sqrt{90} = \mathbf{9.487\text{ বর্গ একক}}\)।
হুকের সূত্রটি লেখ। একটি \(2\,\text{m}\) দীর্ঘ ও \(1\,\text{mm}^2\) প্রস্থচ্ছেদের তারে \(100\,\text{N}\) ভার চাপালে এর দৈর্ঘ্য \(1\,\text{mm}\) বৃদ্ধি পায়।
(ক) তারের উপাদানের ইয়ং-এর গুণাঙ্ক (\(Y\)) কত?
(খ) প্রসারিত তারে সঞ্চিত স্থিতিশক্তি (Elastic Potential Energy) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
হুকের সূত্র: স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে বস্তুর পীড়ন তার বিকৃতির সমানুপাতিক (\(\text{পীড়ন} \propto \text{বিকৃতি}\))।
গণনা:
- \(L = 2\,\text{m}, A = 1\,\text{mm}^2 = 10^{-6}\,\text{m}^2, F = 100\,\text{N}, \Delta L = 1\,\text{mm} = 10^{-3}\,\text{m}\)
(ক) ইয়ং-এর গুণাঙ্ক: \[Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L} = \frac{100 \times 2}{10^{-6} \times 10^{-3}} = \frac{200}{10^{-9}} = \mathbf{2 \times 10^{11}\,\text{N/m}^2\text{ (200 GPa)}}\]
(খ) সঞ্চিত স্থিতিশক্তি: \[U = \frac{1}{2} F \cdot \Delta L = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-3} = \mathbf{0.05\,\text{J}}\]
ডপলার প্রভাব (Doppler Effect) বিবৃত করো। একটি ট্রেনের বাঁশির প্রকৃত কম্পাঙ্ক \(400\,\text{Hz}\)। ট্রেনটি \(20\,\text{m/s}\) বেগে একজন স্থির পর্যবেক্ষকের দিকে এগিয়ে আসলে পর্যবেক্ষক কর্তৃক অনুভূত আপাত কম্পাঙ্ক কত হবে? (বাতাসে শব্দের বেগ \(v = 340\,\text{m/s}\)) [মান: ৫]
ডপলার প্রভাব: উৎস ও পর্যবেক্ষকের আপেক্ষিক গতির কারণে তরঙ্গের আপাত কম্পাঙ্কের পরিবর্তনকে ডপলার প্রভাব বলে।
গণনা: উৎস পর্যবেক্ষকের দিকে গতিশীল (\(v_s = 20\,\text{m/s}, v_o = 0\)):
\[f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 400 \left( \frac{340}{340 - 20} \right) = 400 \left( \frac{340}{320} \right) = 400 \times 1.0625 = \mathbf{425\,\text{Hz}}\]
একটি ডিফ্র্যাকশন গ্রেটিংয়ে প্রতি সেন্টিমিটারে 5000 টি দাগ কাটা আছে। \(600\,\text{nm}\) তরঙ্গদৈর্ঘ্যের আলোর জন্য প্রথম ক্রমের (First order) অপবর্তন কোণ (\(\theta\)) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
গ্রেটিং সমীকরণ (\(d \sin\theta = n \lambda\)):
গ্রেটিং ধ্রুবক: \[d = \frac{1}{N} = \frac{1\,\text{cm}}{5000} = \frac{10^{-2}\,\text{m}}{5000} = 2 \times 10^{-6}\,\text{m}\]
১ম ক্রম (\(n = 1\)), \(\lambda = 600 \times 10^{-9}\,\text{m}\):
\[\sin\theta = \frac{n \lambda}{d} = \frac{1 \times 600 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-6}} = 0.30\]
\[\mathbf{\theta = \sin^{-1}(0.30) \approx 17.46^\circ}\]
একটি সরল দোলকের ববের ভর 150 g এবং কার্যকরী দৈর্ঘ্য 1 m। ববটিকে সাম্যাবস্থান হতে 60° কোণে টেনে ছেড়ে দেওয়া হলো। সাম্যাবস্থান অতিক্রমকালে ববের বেগ এবং সুতার টান নির্ণয় করো। (g = 9.8 m/s²)
প্রদত্ত: দৈর্ঘ্য \(L = 1 ext{ m}\), কোণ \( heta = 60^\circ\), ভর \(m = 0.15 ext{ kg}\)।
সাম্যাবস্থান হতে উলম্ব উচ্চতা: \[h = L(1 - \cos 60^\circ) = 1(1 - 0.5) = 0.5 ext{ m}\]
শক্তির নিত্যতা নীতি অনুযায়ী: \[ rac{1}{2}mv^2 = mgh \implies v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 imes 9.8 imes 0.5} = \sqrt{9.8} pprox 3.13 ext{ m/s}\]
সাম্যাবস্থানে সুতার টান: \[T = mg + rac{mv^2}{L} = m\left(g + rac{v^2}{L}
ight) = 0.15\left(9.8 + rac{9.8}{1}
ight) = 0.15 imes 19.6 = 2.94 ext{ N}\]
সরল দোলকের যান্ত্রিক শক্তির রূপান্তর ও বৃত্তাকার গতির কেন্দ্রমুখী বল সমন্বয়।
ফ্যারাডের তড়িৎ বিশ্লেষণের ১ম সূত্রটি বিবৃত ও প্রতিপাদন করো (\(W = Z I t\))। কপার সালফেট দ্রবণে \(5\,\text{A}\) কারেন্ট \(30\,\text{minutes}\) চালনা করলে ক্যাথোডে কত গ্রাম তামা জমা হবে? (\(\text{Cu} = 63.5, 1\,\text{F} = 96500\,\text{C}\)) [মান: ৫]
১ম সূত্র: তড়িৎ বিশ্লেষণের সময় কোনো তড়িৎদ্বারে সঞ্চিত বা দ্রবীভূত পদার্থের ভর (\(W\)) প্রবাহিত মোট তড়িৎ আধানের (\(Q\)) সমানুপাতিক: \[W \propto Q \implies W = Z \cdot Q = \mathbf{Z I t}\]
(এখানে \(Z = \frac{\text{Molar mass}}{n \cdot F}\) হলো তড়িৎ-রাসায়নিক তুল্যাঙ্ক)।
গণনা (\(\text{Cu}^{2+} + 2e^- \rightarrow \text{Cu}\), ফলে \(n = 2\)):
- \(I = 5\,\text{A}\)
- \(t = 30 \times 60 = 1800\,\text{s}\)
- \(Q = I \cdot t = 5 \times 1800 = 9000\,\text{C}\)
\[Z = \frac{63.5}{2 \times 96500} = \frac{63.5}{193000} \approx 3.29 \times 10^{-4}\,\text{g/C}\]
সঞ্চিত তামার ভর: \[W = Z \cdot Q = (3.29 \times 10^{-4}) \times 9000 = \mathbf{2.961\,\text{g}}\]
মোলারিটি (Molarity) বলতে কী বোঝায়? \(250\,\text{mL}\) দ্রবণে \(10.6\,\text{g}\) সোডিয়াম কার্বনেট (\(\text{Na}_2\text{CO}_3\)) দ্রবীভূত থাকলে দ্রবণের মোলারিটি কত হবে? (\(\text{Na} = 23, \text{C} = 12, \text{O} = 16\)) [মান: ৫]
সংজ্ঞা: নির্দিষ্ট তাপমাত্রায় প্রতি লিটার (১০০০ মিলি) দ্রবণে দ্রবীভূত দ্রবের মোল সংখ্যাকে ঐ দ্রবণের মোলারিটি বলে (একক: \(\text{mol/L}\) বা M)।
গণনা:
\(\text{Na}_2\text{CO}_3\)-এর মোলার ভর: \[M_w = (23 \times 2) + 12 + (16 \times 3) = 46 + 12 + 48 = 106\,\text{g/mol}\]
মোলারিটির সূত্র: \[M = \frac{1000 \times w}{M_w \times V\,(\text{mL})}\]
- \(w = 10.6\,\text{g}, V = 250\,\text{mL}, M_w = 106\,\text{g/mol}\)
\[M = \frac{1000 \times 10.6}{106 \times 250} = \frac{10600}{26500} = \mathbf{0.40\,\text{M}}\]
অতএব দ্রবণের মোলার ঘনমাত্রা \(0.40\,\text{M}\)।
বাফার দ্রবণ কী? হেন্ডারসন-হ্যাসেলবালখ সমীকরণটি লেখ। \(0.1\,\text{M}\) অ্যাসিটিক অ্যাসিড এবং \(0.1\,\text{M}\) সোডিয়াম অ্যাসিটেট দ্রবণের মিশ্রণে গঠিত বাফার দ্রবণের pH কত? (\(K_a = 1.8 \times 10^{-5}\)) [মান: ৫]
বাফার দ্রবণ: যে দ্রবণে সামান্য এসিড বা ক্ষার যোগ করলেও দ্রবণের pH মান প্রায় অপরিবর্তিত থাকে।
হেন্ডারসন সমীকরণ: \[\text{pH} = \text{p}K_a + \log\frac{[\text{Salt}]}{[\text{Acid}]}\]
গণনা:
\(\text{p}K_a = -\log(1.8 \times 10^{-5}) = 4.745\)
\[\text{pH} = 4.745 + \log\frac{0.1}{0.1} = 4.745 + \log(1) = 4.745 + 0 = \mathbf{4.745}\]
\(25\,\text{mL}\) অজানা ঘনমাত্রার হাইড্রোক্লোরিক অ্যাসিড (\(\text{HCl}\)) দ্রবণকে প্রশমিত করতে \(0.15\,\text{M}\) সোডিয়াম কার্বনেট (\(\text{Na}_2\text{CO}_3\)) দ্রবণের \(20\,\text{mL}\) প্রয়োজন হলো। \(\text{HCl}\) দ্রবণের মোলারিটি এবং প্রতি লিটারে গ্রাম এককে ঘনমাত্রা নির্ণয় করো। [মান: ৫]
বিক্রিয়া সমীকরণ:
\[\text{Na}_2\text{CO}_3 + 2\text{HCl} \longrightarrow 2\text{NaCl} + \text{H}_2\text{O} + \text{CO}_2\]
এখানে, এসিডের মোল সংখ্যা \(n_A = 2\) এবং ক্ষারের মোল সংখ্যা \(n_B = 1\)।
টাইট্রেশন সূত্র:
\[\frac{V_A M_A}{n_A} = \frac{V_B M_B}{n_B} \implies \frac{25 \times M_A}{2} = \frac{20 \times 0.15}{1}\]
\[25 \times M_A = 2 \times 3.0 = 6.0 \implies M_A = \frac{6.0}{25} = \mathbf{0.24\,\text{M}}\]
গ্রাম/লিটার ঘনমাত্রা (\(S = M \times M_w\)):
\(\text{HCl}\)-এর আণবিক ভর = \(1 + 35.5 = 36.5\,\text{g/mol}\)।
\[S = 0.24 \times 36.5 = \mathbf{8.76\,\text{g/L}}\]
\(\text{SF}_6\) এবং \(\text{PCl}_5\) অণুদ্বয়ের সংকরায়ন (Hybridization), মুক্তজোড় ইলেকট্রন সংখ্যা এবং জ্যামিতিক আকৃতি বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করো।
১. \(\text{SF}_6\) অণু:
সালফারের যোজনী স্তরে ৬টি ইলেকট্রন এবং ৬টি ফ্লোরিন পরমাণুর সাথে ৬টি বন্ধন গঠন করে।
স্টেরিক সংখ্যা \(SN = 6 + 0 = 6\)। সংকরায়ন: \(sp^3d^2\)।
মুক্তজোড় ইলেকট্রন: 0টি। বন্ধন কোণ: 90°।
জ্যামিতিক আকৃতি: অষ্টতলকীয় (Octahedral)।
২. \(\text{PCl}_5\) অণু:
ফসফরাসের যোজনী স্তরে ৫টি ইলেকট্রন এবং ৫টি ক্লোরিনের সাথে ৫টি বন্ধন গঠন করে।
স্টেরিক সংখ্যা \(SN = 5 + 0 = 5\)। সংকরায়ন: \(sp^3d\)।
মুক্তজোড় ইলেকট্রন: 0টি। বন্ধন কোণ: 120° (নিরক্ষীয়) ও 90° (অক্ষীয়)।
জ্যামিতিক আকৃতি: ত্রিকোণাকার দ্বিপিরামিডীয় (Trigonal Bipyramidal)।
VSEPR তত্ত্ব ও সংকরায়ন কাঠামোর পূর্ণাঙ্গ বিশ্লেষণ।
ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে সমাধান করো (Cramer's Rule অথবা ইনভার্স পদ্ধতি):
\[2x + y = 7\]
\[3x - 2y = 7\]
ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়কের মান কত? [মান: ৫]
ম্যাট্রিক্স সমীকরণ: \[A X = B \implies \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 7 \end{bmatrix}\]
নির্ণায়কের মান: \[D = |A| = (2)(-2) - (1)(3) = -4 - 3 = -7 \neq 0\]
Cramer's Rule:
\[D_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 7 & -2 \end{vmatrix} = (7)(-2) - (1)(7) = -14 - 7 = -21\]
\[D_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} = (2)(7) - (7)(3) = 14 - 21 = -7\]
সমাধান: \[x = \frac{D_x}{D} = \frac{-21}{-7} = \mathbf{3}\]
\[y = \frac{D_y}{D} = \frac{-7}{-7} = \mathbf{1}\]
ক্র্যামারের নিয়ম (Cramer's Rule) ব্যবহার করে নিচের সমীকরণ জোট সমাধান করো:
\[x + y + z = 6\]
\[2x - y + z = 3\]
\[x + 2y - z = 2\] [মান: ৫]
নির্ণায়ক গঠন ও গণনা:
\[D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(1 - 2) - 1(-2 - 1) + 1(4 - (-1)) = -1 + 3 + 5 = 7\]
\[D_x = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 6(1 - 2) - 1(-3 - 2) + 1(6 - (-2)) = -6 + 5 + 8 = 7 \implies x = \frac{D_x}{D} = \frac{7}{7} = \mathbf{1}\]
\[D_y = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(-3 - 2) - 6(-2 - 1) + 1(4 - 3) = -5 + 18 + 1 = 14 \implies y = \frac{D_y}{D} = \frac{14}{7} = \mathbf{2}\]
\[D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 1(-2 - 6) - 1(4 - 3) + 6(4 - (-1)) = -8 - 1 + 30 = 21 \implies z = \frac{D_z}{D} = \frac{21}{7} = \mathbf{3}\]
নির্ণেয় সমাধান: \(\mathbf{(x, y, z) = (1, 2, 3)}\)।
\(y^2 = 8x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু (Vertex), উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (Focus), উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য (Latus Rectum) এবং নিয়ামক রেখার (Directrix) সমীকরণ নির্ণয় করো। [মান: ৫]
আদর্শ সমীকরণের সাথে তুলনা:
\(y^2 = 4ax\) এর সাথে তুলনা করে পাই: \(4a = 8 \implies a = 2\)।
১. শীর্ষবিন্দু: \((0, 0)\)
২. উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক: \((a, 0) = \mathbf{(2, 0)}\)
৩. উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: \(|4a| = |8| = \mathbf{8\text{ একক}}\)
৪. নিয়ামক রেখার সমীকরণ: \(x = -a \implies x = -2 \implies \mathbf{x + 2 = 0}\)।
L'Hôpital's Rule প্রয়োগ করে মান নির্ণয় করো: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}\]
প্রদত্ত সীমাস্থ মান \(x = 0\) বসিয়ে পাই: \[\frac{e^0 - e^0 - 0}{0 - \sin 0} = \frac{0}{0} \quad \text{(অসংজ্ঞায়িত রূপ)}\]
লব ও হরকে পৃথকভাবে \(x\) এর সাপেক্ষে পর পর ব্যবকলন (L'Hôpital's Rule) করে পাই:
১ম অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x} = \frac{1 + 1 - 2}{1 - 1} = \frac{0}{0}\]
২য় অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}\]
৩য় অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{e^0 + e^0}{\cos 0} = \frac{1 + 1}{1} = 2\]
সুতরাং নির্ণেয় মান: 2।
অনির্ণেয় আকার ও লাপ্লাস/লা-হস্পিটাল নিয়মের ধারাবাহিক ব্যবকলন প্রয়োগ।
উপবৃত্ত \(9x^2 + 16y^2 = 144\) এর (ক) উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity), (খ) উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক (Foci), এবং (গ) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণকে আদর্শ রূপ \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) এ প্রকাশ করে পাই:
\[\frac{9x^2}{144} + \frac{16y^2}{144} = 1 \implies \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\]
এখানে \(a^2 = 16 \implies a = 4\) এবং \(b^2 = 9 \implies b = 3\)। যেহেতু \(a > b\):
(ক) উৎকেন্দ্রিকতা (e): \[e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}\]
(খ) উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক: \[(\pm ae, 0) = \left(\pm 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}, 0\right) = (\pm \sqrt{7}, 0)\]
(গ) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: \[\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{4} = \frac{18}{4} = 4.5\text{ একক}\]
কণিক অধ্যায়ে উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ হতে বৈশিষ্ট্যাবলী বিশ্লেষণ।
নিচের বাক্যগুলোর ব্যাকরণগত ভুল সংশোধন করে সঠিক বাক্য লেখ:
(i) He gave me many advices.
(ii) The sceneries of Cox's Bazar are very charming.
(iii) He is senior than me in service.
(iv) The patient had died before the doctor came.
(v) Either of the two pens are good. [মান: ৫]
সংশোধিত বাক্যসমূহ:
(i) Correct: He gave me much advice. (বা He gave me many pieces of advice. 'Advice' হলো আনকাউন্টেবল নাউন)।
(ii) Correct: The scenery of Cox's Bazar is very charming. ('Scenery' সর্বদা সিঙ্গুলার)।
(iii) Correct: He is senior to me in service. (Senior, junior, superior, inferior এর পর 'to' বসে, 'than' নয়)।
(iv) Correct: The patient had died before the doctor came. (সঠিক বাক্য, অথবা The doctor came after the patient had died)।
(v) Correct: Either of the two pens is good. ('Either of' এর পর সিঙ্গুলার ভার্ব বসে)।
ব্র্যাকেটের ভার্বগুলোর সঠিক রূপ ব্যবহার করে বাক্যগুলো সম্পূর্ণ করো:
(i) If he (study) regularly, he would pass the DUET admission test.
(ii) It is high time we (start) the project.
(iii) The teacher entered the room while the students (make) a noise.
(iv) I look forward to (hear) from you soon.
(v) Had I possessed enough funds, I (establish) a software firm. [মান: ৫]
উত্তরসমূহ:
(i) studied (Second Conditional: If + Past Indefinite, would + base verb).
(ii) started ('It is high time' এর পর Past Indefinite tense হয়)।
(iii) were making ('While' এর পর Past Continuous tense হয়)।
(iv) hearing ('Look forward to' এর পর verb+ing বসে)।
(v) would have established (Third Conditional: Had + Subject + V3, Subject + would have + V3)।
Fill in the blanks with appropriate prepositions:
(i) The performance of an alternator depends ______ its excitation system.
(ii) Diploma engineers should adhere ______ safety regulations in the substation.
(iii) He is very proficient ______ Python programming.
(iv) The supervisor inquired ______ the cause of the boiler failure.
(v) This material is superior ______ conventional steel in corrosion resistance. [মান: ৫]
Answers:
(i) on / upon (depends on).
(ii) to (adhere to).
(iii) in / at (proficient in/at).
(iv) into / about (inquired into/about).
(v) to (superior to).
২য় পত্র: টেকনিক্যাল (বিভাগীয় বিষয়)
ইন্ডাস্ট্রিয়াল এন্ড প্রোডাকশন ইঞ্জিনিয়ারিং (স্পেশালাইজড ইঞ্জিনিয়ারিং)বিভাগ-ক: বহু নির্বাচনি প্রশ্ন (Technical MCQ)
৪০টি প্রশ্ন × ১.৫ নম্বর = ৬০ নম্বর (নেগেটিভ মার্ক ০.২৫)মেশিনের রিলায়াবিলিটিতে মীন টাইম বিটুইন ফেইলিউরস (MTBF) কিসের নির্দেশক?
MTBF = Total Operating Time / Number of Failures। এটি মেশিনের নির্ভরযোগ্যতা ও নিরবচ্ছিন্ন সেবার মাপকাঠি। MTTR পরিমাপ করে ডাউনটাইম।
সাপ্লাই চেইন ম্যানেজমেন্টে তথ্য বিলম্ব ও ভুল অনুমানের কারণে রিটেইলার হতে ম্যানুফ্যাকচারার পর্যন্ত চাহিদার দোলন বহুগুণ বেড়ে যাওয়াকে কী বলে?
ভোক্তা স্তরের ক্ষুদ্র চাহিদা পরিবর্তন সাপ্লাই চেইনের উপরের দিকে যেতে যেতে তথ্যের ঘাটতিতে ব্যাপকভাবে বিকৃত ও স্ফীত হয়, যাকে হুইপ বা চাবুকের মতো Bullwhip Effect বলে।
টুল মেকার্স মাইক্রোস্কোপ বা অপটিক্যাল প্রজেক্টরের প্রধান কাজ কী?
মেট্রোলজিতে কাটিং টুলসের অ্যাঙ্গেল, পিচ এবং মাইক্রো-ফিচারের স্পর্শহীন নিখুঁত ইমেজ বিবর্ধন ও পরিমাপে টুল মেকার্স মাইক্রোস্কোপ অপরিহার্য।
সিএনসি (CNC) প্রোগ্রামিংয়ে 'G01' কোডটি দ্বারা মেশিন টুলের কোন গতি বোঝায়?
G00 হলো দ্রুত অবস্থান পরিবর্তন (কাটিং ছাড়া), G01 হলো নির্ধারিত কাটিং ফিডে সরলরৈখিক কাটিং, G02 হলো ক্লকওয়াইজ এবং G03 হলো কাউন্টার-ক্লকওয়াইজ ইন্টারপোলেশন।
ধাতব উপাদানের মেশিনিংয়ে চিপ তৈরিতে কন্টিনিউয়াস চিপ উইথ বিল্ট-আপ এজ (BUE) সৃষ্টির প্রধান কারণ কোনটি?
ডাক্টাইল ধাতু মেশিনিংয়ের সময় টুল টিপে অতিরিক্ত চাপ ও ঘর্ষণে ধাতব কণা টুলের ফেসের সাথে গলিত হয়ে জমাট বেঁধে BUE গঠন করে, যা পৃষ্ঠের ফিনিশিং নষ্ট করে।
মার্চেন্টের বল ডায়াগ্রামে (Merchant's Circle Diagram) কাটিং ফোর্স (F_c) এবং থ্রাস্ট ফোর্স (F_t) এর লব্ধি বলের নাম কী?
মার্চেন্ট সার্কেলে কাটিং ফোর্স ও থ্রাস্ট ফোর্সের ভেক্টর যোগফল এবং শিয়ার ফোর্স ও নরমাল ফোর্সের ভেক্টর যোগফল একই লব্ধি বল R নির্দেশ করে।
ঢালাই বা কাস্টিংয়ে সলিডিফিকেশন সময় (Solidification Time, t) নির্ণয়ে চভোরিনভের সূত্র (Chvorinov's Rule) কোনটি?
Chvorinov's Rule: \[t = B \left( rac{V}{A} ight)^n\], যেখানে V হলো ঢালাইয়ের আয়তন, A হলো কুলিং পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল এবং n ≈ 2। রাইজার ডিজাইনে এটি ব্যবহৃত হয়।
শিট মেটাল অপারেশনে ব্ল্যাঙ্কিং (Blanking) এবং পানচিংয়ের (Punching) মূল পার্থক্য কোনটি?
Blanking এ ছিদ্র করে বের করে নেওয়া অংশটি দরকারি অংশ হিসেবে ব্যবহৃত হয় এবং বাইরের শিট ফেলে দেওয়া হয়; Piercing/Punching এ ছিদ্রযুক্ত শিট দরকারি এবং কাটা অংশ স্ক্র্যাপ।
হোল বেসিস সিস্টেমে (Hole Basis System) বেসিক হোলের নিম্ন বিচ্যুতি (Lower Deviation, EI) কত হয়?
আইএসও স্ট্যান্ডার্ডে হোল বেসিস সিস্টেমে হোলের ন্যূনতম সাইজ বেসিক সাইজের সমান ধরা হয়, ফলে লোয়ার ডেভিয়েশন সর্বদা 0 (H-হোলের ক্ষেত্রে)।
প্রক্রিয়া সক্ষমতা সূচক (Process Capability Index, C_p) 1.33 এর বেশি হলে প্রক্রিয়াটি সম্পর্কে কী বলা যায়?
\[C_p = rac{USL - LSL}{6\sigma}\]। C_p > 1.33 হলে প্রক্রিয়াটির প্রাকৃতিক বিস্তৃতি স্পেসিফিকেশন সীমার চেয়ে অনেক কম থাকে, ফলে উৎপাদন অত্যন্ত মানসম্মত হয়।
লিন ম্যানুফ্যাকচারিংয়ে (Lean Manufacturing) 'জাস্ট-ইন-টাইম' (JIT) দর্শনের মূল উদ্দেশ্য কোনটি?
টয়োটা প্রোডাকশন সিস্টেম (TPS) ভিত্তিক JIT এর মূল উদ্দেশ্য হলো কেবল চাহিদামাফিক সঠিক সময়ে সঠিক পণ্য তৈরি করে সকল ধরনের অপচয় (Muda) দূর করা।
টোটাল প্রোডাক্টিভ মেইনটেন্যান্সের (TPM) ৫এস (5S) কাঠামোর প্রথম ধাপ কোনটি?
5S এর জাপানি ৫টি ধাপ: ১. Seiri (বাছাই ও অপ্রয়োজনীয় জিনিস দূরীকরণ), ২. Seiton (যথাস্থানে স্থাপন), ৩. Seiso (পরিষ্কার), ৪. Seiketsu (স্ট্যান্ডার্ডাইজেশন), ৫. Shitsuke (শৃঙ্খলা)।
অর্থনৈতিক বিশ্লেষণে ক্যাপিটাল রিকভারি ফ্যাক্টর (Capital Recovery Factor, CRF) দ্বারা কী গণনা করা হয়?
\[CRF = rac{A}{P} = rac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1}\]। প্রজেক্ট ফাইন্যান্সিংয়ে প্রারম্ভিক ক্যাপিটাল খরচের বার্ষিক সমান কিস্তি (Annual Equivalent) বের করতে CRF গুণ করা হয়।
স্ট্রেট লাইন ডেপ্রিসিয়েশন (Straight Line Depreciation) পদ্ধতিতে প্রতি বছরের অবচয় কীভাবে নির্ধারিত হয়?
সরলরৈখিক পদ্ধতিতে প্রারম্ভিক ক্রয়মূল্য (P) হতে স্ক্র্যাপ ভ্যালু (S) বিয়োগ করে কার্যকর আয়ুষ্কাল (n) দিয়ে ভাগ করলে প্রতি বছরের স্থির অবচয় পাওয়া যায়।
কিউয়িং থিওরিতে (Queuing Theory) ক্যান্ডাল নোটেশন M/M/1 এর অর্থ কী?
M = Markovian/Poisson arrival, M = Markovian/Exponential service time, 1 = Single server। সার্ভিস সিস্টেমে লাইন জ্যাম বিশ্লেষণে এটি ক্লাসিকাল মডেল।
ট্রান্সপোর্টেশন সমস্যায় প্রাথমিক সম্ভাব্য সমাধান (Initial Basic Feasible Solution) নির্ণয়ে সবচেয়ে কম খরচের সেল পদ্ধতি কোনটি?
লিস্ট কস্ট মেথডে কস্ট ম্যাট্রিক্সের সর্বনিম্ন খরচের সেলগুলোতে আগে বণ্টন দেওয়া হয়। তবে ভোগেলস মেথড (VAM) পেনাল্টির ভিত্তিতে সবচেয়ে অপটিমালের কাছাকাছি সমাধান দেয়।
এরগনোমিক্সে (Ergonomics) কাজের পরিবেশ ডিজাইনে মানবদেহের কাঠামোগত পরিমাপ সংক্রান্ত বিদ্যাকে কী বলে?
চেয়ার, ডেস্ক, কন্ট্রোল প্যানেল ইত্যাদি মানুষের বসার বা দাঁড়ানোর উচ্চতা ও পৌঁছানোর দূরত্বের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ রাখতে মানবদেহের শারীরবৃত্তীয় পরিমাপকে অ্যানথ্রোপোমেট্রি বলে।
টুল পরিধানের (Tool Wear) ক্ষেত্রে ক্র্যাটার ওয়্যার (Crater Wear) টুলের কোন তলে সংঘটিত হয়?
গরম চিপ টুলের ওপর দিয়ে প্রবাহিত হওয়ার সময় উচ্চ তাপমাত্রা ও ঘর্ষণে কাটিং এজ থেকে সামান্য দূরে রেক ফেসের ওপর গর্ত বা ক্র্যাটার ওয়্যার সৃষ্টি করে। ফ্ল্যাংক তলে ফ্ল্যাংক ওয়্যার হয়।
নন-ট্র্যাডিশনাল মেশিনিংয়ে ইলেকট্রিক্যাল ডিসচার্জ মেশিনিংয়ের (EDM) প্রধান কাটিং মেকানিজম কোনটি?
EDM এ ডাইইলেকট্রিক তরলে নিমজ্জিত ইলেকট্রোড ও পরিবাহী ওয়ার্কপিসের মধ্যে উচ্চ কম্পাঙ্কের স্পার্ক সৃষ্টির মাধ্যমে ধাতু গলিয়ে বাষ্পীভূত করে ক্ষয় করা হয়।
সারফেস রাফনেস বা পৃষ্ঠের খসখসে ভাব পরিমাপে 'Ra' মান বলতে নিচের কোনটিকে বোঝায়?
Ra (Center Line Average) হলো রেফারেন্স দৈর্ঘ্যের মধ্যে পৃষ্ঠতলের প্রোফাইলের পরম বিচ্যুতির ইন্টিগ্রাল গড়: \[R_a = rac{1}{L} \int_0^L |y(x)| dx\]।
কাইজেন (Kaizen) শব্দটির জাপানি শিল্প ব্যবস্থাপনায় প্রকৃত অর্থ কী?
Kai (পরিবর্তন) + Zen (ভাল); অর্থাৎ শীর্ষ নির্বাহী হতে শুরু করে সাধারণ কর্মী পর্যন্ত সকলের সক্রিয় অংশগ্রহণে উৎপাদন প্রক্রিয়ায় অবিরাম ইতিবাচক সংস্কার আনা।
সুগার ক্যান বা অ্যাসেম্বলি লাইনে ব্যালেন্সিং লস (Balancing Loss / Balance Delay) এর সংজ্ঞা কোনটি?
অ্যাসেম্বলি লাইনে বিভিন্ন ওয়ার্কস্টেশনের সময়ের অমিলের কারণে যে সময় নষ্ট হয়: \[ ext{Balance Delay} = rac{n \cdot T_c - \sum T_i}{n \cdot T_c} imes 100\%\]।
ফ্যাসিলিটি লেআউটে রিলেশনশিপ চার্ট বা মুথারের রিলেশনশিপ চার্টে 'A' কোডের রেটিং কী নির্দেশ করে?
Richard Muther-এর Systematic Layout Planning (SLP) তে প্রক্সিমিটি রেটিং: A (Absolutely necessary), E (Especially important), I (Important), O (Ordinary), U (Unimportant), X (Undesirable)।
ম্যানুফ্যাকচারিং কস্টে প্রাইম কস্ট (Prime Cost) বলতে নিচের কোন দুই ব্যয়ের সমষ্টিকে বোঝায়?
Prime Cost হলো উৎপাদন শুরুর প্রাথমিক সরাসরি খরচ: \[Prime Cost = Direct Materials + Direct Labor + Direct Expenses\]।
অ্যাসাইনমেন্ট সমস্যা (Assignment Problem) সমাধানের জন্য সর্বাধিক দক্ষ পদ্ধতি কোনটি?
হাঙ্গেরিয়ান অ্যালগরিদম সুযোগ খরচ (Opportunity cost) ম্যাট্রিক্স এবং রো/কলাম রিডাকশনের মাধ্যমে নূন্যতম রেখায় জিরো অ্যাসাইন করে অপটিমাল সমাধান দেয়।
কাটিং ফ্লুইড বা কুল্যান্ট ব্যবহারের প্রাথমিক উদ্দেশ্য কোনটি?
কাটিং ফ্লুইড শীতলীকরণের মাধ্যমে টুল লাইফ বাড়ায় এবং তৈলাক্তকরণের মাধ্যমে ঘর্ষণ কমিয়ে সারফেস ফিনিশ উন্নত করে ও চিপ ধুয়ে সরিয়ে দেয়।
ওয়ার্ক স্যাম্পলিংয়ে (Work Sampling) পর্যবেক্ষণের সংখ্যা (Sample Size, N) কিসের উপর নির্ভর করে?
বায়নোমিয়াল বা নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন অনুসারে: \[N = rac{Z^2 p (1-p)}{s^2}\], যেখানে Z আত্মবিশ্বাস স্তর, p কাজের অনুপাত এবং s গ্রহণযোগ্য পরম ত্রুটি।
সিলিন্ড্রিক্যাল গ্রাইন্ডিংয়ে গ্রাইন্ডিং হুইলের গ্রিট সাইজ (Grit Size) নম্বর যত বড় হয়, হুইলের ক্ষয়কারী দানাগুলো কেমন হয়?
চালুনির জালির সংখ্যা দিয়ে গ্রিট সাইজ বোঝানো হয়। নম্বর ১০-২৪ কোর্স, ৩০-৬০ মিডিয়াম এবং ৮০-৬০০ অত্যন্ত সূক্ষ্ম গ্রিট যা ফাইন পলিশিংয়ে ব্যবহৃত হয়।
ইঞ্জিনিয়ারিং প্রকল্পে পে-ব্যাক পিরিয়ড (Payback Period) পদ্ধতির প্রধান সীমাবদ্ধতা কোনটি?
পে-ব্যাক পিরিয়ড কেবল মূল বিনিয়োগ ফিরে আসার সময় দেখে কিন্তু ডিসকাউন্টিং না করায় বিভিন্ন সময়ের ক্যাশ ফ্লোকে সমমূল্য ধরে এবং পে-ব্যাকের পরের লাভ অগ্রাহ্য করে।
অটোমেশনে রোবোটিক আর্মে মোট অ্যাকচুয়েটর বা স্বাধীন গতির সংখ্যাকে কী বলে?
ইন্ডাস্ট্রিয়াল রোবটে ম্যানিপুলেটরের অবস্থান ও ঘূর্ণন ওরিয়েন্টেশনের জন্য যতগুলো স্বাধীন জয়েন্ট মোটর চালিত হয় তাকে তার DOF বলে (শিল্পে সাধারণত ৬ DOF আদর্শ)।
লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ে (Linear Programming) সিমপ্লেক্স পদ্ধতিতে বেসিক ভেরিয়েবলসমূহের অপটিমালিটি যাচাইয়ের শর্ত কোনটি?
সিমপ্লেক্স অ্যালগরিদমে ম্যাক্সিমাইজেশনের ক্ষেত্রে অবজেক্টিভ ফাংশন তখনই সর্বোচ্চে পৌঁছায় যখন কোনো নন-বেসিক ভেরিয়েবল অন্তর্ভুক্ত করে মান বাড়ানো সম্ভব হয় না, অর্থাৎ সকল (c_j - z_j) ≤ 0।
ক্লাসিক্যাল ইকোনমিক অর্ডার কোয়ান্টিটি (EOQ) মডেলে মোট বার্ষিক ইনভেন্টরি খরচ কখন সর্বনিম্ন হয়?
EOQ পয়েন্টে: \[C_{ ext{ordering}} = C_{ ext{carrying}} \implies rac{D}{Q} S = rac{Q}{2} H \implies Q^* = \sqrt{ rac{2DS}{H}}\]।
ইনভেন্টরির এবিসি বিশ্লেষণে (ABC Analysis) 'A' শ্রেণীর আইটেমসমূহের বৈশিষ্ট্য কোনটি?
প্যারেটো নীতি (80-20 Rule) অনুসারে A-শ্রেণির মালামাল সংখ্যায় কম হলেও সর্বোচ্চ আর্থিক মূল্যের অধিকারী হওয়ায় এদের জন্য কঠোর নিয়ন্ত্রণ দরকার।
প্রজেক্ট ম্যানেজমেন্টে পিইআরটি (PERT) পদ্ধতিতে একটি অ্যাক্টিভিটির প্রত্যাশিত সময় (Expected Time, t_e) নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?
বিটা ডিস্ট্রিবিউশন অনুসারে অপটিমিস্টিক (t_o), মোস্ট লাইকলি (t_m) এবং পেসিমিস্টিক (t_p) সময়ের ভরযুক্ত গড়: \[t_e = rac{t_o + 4t_m + t_p}{6}\]।
কোয়ালিটি কন্ট্রোলে এক্স-বার ও আর (X̄ and R) চার্ট কোন ধরনের ডেটার জন্য ব্যবহৃত হয়?
ওজন, দৈর্ঘ্য, ব্যাস ইত্যাদি অবিচ্ছিন্ন পরিমাপের ক্ষেত্রে কেন্দ্রীয় প্রবণতার জন্য X̄ চার্ট এবং বিচ্ছুরণ বা ভ্যারিয়েশনের জন্য R (Range) চার্ট ব্যবহৃত হয়।
সিক্স সিগমা (Six Sigma) প্রক্রিয়ার ডিফেক্ট রেট (Defects Per Million Opportunities, DPMO) কত?
সিক্স সিগমা প্রক্রিয়ায় 1.5 সিগমা শিফট বিবেচনা করে প্রতি দশ লক্ষ সুযোগে মাত্র 3.4টি ত্রুটি অনুমোদিত হয় (99.99966% নির্ভুলতা)।
ওয়ার্ক স্টাডিতে আদর্শ সময় (Standard Time) নির্ধারণের সঠিক সমীকরণ কোনটি?
Standard Time = Normal Time × (1 + Allowance fraction), যেখানে Normal Time = Observed Time × Performance Rating।
থার্ব্লিগস (Therbligs) বলতে কাজের গতি অধ্যয়নে (Motion Study) নিচের কোনটিকে বোঝায়?
সার্চ, সিলেক্ট, গ্র্যাস্প, ট্রান্সপোর্ট ইত্যাদি মানবদেহের ১৭টি মৌলিক মোশন এলিমেন্টকে গিলব্রেথ দম্পতির নামের বিপরীত শব্দ Therblig বলা হয়।
পণ্যের বৈচিত্র্য বেশি কিন্তু উৎপাদনের পরিমাণ কম হলে (Low Volume, High Variety) কোন ধরনের প্ল্যান্ট লেআউট সর্বাধিক উপযোগী?
একই প্রকৃতির মেশিনারিগুলোকে একত্রিত করে জব শপ উৎপাদনের জন্য প্রসেস লেআউট সর্বোচ্চ নমনীয়তা প্রদান করে। মাস প্রোডাকশনে প্রোডাক্ট লেআউট লাগে।
ব্রেক-ইভেন বিশ্লেষণে (Break-Even Analysis) ব্রেক-ইভেন কোয়ান্টিটি (Q_BEP) নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?
ব্রেক-ইভেন বিন্দুতে লাভ বা ক্ষতি শূন্য: \[P \cdot Q = FC + VC \cdot Q \implies Q_{BEP} = rac{FC}{P - VC} = rac{FC}{ ext{Contribution Margin}}\]।
বিভাগ-খ: টেকনিক্যাল লিখিত প্রশ্ন (Technical Written/CQ)
১৮টি প্রশ্ন × ৫ নম্বর = ৯০ নম্বরকার্নো ইঞ্জিনের দক্ষতা \(\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}\) সমীকরণটি ব্যাখ্যা করো। একটি আদর্শ হিট ইঞ্জিন \(600\,\text{K}\) তাপমাত্রার উৎস থেকে তাপ গ্রহণ করে এবং \(300\,\text{K}\) তাপমাত্রার গ্রাহকে তাপ বর্জন করে।
(ক) ইঞ্জিনের কার্নো দক্ষতা নির্ণয় করো।
(খ) ইঞ্জিনটি উৎস থেকে \(1000\,\text{J}\) তাপ গ্রহণ করলে সম্পাদিত কাজ এবং বর্জিত তাপ কত? [মান: ৫]
গণনা:
(ক) কার্নো দক্ষতা: \[\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{300}{600} = 1 - 0.5 = 0.5 = \mathbf{50\%}\]
(খ) সম্পাদিত কাজ: \[W = \eta \times Q_1 = 0.5 \times 1000 = \mathbf{500\,\text{J}}\]
গ্রাহকে বর্জিত তাপ: \[Q_2 = Q_1 - W = 1000 - 500 = \mathbf{500\,\text{J}}\]
ফায়ার-টিউব এবং ওয়াটার-টিউব বয়লারের মধ্যে চারটি প্রধান পার্থক্য ছক আকারে দেখাও। কয়লাভিত্তিক বৃহৎ বিদ্যুৎ কেন্দ্রে কেন ওয়াটার-টিউব বয়লার ব্যবহৃত হয়? [মান: ৫]
পার্থক্য ছক:
১. টিউবের ভেতরের মাধ্যম: ফায়ার-টিউবে টিউবের ভেতর দিয়ে গরম ফ্লু গ্যাস যায় এবং বাইরে পানি থাকে; ওয়াটার-টিউবে টিউবের ভেতর পানি থাকে এবং বাইরে গরম গ্যাস প্রবাহিত হয়।
২. অপারেটিং চাপ: ফায়ার-টিউব নিম্ন থেকে মাঝারি চাপে (\(< 16\,\text{bar}\)) কাজ করে; ওয়াটার-টিউব অতি-উচ্চ চাপে (\(> 100\,\text{bar}\)) কাজ করে।
৩. বাষ্প উৎপাদনের হার: ফায়ার-টিউবে কম (\(< 9000\,\text{kg/hr}\)); ওয়াটার-টিউবে অত্যন্ত দ্রুত ও বিপুল পরিমাণ বাষ্প তৈরি হয়।
৪. বিস্ফোরণের ঝুঁকি: ফায়ার-টিউবে শেল বড় হওয়ায় বিস্ফোরণে ক্ষতি বেশি; ওয়াটার-টিউবে পাইপ ফেটে গেলেও কম ক্ষতি হয়।
বিদ্যুৎ কেন্দ্রে ব্যবহারের কারণ: বিদ্যুৎ উৎপাদনে টারবাইনের জন্য অতি-উচ্চ চাপ ও সুপারহিটেড স্টিম প্রয়োজন হয় যা কেবল ওয়াটার-টিউব বয়লারেই সম্ভব।
ফুরিয়ারের তাপ পরিবাহিতা সূত্র \(Q = -k A \frac{dT}{dx}\) ব্যাখ্যা করো। একটি \(0.2\,\text{m}\) পুরু সমতল ইটের দেয়ালের ক্ষেত্রফল \(15\,\text{m}^2\)। দেয়ালের ভেতরের পৃষ্ঠের তাপমাত্রা \(30^\circ\text{C}\) এবং বাইরের তাপমাত্রা \(10^\circ\text{C}\)। ইটের তাপ পরিবাহিতা \(k = 0.8\,\text{W/(m}\cdot\text{K)}\) হলে দেয়াল দিয়ে তাপ সঞ্চালনের হার (\(Q\)) কত? [মান: ৫]
গণনা:
- \(k = 0.8\,\text{W/(m}\cdot\text{K)}\)
- \(A = 15\,\text{m}^2\)
- \(\Delta T = T_1 - T_2 = 30 - 10 = 20^\circ\text{C}\)
- \(\Delta x = 0.2\,\text{m}\)
ফুরিয়ারের সূত্র: \[Q = \frac{k \cdot A \cdot \Delta T}{\Delta x} = \frac{0.8 \times 15 \times 20}{0.2} = \frac{240}{0.2} = \mathbf{1200\,\text{W} = 1.2\,\text{kW}}\]
এয়ার কন্ডিশনিংয়ে সাইক্রোমেট্রিক চার্ট ব্যবহারের গুরুত্ব কী? নিচের টার্মগুলোর সংজ্ঞা দাও:
(ক) Dry Bulb Temperature (DBT)
(খ) Wet Bulb Temperature (WBT)
(গ) Relative Humidity (RH) [মান: ৫]
সংজ্ঞা:
(ক) Dry Bulb Temperature (DBT): সাধারণ থার্মোমিটার দ্বারা পরিমাপকৃত বাতাসের প্রকৃত পারিপার্শ্বিক তাপমাত্রা (আর্দ্রতার প্রভাবমুক্ত)।
(খ) Wet Bulb Temperature (WBT): থার্মোমিটারের বাল্বকে একটি ভেজা সুতি কাপড়ে জড়িয়ে দ্রুতগতির বাতাসের সংস্পর্শে আনলে পানি বাষ্পীভবনের ফলে যে সর্বনিম্ন তাপমাত্রা পাওয়া যায়।
(গ) Relative Humidity (RH): নির্দিষ্ট তাপমাত্রায় নির্দিষ্ট আয়তনের বাতাসে বিদ্যমান জলীয় বাষ্পের ভর এবং একই তাপমাত্রায় বাতাসকে সম্পূর্ণ সম্পৃক্ত করতে প্রয়োজনীয় জলীয় বাষ্পের ভরের শতকরা অনুপাত।
পেল্টন হুইল (Pelton Wheel) কোন ধরনের টারবাইন? এর প্রধান অংশগুলো—নজল, স্পিয়ার হেড, বাকেট এবং কেসিং-এর কাজ সংক্ষেপে লেখ। [মান: ৫]
টারবাইনের ধরন: এটি একটি উচ্চ হেড (High Head) ও স্বল্প ডিসচার্জের (Low Discharge) স্পর্শীয় প্রবাহের ঘাত টারবাইন (Tangential flow Impulse Turbine)।
অংশসমূহের কাজ:
১. Nozzle & Spear: চাপ শক্তিকে উচ্চগতির গতিশক্তিতে (Water jet) রূপান্তর করে এবং স্পিয়ার এগিয়ে-পিছিয়ে পানির ডিসচার্জ নিয়ন্ত্রণ করে।
২. Runner & Buckets: ডাবল-হেমিস্ফেরিক্যাল বাকেটের মধ্যবর্তী স্প্লিটার পানির জেটকে সমান দুই ভাগে বিভক্ত করে প্রায় \(160^\circ-165^\circ\) কোণে ঘুরিয়ে দেয় এবং ইমপ্যাক্ট ফোর্সের মাধ্যমে রোটর ঘুরায়।
৩. Casing: পানি চারদিকে ছিটকে পড়া রোধ করে এবং পানিকে টেলরেসে নিরাপদে পরিচালিত করে।
সেন্ট্রিফিউগাল পাম্প এবং রেসিপ্রোকেটিং পাম্পের মধ্যে চারটি প্রধান পার্থক্য ছক আকারে দেখাও। [মান: ৫]
পার্থক্য ছক:
১. প্রবাহের প্রকৃতি: সেন্ট্রিফিউগাল পাম্পে প্রবাহ অবিচ্ছিন্ন ও মসৃণ (Continuous); রেসিপ্রোকেটিং পাম্পে প্রবাহ স্পন্দিত (Pulsating)।
২. ডিসচার্জ ও হেড: সেন্ট্রিফিউগাল উচ্চ ডিসচার্জ ও নিম্ন/মাঝারি হেডের জন্য উপযোগী; রেসিপ্রোকেটিং কম ডিসচার্জ কিন্তু অত্যন্ত উচ্চ হেডের জন্য ব্যবহৃত হয়।
৩. গতি ও প্রাইমিং: সেন্ট্রিফিউগাল উচ্চগতির (মোটরের সাথে সরাসরি যুক্ত) এবং প্রাইমিং আবশ্যক; রেসিপ্রোকেটিং কম গতির এবং সেলফ-প্রাইমিং।
৪. ঘন তরল হ্যান্ডলিং: সেন্ট্রিফিউগাল সান্দ্র ও ঘোলাটে তরলে ভালো চলে; রেসিপ্রোকেটিংয়ে বিশুদ্ধ তরল লাগে।
অক্সি-অ্যাসিটিলিন গ্যাস ওয়েল্ডিংয়ে ব্যবহৃত ৩ প্রকার শিখার (Flames) নাম লেখ:
(ক) Neutral Flame
(খ) Oxidizing Flame
(গ) Carburizing Flame
প্রতিটি শিখায় অক্সিজেন ও অ্যাসিটিলিনের অনুপাত এবং এদের প্রয়োগ উল্লেখ করো। [মান: ৫]
শিখা বিবরণ:
(ক) Neutral Flame: অক্সিজেন ও অ্যাসিটিলিনের অনুপাত সমান (\(1:1\))। অভ্যন্তরীণ সাদা কোণ ও নীল শিখা থাকে। সাধারণ স্টিল, কাস্ট আয়রন, কপার ও অ্যালুমিনিয়াম ওয়েল্ডিংয়ে সর্বাধিক ব্যবহৃত হয়।
(খ) Oxidizing Flame: অক্সিজেনের পরিমাণ বেশি থাকে (\(1.5:1\))। অত্যন্ত উচ্চ তাপমাত্রার (\(3300^\circ\text{C}\)) শিখা। পিতল (Brass) ও ব্রোঞ্জ ঝালাইয়ে ব্যবহৃত হয়।
(গ) Carburizing (Reducing) Flame: অ্যাসিটিলিনের পরিমাণ বেশি থাকে (\(0.9:1\))। তিনটি পৃথক জোনের শিখা। নিকেল খাদ ও উচ্চ কার্বন ইস্পাত সারফেস হার্ডেনিংয়ে ব্যবহৃত হয়।
শ্যাফট ও হাবকে যুক্ত করতে সান্ক কি (Sunk Key) কীভাবে কাজ করে? একটি আয়তাকার কি শিয়ার (Shearing) এবং ক্রাশিং (Crushing) ব্যর্থতায় কীভাবে ডিজাইন করা হয় তার সমীকরণ লেখ। [মান: ৫]
কাজের নীতি: কি-র অর্ধেক অংশ শ্যাফটের কি-ওয়েতে এবং বাকী অর্ধেক হাব বা পুলির কি-ওয়েতে বসে টর্ক স্থানান্তর করে।
ডিজাইন সমীকরণ (প্রস্থ \(w\), উচ্চতা \(h\), দৈর্ঘ্য \(L\), শ্যাফট ব্যাসার্ধ \(r\)):
১. শিয়ারিংয়ে টর্ক ক্ষমতা: \[T = (w \cdot L \cdot \tau) \times r\]
২. ক্রাশিংয়ে টর্ক ক্ষমতা: \[T = \left( \frac{h}{2} \cdot L \cdot \sigma_c \right) \times r\]
উভয় ক্ষেত্রে ব্যর্থতা প্রতিরোধে কি-র দৈর্ঘ্য \(L\) এমনভাবে নির্বাচন করা হয় যাতে শিয়ারিং ও ক্রাশিং প্রতিরোধ ক্ষমতা কার্যকর টর্কের সমান বা বেশি হয়।
ওয়ার্ক স্টাডি (Work Study)-এর দুটি প্রধান শাখা কী কী? একজন শ্রমিকের একটি কাজের নিরীক্ষিত সময় (Observed Time) \(4.0\,\text{minutes}\), পারফরম্যান্স রেটিং \(110\%\) এবং অ্যালাউন্স \(15\%\) হলে স্ট্যান্ডার্ড টাইম (Standard Time) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
ওয়ার্ক স্টাডির শাখা:
১. মেথড স্টাডি (Method Study) - কাজ করার সর্বোত্তম পদ্ধতি উদ্ভাবন।
২. ওয়ার্ক মেজারমেন্ট বা টাইম স্টাডি (Time Study) - কাজে প্রমিত সময় নির্ধারণ।
স্ট্যান্ডার্ড টাইম গণনা:
১. নরমাল টাইম: \[ ext{Normal Time} = \text{Observed Time} \times \left( \frac{\text{Rating}}{100} \right) = 4.0 \times 1.10 = 4.4\,\text{minutes}\]
২. স্ট্যান্ডার্ড টাইম: \[ ext{Standard Time} = \text{Normal Time} \times (1 + \text{Allowance}) = 4.4 \times (1 + 0.15) = 4.4 \times 1.15 = \mathbf{5.06\,\text{minutes}}\]
প্রোডাক্ট লেআউট (Product / Line Layout) এবং প্রসেস লেআউট (Process / Functional Layout)-এর মধ্যে চারটি পার্থক্য লেখ। গণ-উৎপাদনের (Mass production) জন্য কোনটি উপযোগী? [মান: ৫]
পার্থক্য ছক:
১. মেশিনের বিন্যাস: প্রোডাক্ট লেআউটে পণ্যের উৎপাদন প্রক্রিয়ার ক্রমানুসারে মেশিন সাজানো থাকে; প্রসেস লেআউটে একই জাতের মেশিন এক রুমে/বিভাগে থাকে (যেমন সকল লেদ এক সাথে)।
২. পণ্যের বৈচিত্র্য: প্রোডাক্ট লেআউটে সীমিত বা একক পণ্যের বিশাল উৎপাদন হয়; প্রসেস লেআউটে বিভিন্ন ধরনের কাস্টমাইজড পণ্য তৈরি হয়।
৩. উপকরণ হ্যান্ডলিং খরচ: প্রোডাক্ট লেআউটে কনভেয়ারের মাধ্যমে কাজ চলায় মেটেরিয়াল হ্যান্ডলিং খরচ অত্যন্ত কম; প্রসেস লেআউটে বেশি।
৪. ফ্লেক্সিবিলিটি: প্রোডাক্ট লেআউটে পণ্যের ডিজাইনে সামান্য পরিবর্তন করা কঠিন; প্রসেস লেআউট অত্যন্ত নমনীয়।
উপযোগিতা: গণ-উৎপাদনের (যেমন অটোমোবাইল অ্যাসেম্বলি) জন্য Product Layout সর্বাধিক উপযোগী।
প্রকল্প ব্যবস্থাপনায় সংকটময় পথ (Critical Path)-এর সংজ্ঞা দাও। ক্রিটিক্যাল অ্যাক্টিভিটিগুলোতে মোট ভাসমান সময় বা ফ্লোট (Total Float) কত হয়? প্রজেক্টে ক্রিটিক্যাল পাথ চিহ্নিত করার গুরুত্ব কী? [মান: ৫]
সংজ্ঞা: প্রজেক্ট নেটওয়ার্ক ডায়াগ্রামে শুরুর ইভেন্ট থেকে শেষ ইভেন্ট পর্যন্ত দীর্ঘতম সময়কাল বিশিষ্ট অবিচ্ছিন্ন পথকে ক্রিটিক্যাল পাথ বলে। এই পথটিই পুরো প্রজেক্ট শেষ হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় সর্বনিম্ন সময় নির্ধারণ করে।
ফ্লোট: ক্রিটিক্যাল পাথের প্রতিটি অ্যাক্টিভিটির Total Float শূন্য (\(\text{Float} = 0\))। অর্থাৎ কোনো কাজের দেরি করার সুযোগ নেই।
গুরুত্ব: ক্রিটিক্যাল পাথের যেকোনো একটি কাজে একদিন দেরি হলে সম্পূর্ণ প্রজেক্টের সমাপ্তি একদিন পিছিয়ে যাবে। ফলে প্রজেক্ট ম্যানেজাররা এই পাথের কাজগুলোতে সর্বোচ্চ নজরদারি ও সম্পদ নিয়োজিত করেন।
পেল্টন হুইল টারবাইন কী ধরনের টারবাইন? একটি পেল্টন হুইলে \(50\,\text{m}\) কার্যকর হেডে প্রতি সেকেন্ডে \(0.2\,\text{m}^3\) পানি প্রবেশ করে। সামগ্রিক দক্ষতা (Overall Efficiency) \(85\%\) হলে টারবাইন থেকে প্রাপ্ত শ্যাফট পাওয়ার (\(P\)) কত \(\text{kW}\) হবে? (পানির ঘনত্ব \(\rho = 1000\,\text{kg/m}^3\), \(g = 9.81\,\text{m/s}^2\)) [মান: ৫]
টারবাইনের ধরন: পেল্টন হুইল হলো একটি ট্যাঞ্জেনশিয়াল ফ্লো ইমপালস (Impulse) টারবাইন যা উচ্চ হেড ও স্বল্প প্রবাহে সর্বোচ্চ দক্ষতা দেয়।
গণনা: পানির মোট হাইড্রোলিক পাওয়ার: \[P_{\text{water}} = \rho g Q H = 1000 \times 9.81 \times 0.2 \times 50 = 98100\,\text{W} = 98.1\,\text{kW}\]
শ্যাফট পাওয়ার: সূত্র: \(\eta_o = \frac{P_{\text{shaft}}}{P_{\text{water}}}\)
\[P_{\text{shaft}} = \eta_o \times P_{\text{water}} = 0.85 \times 98.1 = \mathbf{83.385\,\text{kW}}\]
একটি ৪-সিলিন্ডার, ৪-স্ট্রোক পেট্রোল ইঞ্জিনের বোর \(D = 150\) mm, স্ট্রোক \(L = 200\) mm এবং গতিবেগ 1200 rpm। গড় কার্যকর চাপ (Mean Effective Pressure) \(P_m = 6.2\) bar হলে ইঞ্জিনের মোট ইন্ডিকেটেড পাওয়ার (Indicated Power, IP) কিলোওয়াটে নির্ণয় করো। [মান: ৫]
ইন্ডিকেটেড পাওয়ার সমীকরণ:
৪-স্ট্রোক ইঞ্জিনের ক্ষেত্রে কার্যকর চক্র সংখ্যা \(n = N/2 = 1200/2 = 600\) rpm = \(10\) cycles/s।
পিস্টন ক্ষেত্রফল \(A = rac{\pi imes 0.15^2}{4} = 0.01767 ext{ m}^2\)।
\[IP = rac{P_m \cdot L \cdot A \cdot (N/2) \cdot n_{cyl}}{60} = rac{6.2 imes 10^5 imes 0.2 imes 0.01767 imes 600 imes 4}{60 imes 1000} = 87.65 ext{ kW}\]
আইসি ইঞ্জিনের PLAN সূত্র ও শক্তি পরিমাপ।
একটি কাউন্টার-ফ্লো (Counter-flow) ডাবল-পাইপ হিট এক্সচেঞ্জারে গরম তেল 102°C তাপমাত্রায় প্রবেশ করে 60°C তাপমাত্রায় নির্গত হয়। ঠান্ডা পানি 20°C তাপমাত্রায় প্রবেশ করে 50°C তাপমাত্রায় বের হয়। হিট এক্সচেঞ্জারটির লগারিদমিক গড় তাপমাত্রা পার্থক্য (Log Mean Temperature Difference, LMTD) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
কাউন্টার-ফ্লো প্রান্তে তাপমাত্রা পার্থক্য:
\[\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,out} = 102 - 50 = 52^\circ ext{C}\]
\[\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,in} = 60 - 20 = 40^\circ ext{C}\]
LMTD সমীকরণ:
\[ ext{LMTD} = rac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln(\Delta T_1 / \Delta T_2)} = rac{52 - 40}{\ln(52 / 40)} = 45.74^\circ ext{C}\]
হিট এক্সচেঞ্জারের এলএমটিডি সমীকরণ ও সমান্তরাল বনাম বিপরীত প্রবাহ বিশ্লেষণ।
একটি সেন্ট্রিফিউগাল পাম্প প্রতি সেকেন্ডে 31 লিটার পানি 26 m ম্যানোমেট্রিক হেডের বিপরীতে সরবরাহ করে। পাম্পটির কর্মদক্ষতা 75% হলে পাম্পটি চালাতে কত কিলোওয়াট ক্ষমতার মোটর প্রয়োজন হবে? [মান: ৫]
১. পানি উত্তোলনে প্রয়োজনীয় ক্ষমতা:
প্রবাহ \(Q = 31/1000 = 0.031 ext{ m}^3 ext{/s}\)।
\[P_w =
ho g Q H_m = 9.81 imes 0.031 imes 26 = 7.91 ext{ kW}\]
২. মোটরের প্রয়োজনীয় ক্ষমতা:
\[P_{motor} = rac{P_w}{\eta} = rac{7.91}{0.75} = 10.55 ext{ kW}\]
পাম্পের ম্যানোমেট্রিক হেড ও ইনপুট মোটর পাওয়ার নির্ধারণ।
একটি এপিসাইক্লিক গিয়ার ট্রেইনে সান গিয়ার S (32টি দাঁত) এবং অ্যানেউলাস রিং গিয়ার A (72টি দাঁত) আর্ম C-এর সাপেক্ষে ঘুরতে পারে। যদি আর্ম C ফিক্সড রাখা হয় এবং সান গিয়ার 100 rpm-এ ঘোরে, তবে রিং গিয়ার A এর গতিবেগ ও ঘূর্ণনের দিক টেবুলার মেথড ব্যবহার করে বের করো। [মান: ৫]
টেবুলার পদ্ধতি:
১. আর্ম ফিক্সড রেখে সান গিয়ারকে \(+1\) ঘূর্ণন দিলে রিং গিয়ারের ঘূর্ণন: \(- rac{T_S}{T_A} = - rac{32}{72}\)।
২. সান গিয়ার 100 rpm হলে: \[N_A = - 100 imes rac{32}{72} = - 44.4 ext{ rpm}\]
ঋণাত্মক চিহ্ন নির্দেশ করে রিং গিয়ার সান গিয়ারের বিপরীত দিকে 44.4 rpm গতিতে ঘুরবে।
এপিসাইক্লিক গিয়ার ট্রেইনের রিলেটিভ ভেলোসিটি ও টেবুলার মেথড।
একটি অ্যামোনিয়া রেফ্রিজারেশন প্ল্যান্টের বাষ্প কম্প্রেশন সাইকেলে মূল বিন্দুগুলোর এনথালপি মান নিম্নরূপ:
কম্প্রেসরের শুরুতে \(h_1 = 1421\) kJ/kg, কম্প্রেসরের শেষে \(h_2 = 1651\) kJ/kg, এবং ঘনীভবনের পর তরল রেফ্রিজারেন্টের এনথালপি \(h_3 = h_4 = 381\) kJ/kg।
(ক) রেফ্রিজারেটিং প্রভাব (Refrigerating Effect) কত?
(খ) সিস্টেমটির পারফরম্যান্স সহগ (COP) হিসাব করো। [মান: ৫]
১. রেফ্রিজারেটিং প্রভাব:
\[RE = h_1 - h_4 = 1421 - 381 = 1040 ext{ kJ/kg}\]
২. কম্প্রেসরে কৃতকাজ:
\[W_c = h_2 - h_1 = 1651 - 1421 = 230 ext{ kJ/kg}\]
৩. COP গণনা:
\[ ext{COP} = rac{RE}{W_c} = rac{1040}{230} = 4.52\]
বাষ্প কম্প্রেশন রেফ্রিজারেশন চক্রের এনথালপি বিশ্লেষণ ও সিওপি।
একটি উৎপাদনকারী কারখানার স্থির ব্যয় (Fixed Cost) 210000 টাকা। প্রতি একক পণ্যের পরিবর্তনশীল ব্যয় (Variable Cost) 30 টাকা এবং বিক্রয়মূল্য 50 টাকা। (ক) ব্রেক-ইভেন পয়েন্ট (Break-Even Point, BEP) এককে ও আর্থিক অঙ্কে নির্ণয় করো এবং
(খ) কারখানাটির কন্ট্রিবিউশন মার্জিন অনুপাত (P/V Ratio) শতকরা কত? [মান: ৫]
১. একক প্রতি কন্ট্রিবিউশন:
\[C = ext{Selling Price} - ext{Variable Cost} = 50 - 30 = 20 ext{ টাকা}\]
২. ব্রেক-ইভেন পয়েন্ট:
\[ ext{BEP (এককে)} = rac{ ext{Fixed Cost}}{C} = rac{210000}{20} = 10500 ext{ একক}\]
আর্থিক অঙ্কে: \[ ext{BEP (টাকায়)} = 10500 imes 50 = 525000 ext{ টাকা}\]
৩. P/V অনুপাত: \[ rac{C}{S} imes 100 = rac{20}{50} imes 100 = 40.0\%\]
শিল্প উৎপাদন অর্থনীতি, ব্রেক-ইভেন অ্যানালাইসিস ও মার্জিনাল কস্টিং।