DUET Admission 2027 Model Exam 058 - মেকানিক্যাল ইঞ্জিনিয়ারিং (ME)
Mechanical Engineering · আসন সংখ্যা: 120
১ম পত্র: নন-টেকনিক্যাল (পদার্থবিজ্ঞান, রসায়ন, গণিত ও ইংরেজি)
পদার্থবিজ্ঞান (৪০) · রসায়ন (৪০) · গণিত (৪০) · ইংরেজি (৩০)বিভাগ-ক: বহু নির্বাচনি প্রশ্ন (MCQ)
৪০টি প্রশ্ন × ১.৫ নম্বর = ৬০ নম্বর (নেগেটিভ মার্ক ০.২৫)Inclined plane-এর angle বাড়ালে normal reaction কী হয়?
Inclined plane-এর angle বাড়ালে plane বরাবর weight component কী হয়?
θ=30°, m=2 kg, g=10 হলে frictionless incline acceleration কত?
θ=60°, m=2 kg, g=10 হলে normal reaction কত?
μ=tanθ হলে incline-এ body just slide করবে কখন?
μ=1 হলে angle of repose কত?
Angle of repose বাড়লে coefficient of friction কী হয়?
Smooth surface-এর coefficient of friction কত?
Roughness বাড়লে coefficient of friction সাধারণত কী হয়?
Friction কি area of contact-এর উপর নির্ভর করে ideal dry friction model-এ?
পর্যায় সারণিতে K মৌলটি কোন গ্রুপে অবস্থিত?
\(CaCO₃(s) ⇌ CaO(s) + CO₂(g)\) বিক্রিয়াটিতে নিষ্ক্রিয় গ্যাস (যেমন আর্গন) স্থির আয়তনে যোগ করলে সাম্যাবস্থার কী পরিবর্তন হবে?
\(CH₄(g) + H₂O(g) ⇌ CO(g) + 3H₂(g)\) বিক্রিয়াটির জন্য \(K_p\) ও \(K_c\) এর সঠিক সম্পর্ক কোনটি?
\(\text{SF₆}\) অণুর কেন্দ্রীয় পরমাণুতে মোট বন্ধনজোড় (Bond Pair) ইলেকট্রন কতটি?
\(\text{SO₂}\) অণুর বন্ধন কোণ (Bond Angle) আনুমানিক কত?
\(\text{IF₅}\) অণুর কেন্দ্রীয় পরমাণুতে মোট বন্ধনজোড় (Bond Pair) ইলেকট্রন কতটি?
Ar মৌলটির বিশিষ্ট রাসায়নিক বৈশিষ্ট্য কোনটি?
একই তাপমাত্রা ও চাপে কোন গ্যাসটির ব্যাপন হার (Rate of Diffusion) সর্বাধিক হবে?
Li এর অক্সাইডের প্রকৃতি সাধারণত কেমন?
\(\text{CH₄}\) অণুর কেন্দ্রীয় পরমাণুতে মোট বন্ধনজোড় (Bond Pair) ইলেকট্রন কতটি?
|z - 3| = 4 কিসের সমীকরণ?
quadratic equation-এর discriminant ঋণাত্মক হলে roots কেমন হয়?
z³ = 8i সমীকরণের একটি root কোনটি?
x² + 3x + 4 = 0 সমীকরণের শূন্যগুলির গুণফল কত?
x² + 10x + 16 = 0 সমীকরণের শূন্যগুলি কী?
∫ [x / (1 + x²)] dx এর মান কোনটি?
(2 - 3i)(3 + 2i) এর real part কত?
i-এর multiplicative inverse কত?
complex number z-এর modulus |z| বলতে কী বোঝায়?
polar form z = r(cos θ + i sin θ) এ r কী?
He ___ already ___ the letter.
The number of students ___ increasing.
Select the most accurate synonym for the word 'BENEVOLENT' in context sample #1:
Select the most accurate synonym for the word 'ACUMEN' in context sample #7:
Select the most accurate synonym for the word 'MITIGATE' in context sample #14:
Select the most accurate synonym for the word 'CAPRICIOUS' in context sample #23:
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'Engineers from all across the nation converged ___ the annual national convention.'
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The project director was utterly disgusted ___ the contractor's sloppy workmanship.'
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The trade union representatives were openly hostile ___ the automated inspection policy.'
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'A soldier is strictly trained to remain obedient ___ superior chain of command.'
বিভাগ-খ: সংক্ষিপ্ত ও বর্ণনামূলক লিখিত প্রশ্ন (Written/CQ)
১৮টি প্রশ্ন × ৫ নম্বর = ৯০ নম্বর\(1000\,\text{kg}\) ভরের একটি গাড়ি \(20\,\text{m/s}\) বেগে চলছিল। ব্রেক প্রয়োগ করে \(5\,\text{s}\)-এর মধ্যে গাড়িটিকে স্থির করা হলো।
(ক) গাড়ির ত্বরণ (মন্দন) এবং ব্রেকজনিত বল নির্ণয় করো।
(খ) ব্রেক করার পর গাড়িটি থামার পূর্বে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে? [মান: ৫]
গণনা:
- \(m = 1000\,\text{kg}, u = 20\,\text{m/s}, v = 0, t = 5\,\text{s}\)
(ক) মন্দন: \[a = \frac{v - u}{t} = \frac{0 - 20}{5} = -4\,\text{m/s}^2 \implies \text{মন্দন} = \mathbf{4\,\text{m/s}^2}\]
ব্রেকজনিত বল: \[F = m \cdot a = 1000 \times (-4) = -4000\,\text{N} \implies \mathbf{4\,\text{kN}\text{ (গতির বিপরীতে)}}\]
(খ) অতিক্রান্ত দূরত্ব: \[s = u t + \frac{1}{2} a t^2 = 20 \times 5 + \frac{1}{2}(-4)(5)^2 = 100 - 50 = \mathbf{50\,\text{m}}\]
একটি সরল ছন্দিত স্পন্দনশীল (SHM) কণার সরণের সমীকরণ \(x = 5 \sin(10 t + \pi/4)\) মিটার হলে:
(ক) কণাটির বিস্তার (Amplitude), কৌণিক কম্পাঙ্ক এবং পর্যায়কাল নির্ণয় করো।
(খ) কণাটির সর্বোচ্চ বেগ (\(v_{max}\)) এবং সর্বোচ্চ ত্বরণ (\(a_{max}\)) কত? [মান: ৫]
আদর্শ সমীকরণের সাথে তুলনা (\(x = A \sin(\omega t + \delta)\)):
(ক) বিস্তার: \(\mathbf{A = 5\,\text{m}}\)
কৌণিক কম্পাঙ্ক: \(\mathbf{\omega = 10\,\text{rad/s}}\)
পর্যায়কাল: \[T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \approx \mathbf{0.628\,\text{s}}\]
(খ) সর্বোচ্চ বেগ: \[v_{max} = \omega A = 10 \times 5 = \mathbf{50\,\text{m/s}}\]
সর্বোচ্চ ত্বরণ: \[a_{max} = \omega^2 A = (10)^2 \times 5 = 100 \times 5 = \mathbf{500\,\text{m/s}^2}\]
কার্শফের তড়িৎ প্রবাহ সূত্র (KCL) এবং ভোল্টেজ সূত্র (KVL) বিবৃত করো। KCL কোন সংরক্ষণশীল নীতির উপর প্রতিষ্ঠিত? [মান: ৫]
১. কার্শফের তড়িৎ প্রবাহ সূত্র (KCL): তড়িৎ বর্তনীর যেকোনো সংযোগ বিন্দুতে (Junction) মিলিত কারেন্টসমূহের বীজগাণিতিক যোগফল শূন্য (\(\sum I = 0\))। অর্থাৎ সংযোগে প্রবিষ্ট মোট কারেন্ট = নির্গত মোট কারেন্ট। এটি চার্জের সংরক্ষণশীলতা নীতির উপর প্রতিষ্ঠিত।
২. কার্শফের ভোল্টেজ সূত্র (KVL): কোনো বদ্ধ লুপ বা বর্তনীতে সকল উপাদান ও রোধের দুই প্রান্তের ভোল্টেজ ড্রপ এবং মোট তড়িৎচালক শক্তির বীজগাণিতিক যোগফল শূন্য (\(\sum V = 0\))। এটি শক্তির সংরক্ষণশীলতা নীতির উপর প্রতিষ্ঠিত।
NAND গেটকে কেন সার্বজনীন গেট (Universal Gate) বলা হয়? শুধুমাত্র 2-ইনপুট NAND গেট ব্যবহার করে OR গেট বাস্তবায়ন করে লজিক ডায়াগ্রাম ও সত্যক সারণি দেখাও। [মান: ৫]
সার্বজনীন গেট: কারণ NAND গেটের সাহায্যে যেকোনো মৌলিক গেট (AND, OR, NOT) এবং যেকোনো জটিল ডিজিটাল সার্কিট অন্য কোনো গেটের সাহায্য ছাড়াই তৈরি করা যায়।
NAND দ্বারা OR গেট বাস্তবায়ন:
বুলিয়ান সমীকরণ: \(A + B = \overline{\overline{A + B}} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}\) (ডি মরগ্যানের সূত্র)।
ধাপ ১: ইনপুট \(A\) কে একটি NAND গেটের উভয় পিনে দিয়ে পাওয়া যায় \(\overline{A}\)।
ধাপ ২: ইনপুট \(B\) কে অপর NAND গেটে দিয়ে পাওয়া যায় \(\overline{B}\)।
ধাপ ৩: \(\overline{A}\) ও \(\overline{B}\) কে ৩য় NAND গেটে দিলে আউটপুট: \[Y = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = A + B\]
অতএব মোট ৩টি NAND গেট প্রয়োজন।
একটি 2 m দীর্ঘ ও 1 mm ব্যাসার্ধের ইস্পাতের তারের নিচে 10 kg ভর চাপালে দৈর্ঘ্য 0.6 mm বৃদ্ধি পায়। তারের উপাদানের ইয়ং-এর গুণাঙ্ক এবং একক আয়তনে সঞ্চিত স্থিতিস্থাপক বিভব শক্তি গণনা করো। (g = 9.8 m/s²)
প্রদত্ত: আদি দৈর্ঘ্য \(L = 2 ext{ m}\), ব্যাসার্ধ \(r = 10^{-3} ext{ m}\), ভর \(m = 10 ext{ kg}\), বৃদ্ধি \(l = 0.6 imes 10^{-3} ext{ m}\)।
প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল \(A = \pi r^2 = \pi (10^{-3})^2 = 3.1416 imes 10^{-6} ext{ m}^2\)।
বল \(F = mg = 10 imes 9.8 = 98 ext{ N}\)।
ইয়ং-এর গুণাঙ্ক: \[Y = rac{F L}{A l} = rac{98 imes 2}{(3.1416 imes 10^{-6}) imes (0.6 imes 10^{-3})} = rac{196}{1.885 imes 10^{-9}} pprox 1.04 imes 10^{11} ext{ N/m}^2\]
একক আয়তনে সঞ্চিত শক্তি: \[u = rac{1}{2} imes ext{Stress} imes ext{Strain} = rac{1}{2} imes rac{F}{A} imes rac{l}{L} = rac{1}{2} imes rac{98}{3.1416 imes 10^{-6}} imes rac{0.6 imes 10^{-3}}{2} pprox 4679.1 ext{ J/m}^3\]
হুকের সূত্র ও স্থিতিস্থাপক শক্তির সমাকলিত রূপ ও একক আয়তনে শক্তির সমীকরণ।
°C তাপমাত্রায় নিম্নলিখিত গ্যালভানিক কোষটির তড়িৎচালক বল (EMF) নির্ণয় করো:
\(\text{Zn(s)} \mid \text{Zn}^{2+}(0.02\text{ M}) \parallel \text{Cu}^{2+}(0.5\text{ M}) \mid \text{Cu(s)}\)
(দেওয়া আছে: \(E^\circ_{\text{Zn}^{2+}/\text{Zn}} = -0.76\text{ V}\), \(E^\circ_{\text{Cu}^{2+}/\text{Cu}} = +0.34\text{ V}\))
কোষ বিক্রিয়া: \(\text{Zn(s)} + \text{Cu}^{2+}\text{(aq)} \longrightarrow \text{Zn}^{2+}\text{(aq)} + \text{Cu(s)}\) (ইলেকট্রন সংখ্যা \(n = 2\))।
প্রমাণ তড়িৎচালক বল: \[E^\circ_{\text{cell}} = E^\circ_{\text{cathode}} - E^\circ_{\text{anode}} = 0.34 - (-0.76) = 1.10\text{ V}\]
নার্নস্ট সমীকরণ (Nernst Equation) প্রয়োগ করে:
\[E_{\text{cell}} = E^\circ_{\text{cell}} - \frac{0.0591}{n} \log_{10} \left( \frac{[\text{Zn}^{2+}]}{[\text{Cu}^{2+}]} \right)\]
\[E_{\text{cell}} = 1.10 - \frac{0.0591}{2} \log_{10}\left(\frac{0.02}{0.5}\right) = 1.10 - 0.02955 \times \log_{10}(0.04)\]
\[\log_{10}(0.04) = -1.3979 \implies E_{\text{cell}} = 1.10 - 0.02955(-1.3979) = 1.10 + 0.0413 = 1.141\text{ V}\]
তড়িৎ রাসায়নিক কোষে নার্নস্ট সমীকরণ ও কোষ বিভব গণনা।
\(\text{pH}\) এবং \(\text{pOH}\)-এর সংজ্ঞা দাও এবং দেখাও যে \(\text{pH} + \text{pOH} = 14\)। \(0.005\,\text{M}\) ঘনমাত্রার সালফিউরিক এসিড (\(\text{H}_2\text{SO}_4\)) দ্রবণের \(\text{pH}\) কত? [মান: ৫]
সংজ্ঞা: কোনো দ্রবণে বিদ্যমান হাইড্রোজেন আয়ন ঘনমাত্রার ঋণাত্মক লগারিদমকে \(\text{pH}\) বলে: \(\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}^+]\)।
পানির আয়নিক গুণফল: \([\text{H}^+][\text{OH}^-] = K_w = 10^{-14}\)।
উভয়পাশে \(-\log\) নিলে: \[-\log[\text{H}^+] - \log[\text{OH}^-] = -\log(10^{-14}) \implies \mathbf{\text{pH} + \text{pOH} = 14}\]
\(\text{H}_2\text{SO}_4\) দ্রবণের \(\text{pH}\) গণনা:
\(\text{H}_2\text{SO}_4\) একটি তীব্র দ্বি-ক্ষারকীয় এসিড: \(\text{H}_2\text{SO}_4 \rightarrow 2\text{H}^+ + \text{SO}_4^{2-}\)
\[[\text{H}^+] = 2 \times [\text{H}_2\text{SO}_4] = 2 \times 0.005 = 0.01\,\text{M} = 10^{-2}\,\text{M}\]
\[\text{pH} = -\log_{10}(10^{-2}) = -(-2) = \mathbf{2.0}\]
হেসের তাপ সমষ্টিকরণ সূত্রটি (Hess's Law) বিবৃত করো। কার্বনের দহন তাপ \(\Delta H = -393.5\,\text{kJ/mol}\) এবং কার্বন মনোক্সাইডের দহন তাপ \(\Delta H = -283.0\,\text{kJ/mol}\) হলে \(\text{C}(s) + \frac{1}{2}\text{O}_2(g) \rightarrow \text{CO}(g)\) বিক্রিয়ার গঠন তাপ নির্ণয় করো। [মান: ৫]
হেসের সূত্র: কোনো রাসায়নিক পরিবর্তন এক ধাপে বা একাধিক ধারাবাহিক ধাপে সংঘটিত হোক না কেন, প্রাথমিক ও চূড়ান্ত অবস্থা এক থাকলে বিক্রিয়ার মোট এনথালপির পরিবর্তন (\(\Delta H\)) সর্বদা একই থাকে।
বিক্রিয়াসমূহ:
(১) \(\text{C}(s) + \text{O}_2(g) \rightarrow \text{CO}_2(g), \quad \Delta H_1 = -393.5\,\text{kJ}\)
(২) \(\text{CO}(g) + \frac{1}{2}\text{O}_2(g) \rightarrow \text{CO}_2(g), \quad \Delta H_2 = -283.0\,\text{kJ}\)
সমীকরণ (১) হতে সমীকরণ (২) বিয়োগ করে পাই:
\[\text{C}(s) + \frac{1}{2}\text{O}_2(g) \longrightarrow \text{CO}(g)\]
\[\Delta H = \Delta H_1 - \Delta H_2 = -393.5 - (-283.0) = -393.5 + 283.0 = \mathbf{-110.5\,\text{kJ/mol}}\]
°C তাপমাত্রায় 0.1 M অ্যাসিটিক অ্যাসিড (\(\text{CH}_3\text{COOH}\)) এবং 0.2 M সোডিয়াম অ্যাসিটেট (\(\text{CH}_3\text{COONa}\)) মিশ্রিত করে প্রস্তুতকৃত একটি বাফার দ্রবণের pH নির্ণয় করো। (অ্যাসিটিক অ্যাসিডের \(K_a = 1.8 \times 10^{-5}\))
প্রদত্ত: অ্যাসিডের ঘনমাত্রা \([\text{Acid}] = 0.1\text{ M}\), লবণের ঘনমাত্রা \([\text{Salt}] = 0.2\text{ M}\), \(K_a = 1.8 \times 10^{-5}\)।
হেন্ডারসন-হ্যাসেলবাখ সমীকরণ প্রয়োগ করে:
\[\text{pH} = \text{pK}_a + \log_{10} \left( \frac{[\text{Salt}]}{[\text{Acid}]} \right)\]
\[\text{pK}_a = -\log_{10}(1.8 \times 10^{-5}) = 4.745\]
\[\text{pH} = 4.745 + \log_{10}\left(\frac{0.2}{0.1}\right) = 4.745 + \log_{10}(2) = 4.745 + 0.301 = 5.05\]
বাফার দ্রবণের ক্রিয়া কৌশল ও হেন্ডারসন-হ্যাসেলবাখ সমীকরণের সঠিক প্রয়োগ।
বেনজালডিহাইডের ক্যানিজারো বিক্রিয়াটির (Cannizzaro Reaction) সম্পূর্ণ রাসায়নিক সমীকরণ এবং মেকানিজম বা কৌশলের মূল ধাপগুলো লিখ।
সংজ্ঞা: আলফা-হাইড্রোজেনহীন অ্যালডিহাইড তীব্র ক্ষারের (৫০% NaOH) উপস্থিতিতে স্বতঃ জারণ-বিজারণের মাধ্যমে অ্যালকোহল ও কার্বক্সিলিক অ্যাসিডের লবণে পরিণত হয়।
রাসায়নিক সমীকরণ:
\[2\text{C}_6\text{H}_5\text{CHO} + \text{NaOH} \xrightarrow{50\% \text{ NaOH}} \text{C}_6\text{H}_5\text{CH}_2\text{OH} + \text{C}_6\text{H}_5\text{COONa}\]
(বেনজাইল অ্যালকোহল এবং সোডিয়াম বেনজয়েট)
কৌশলের মূল ধাপ:
ধাপ ১: হাইড্রক্সাইড আয়ন (\(\text{OH}^-\)) অ্যালডিহাইডের কার্বনাইল কার্বনে নিউক্লিওফিলিক আক্রমণ করে টেট্রাহেড্রাল অ্যানায়ন তৈরি করে।
ধাপ ২: অ্যানায়ন হতে হাইড্রাইড আয়ন (\(\text{H}^-\)) অপর একটি বেনজালডিহাইড অণুতে স্থানান্তরিত হয় (হার নির্ধারণী ধাপ)।
ধাপ ৩: প্রোটন বিনিময়ের মাধ্যমে বেনজাইল অ্যালকোহল ও বেনজয়েট অ্যানায়ন উৎপন্ন হয়।
ক্যানিজারো বিক্রিয়ায় হাইড্রাইড শিফট মেকানিজম ও স্বতঃ জারণ-বিজারণের স্পষ্ট সমীকরণ।
\(y = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 5\) বক্ররেখার চরম মান (Maximum and Minimum values) নির্ণয় করো। কোন বিন্দুতে সর্বোচ্চ এবং কোন বিন্দুতে সর্বনিম্ন মান পাওয়া যাবে? [মান: ৫]
১ম ডেরিভেটিভ: \[ rac{dy}{dx} = 6x^2 - 18x + 12\]
চরম মানের জন্য \(\frac{dy}{dx} = 0\):
\[6(x^2 - 3x + 2) = 0 \implies (x - 1)(x - 2) = 0 \implies x = 1, \, 2\]
২য় ডেরিভেটিভ: \[ rac{d^2y}{dx^2} = 12x - 18\]
- \(x = 1\)-এ: \(\frac{d^2y}{dx^2} = 12(1) - 18 = -6 < 0 \rightarrow\) সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান।
সর্বোচ্চ মান: \(y_{max} = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) + 5 = 2 - 9 + 12 + 5 = \mathbf{10}\)
- \(x = 2\)-এ: \(\frac{d^2y}{dx^2} = 12(2) - 18 = +6 > 0 \rightarrow\) সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান।
সর্বনিম্ন মান: \(y_{min} = 2(8) - 9(4) + 12(2) + 5 = 16 - 36 + 24 + 5 = \mathbf{9}\)
\(f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 5\) ফাংশনটির গুরুমান (Maximum) এবং লঘুমান (Minimum) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
সমাধান:
১ম অন্তরজ: \(f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x - 1)(x - 2)\)।
চরম মানের শর্তে \(f'(x) = 0 \implies x = 1, 2\)।
২য় অন্তরজ: \(f''(x) = 12x - 18\)।
- \(x = 1\) বিন্দুতে: \(f''(1) = 12(1) - 18 = -6 < 0 \implies\) গুরুমান বিদ্যমান।
গুরুমান: \(f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) + 5 = 2 - 9 + 12 + 5 = \mathbf{10}\)।
- \(x = 2\) বিন্দুতে: \(f''(2) = 12(2) - 18 = +6 > 0 \implies\) লঘুমান বিদ্যমান।
লঘুমান: \(f(2) = 2(8) - 9(4) + 12(2) + 5 = 16 - 36 + 24 + 5 = \mathbf{9}\)।
ডি ময়াভরের উপপাদ্য (De Moivre's Theorem) বিবৃত করো। উপপাদ্যের সাহায্যে এককের তিনটি ঘনমূল (Cube roots of unity) নির্ণয় করো এবং দেখাও যে জটিল মূলদ্বয়ের একটি অপরটির বর্গ। [মান: ৫]
উপপাদ্য: যেকোনো মূলদ সংখ্যা \(n\)-এর জন্য: \((\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\)।
এককের ঘনমূল:
\(1 = \cos(2k\pi) + i\sin(2k\pi)\), যেখানে \(k = 0, 1, 2\)।
\(1^{1/3} = \cos\frac{2k\pi}{3} + i\sin\frac{2k\pi}{3}\)।
- \(k = 0 \implies 1\)
- \(k = 1 \implies \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \omega\)
- \(k = 2 \implies \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} = \omega^2\)
বর্গ প্রমাণ:
\[\omega^2 = \left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} - 2 \left(\frac{1}{2}\right)\left(i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{[প্রমাণিত]}\]
সমাধান করো: \[\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = x^3\] (যেখানে \(x > 0\))
এটি একটি প্রথম ক্রমের রৈখিক অন্তরক সমীকরণ (First Order Linear Differential Equation) যা \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\) আকারের।
এখানে, \(P(x) = \frac{2}{x}\) এবং \(Q(x) = x^3\)।
সমাকলন গুণক (Integrating Factor, IF):
\[\text{IF} = e^{\int P(x)dx} = e^{\int \frac{2}{x}dx} = e^{2\ln x} = e^{\ln(x^2)} = x^2\]
সমীকরণের সাধারণ সমাধান: \[y \cdot (\text{IF}) = \int Q(x) \cdot (\text{IF}) \, dx + C\]
\[y \cdot x^2 = \int x^3 \cdot x^2 \, dx + C = \int x^5 \, dx + C = \frac{x^6}{6} + C\]
\[y = \frac{x^4}{6} + \frac{C}{x^2}\]
রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাকলন গুণক ও সাধারণ সমাধান পদ্ধতি।
যদি \(\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}\), \(\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}\) এবং \(\vec{c} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}\) হয়, তবে ভেক্টর তিনটি দ্বারা গঠিত সামান্তরিকীয় ঘনবস্তুর (Parallelepiped) আয়তন নির্ণয় করো এবং ভেক্টর তিনটি এক-তলীয় (Coplanar) কি না যাচাই করো।
তিনটি ভেক্টর দ্বারা গঠিত ঘনবস্তুর আয়তন হলো স্কেলার ত্রি-গুণন (Scalar Triple Product): \[V = |[\vec{a} \; \vec{b} \; \vec{c}]| = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|\]
নির্ণায়কের সাহায্যে: \[\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}\]
\[= 2(4 - (-1)) - (-1)(2 - (-3)) + 3(1 - 6) = 2(5) + 1(5) + 3(-5) = 10 + 5 - 15 = 0\]
অতএব, ঘনবস্তুর আয়তন \(V = 0\) ঘন একক।
সিদ্ধান্ত: যেহেতু স্কেলার ত্রি-গুণনের মান শূন্য (\(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0\)), সুতরাং ভেক্টর তিনটি এক-তলীয় (Coplanar)।
ভেক্টর বীজগণিতে স্কেলার ত্রি-গুণন ও এক-তলীয় শর্ত নির্ধারণ।
নিচের অনুচ্ছেদটি বাংলায় অনুবাদ করো (বা ইংরেজিতে অনুবাদ করো):
"কারিগরি শিক্ষা একটি দেশের অর্থনৈতিক সমৃদ্ধির মূল চালিকাশক্তি। দক্ষ ডিপ্লোমা প্রকৌশলীরা বাংলাদেশের শিল্প কারখানা এবং অবকাঠামো উন্নয়নে অনন্য অবদান রাখছেন।" [মান: ৫]
English Translation:
"Technical education is the prime driving force of a country's economic prosperity. Skilled diploma engineers are making outstanding contributions to the industrialization and infrastructure development of Bangladesh."
Write a short technical paragraph (around 80-100 words) on: "The Importance of Renewable Energy in Bangladesh". Focus on solar power, energy security, and environmental benefits. [মান: ৫]
Sample Response:
Renewable energy is vital for ensuring long-term energy security and sustainable industrial growth in Bangladesh. Given the depleting reserves of domestic natural gas and the volatile prices of imported fossil fuels, transitioning to green energy has become an imperative. Solar power offers immense potential due to the country's geographical location with abundant year-round sunlight. Rooftop solar in industrial zones and solar irrigation pumps in rural areas significantly reduce grid pressure and carbon emissions. Expanding wind and biomass power alongside solar energy will diversify the energy mix, foster energy independence, and mitigate the severe impacts of climate change in Bangladesh.
Translate the following passage into English:
প্রকৌশলবিদ্যা কেবল তাত্ত্বিক জ্ঞানের মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়, বরং এটি বাস্তব জীবনের জটিল সমস্যার সৃজনশীল সমাধান প্রদান করে। বর্তমান তথ্যপ্রযুক্তির যুগে কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা ও নবায়নযোগ্য শক্তি জাতীয় অর্থনৈতিক প্রবৃদ্ধির মূল চালিকাশক্তি হিসেবে আবির্ভূত হয়েছে। বাংলাদেশের মতো উন্নয়নশীল দেশের জন্য দক্ষ প্রকৌশলী তৈরি করা একটি অপরিহার্য অগ্রাধিকার।
Model Translation:
"Engineering is not merely confined to theoretical knowledge; rather, it provides creative solutions to the complex problems of real life. In the present era of information technology, artificial intelligence and renewable energy have emerged as the primary driving forces of national economic growth. For a developing country like Bangladesh, producing skilled engineers is an indispensable priority."
Evaluates academic vocabulary, compound-complex sentence structure, and idiomatic precision in English translation.
২য় পত্র: টেকনিক্যাল (বিভাগীয় বিষয়)
মেকানিক্যাল ইঞ্জিনিয়ারিং (স্পেশালাইজড ইঞ্জিনিয়ারিং)বিভাগ-ক: বহু নির্বাচনি প্রশ্ন (Technical MCQ)
৪০টি প্রশ্ন × ১.৫ নম্বর = ৬০ নম্বর (নেগেটিভ মার্ক ০.২৫)সিলিন্ড্রিক্যাল পাইপের জন্য তাপ নিরোধকের ক্রিটিক্যাল ব্যাসার্ধ (Critical Radius of Insulation, r_c) কোনটি?
হিট এক্সচেঞ্জারে সমপ্রবাহ (Parallel Flow) অপেক্ষা বিপরীত প্রবাহের (Counter Flow) প্রধান সুবিধা কোনটি?
পাতলা দেয়ালযুক্ত সিলিন্ডারে (Thin Cylinder) অভ্যন্তরীণ তরল চাপের কারণে সৃষ্ট হুপ স্ট্রেস (Hoop/Circumferential Stress, σ_h) কত?
একটি বৃত্তাকার সলিড শ্যাফটের টরশন প্রতিরোধ ক্ষমতা (Torsional Strength) শ্যাফটের ব্যাসের (d) কোন ঘাতের সমানুপাতিক?
ডাকটাইল উপাদানের ফাটল ও ব্যর্থতার জন্য সর্বাধিক প্রচলিত এবং নির্ভুল তত্ত্ব কোনটি?
প্ল্যানার মেকানিজমের ডিগ্রিজ অব ফ্রিডম (DOF) নির্ণয়ে গ্রুবলার-কুতজবাখ সূত্র কোনটি?
গিয়ার ডিজাইনে মডিউল (Module, m) এর সঠিক সংজ্ঞা কোনটি?
টেইলরের টুল লাইফ সমীকরণ (Taylor's Tool Life Equation) কোনটি?
একটি 1 টন রেফ্রিজারেশন (1 TR) সমতুল্য তাপ অপসারণের আন্তর্জাতিক হার কত?
বাষ্প কম্প্রেশন রেফ্রিজারেশন সাইকেলে (VCRS) সম্প্রসারণ ভালভে (Expansion Valve) থ্রটলিং প্রক্রিয়াটি কেমন হয়?
সাইক্রোমেট্রিক চার্টে ড্রাই বাল্ব তাপমাত্রা (DBT) স্থির রেখে জলীয় বাষ্প সংযোজন প্রক্রিয়াকে কী বলা হয়?
লেদ মেশিনে ড্রিলিং অপারেশন করার সময় ড্রিল বিটটি প্রধানত কোথায় আটকানো হয়?
কাস্টিং বা ঢালাই প্রক্রিয়ায় তরল ধাতুর সংকোচনজনিত শূন্যতা পূরণের জন্য অতিরিক্ত গলিত ধাতু সংরক্ষক অংশকে কী বলে?
ওয়েল্ডিংয়ে শীল্ডেড মেটাল আর্ক ওয়েল্ডিংয়ে (SMAW) ইলেকট্রোডের গায়ে ফ্লাক্স কোটিং (Flux Coating) ব্যবহারের উদ্দেশ্য কী?
ইঞ্জিনিয়ারিং উপাদানের ইমপ্যাক্ট টেস্টের (Impact Test) সাহায্যে প্রধানত কোন যান্ত্রিক ধর্ম পরিমাপ করা হয়?
একটি 4-স্ট্রোক ইঞ্জিনের ক্র্যাঙ্কশ্যাফট 2 বার পূর্ণ আবর্তন (720°) সম্পন্ন করলে পাওয়ার স্ট্রোক কয়টি সংঘটিত হয়?
ইঞ্জিনের ব্রেক পাওয়ার (Brake Power) এবং ইনডিকেটেড পাওয়ারের (Indicated Power) অনুপাতকে কী দক্ষতা বলা হয়?
স্পার্ক ইগনিশন (SI) ইঞ্জিনের পেট্রোলের অ্যান্টি-নক বৈশিষ্ট্য প্রকাশের জন্য কোন স্কেল ব্যবহৃত হয়?
কোনো মুক্ত স্প্রিং-ভর সিস্টেমের প্রাকৃতিক কম্পাঙ্ক (Natural Frequency, ω_n) এর সূত্র কোনটি?
ফ্লাইহুইলের (Flywheel) প্রাথমিক কাজ কী?
বেনভেঞ্চুরার (Venturimeter) মাধ্যমে পাইপের প্রবাহ পরিমাপে ডিসচার্জ সহগের (Coefficient of Discharge, C_d) সাধারণ মান কত?
রেফ্রিজারেশন সিস্টেমের কার্যক্ষমতা গুণাঙ্ক (Coefficient of Performance, COP) এর সংজ্ঞা কোনটি?
ইনভোলিউট গিয়ারে গিয়ারের দাঁতের সংযোগরেখা বরাবর ইন্টারফারেন্স (Interference) দূর করার প্রধান উপায় কোনটি?
তাপগতিবিদ্যার প্রথম সূত্র (First Law of Thermodynamics) নিচের কোন মৌলিক প্রাকৃতিক নীতির উপর প্রতিষ্ঠিত?
আইসেনট্রপিক প্রক্রিয়া (Isentropic Process) বলতে নিচের কোনটিকে বোঝায়?
কার্নো ইঞ্জিনের দক্ষতা (Carnot Efficiency, η) শুধুমাত্র কিসের উপর নির্ভর করে?
অটো সাইকেলের (Otto Cycle) তাপ সংযোজন প্রক্রিয়া কোন অবস্থায় সম্পন্ন হয়?
ডিজেল সাইকেলের (Diesel Cycle) তাপ সংযোজন প্রক্রিয়া কোন অবস্থায় ঘটে?
বাষ্পীয় বিদ্যুৎ কেন্দ্রে ব্যবহৃত র্যাঙ্কাইন সাইকেলের (Rankine Cycle) তাপীয় দক্ষতা বৃদ্ধির প্রধান উপায় কোনটি?
গ্যাস টারবাইন বিদ্যুৎ কেন্দ্রে কোন আদর্শ তাপগতিবিদ্যীয় সাইকেল অনুসরণ করা হয়?
ডায়নামিক সান্দ্রতা গুণাঙ্কের (Dynamic Viscosity, μ) আন্তর্জাতিক SI একক কোনটি?
একটি নিখুঁত বা আদর্শ তরলের (Ideal Fluid) প্রধান দুটি বৈশিষ্ট্য কোনটি?
বার্নোলির সমীকরণ (Bernoulli's Equation) নিচের কোনটির সংরক্ষণশীলতার ভিত্তিতে প্রতিষ্ঠিত?
বৃত্তাকার পাইপে তরল প্রবাহের ক্ষেত্রে রেনল্ডস সংখ্যা (Reynolds Number, Re) কত হলে প্রবাহকে ল্যামিনার (Laminar) বলা হয়?
পেলটন হুইল টারবাইন (Pelton Wheel Turbine) কোন ধরণের টারবাইন?
ফ্রান্সিস টারবাইন (Francis Turbine) কোন ধরণের হাইড্রোলিক টারবাইন?
সেন্ট্রিফিউগাল পাম্পে ক্যাভিটেশন (Cavitation) সৃষ্টির মূল কারণ কোনটি?
কঠিন বস্তুর মধ্য দিয়ে পরিবাহন প্রক্রিয়ায় তাপ সঞ্চালনের মূল সমীকরণ কোনটি?
একটি উত্তপ্ত সমতল প্লেটের উপর তরলের পরিচলন (Convection) তাপ স্থানান্তর নির্ণয়ের সঠিক সূত্র কোনটি?
একটি কৃষ্ণবস্তুর (Black Body) প্রতি একক ক্ষেত্রফল হতে নির্গত মোট বিকিরণ ক্ষমতা (Radiation Power) কিসের সমানুপাতিক?
বিভাগ-খ: টেকনিক্যাল লিখিত প্রশ্ন (Technical Written/CQ)
১৮টি প্রশ্ন × ৫ নম্বর = ৯০ নম্বরতাপগতিবিদ্যার ১ম সূত্রটি বিবৃতি ও সমীকরণসহ লেখ (\(dQ = dU + dW\))। একটি বদ্ধ গ্যাসে \(500\,\text{J}\) তাপ প্রয়োগ করার ফলে গ্যাসটি সম্প্রসারিত হয়ে \(200\,\text{J}\) কাজ সম্পাদন করে। গ্যাসটির অভ্যন্তরীণ শক্তির (Internal Energy) পরিবর্তন কত? সমআয়তন (Isochoric) প্রক্রিয়ায় কাজ কত হয়? [মান: ৫]
বিবৃতি: কোনো সিস্টেম দ্বারা গৃহীত তাপশক্তি (\(dQ\)) সিস্টেমের অভ্যন্তরীণ শক্তি বৃদ্ধি (\(dU\)) এবং সিস্টেম কর্তৃক সম্পাদিত বাহ্যিক কাজের (\(dW\)) সমষ্টির সমান।
গণনা:
- \(dQ = +500\,\text{J}\)
- \(dW = +200\,\text{J}\)
\[dU = dQ - dW = 500 - 200 = \mathbf{+300\,\text{J}}\]
অভ্যন্তরীণ শক্তি \(300\,\text{J}\) বৃদ্ধি পায়।
সমআয়তন প্রক্রিয়ায়: আয়তনের কোনো পরিবর্তন হয় না (\(dV = 0\)), ফলে কাজ \[dW = P \cdot dV = \mathbf{0\,\text{J}}\]
আর্দ্র বাষ্পের (Wet Steam) ড্রাইনেস ফ্র্যাকশন (\(x\))-এর সংজ্ঞা দাও। \(10\,\text{bar}\) চাপে স্টিমের সংবেদনশীল তাপ \(h_f = 762.6\,\text{kJ/kg}\) এবং সুপ্ততাপ \(h_{fg} = 2013.6\,\text{kJ/kg}\)। যদি বাষ্পের ড্রাইনেস ফ্র্যাকশন \(x = 0.90\) হয়, তবে \(1\,\text{kg}\) আর্দ্র বাষ্পের মোট এনথালপি (\(h\)) কত? [মান: ৫]
ড্রাইনেস ফ্র্যাকশন (\(x\)): আর্দ্র বাষ্পে বিদ্যমান শুষ্ক বাষ্পের ভর (\(m_s\)) এবং বাষ্প ও পানির মোট ভরের (\(m_s + m_w\)) অনুপাত: \[x = \frac{m_s}{m_s + m_w}\]
এনথালপি গণনা: সূত্র: \[h = h_f + x \cdot h_{fg}\]
\[h = 762.6 + (0.90 \times 2013.6) = 762.6 + 1812.24 = \mathbf{2574.84\,\text{kJ/kg}}\]
অতএব আর্দ্র বাষ্পের এনথালপি \(2574.84\,\text{kJ/kg}\)।
ডিজেল সাইকেলে কাট-অফ রেশিও (Cut-off Ratio, \(r_c\)) বলতে কী বোঝায়? একই কম্প্রেশন রেশিওতে অটো সাইকেল এবং ডিজেল সাইকেলের দক্ষতার তুলনা করো। [মান: ৫]
কাট-অফ রেশিও: ধ্রুব চাপে দহন শেষে সিলিন্ডারের আয়তন (\(V_3\)) এবং দহন শুরুর আয়তনের (\(V_2\)) অনুপাতকে কাট-অফ রেশিও বলে: \[r_c = \frac{V_3}{V_2}\]
দক্ষতার তুলনা:
- একই কম্প্রেশন রেশিওতে: \(\eta_{otto} > \eta_{diesel}\) (অটো সাইকেলে স্থির আয়তনে সম্পূর্ণ তাপ যোগ হওয়ায় কার্যকর তাপীয় চক্র অধিক দক্ষ হয়)।
- তবে বাস্তব ক্ষেত্রে নকশাগত সীমাবদ্ধতায় ডিজেল ইঞ্জিনের কম্প্রেশন রেশিও (\(15-22\)) পেট্রোল ইঞ্জিনের (\(6-10\)) চেয়ে অনেক বেশি রাখা যায়, ফলে বাস্তব ডিজেল ইঞ্জিন অধিক মাইলেজ ও দক্ষতা দেয়।
বাষ্প সংকোচন হিমায়ন পদ্ধতির (VCRS) প্রধান চারটি উপাদান—কম্প্রেসর, কনডেন্সার, এক্সপানশন ভালভ এবং ইভাপোরেটরের কাজ সংক্ষেপে লেখ। হিমায়নে COP (Coefficient of Performance) কীভাবে সংজ্ঞায়িত হয়? [মান: ৫]
চারটি প্রধান উপাদান:
১. Compressor: ইভাপোরেটর থেকে কম চাপ ও তাপমাত্রার বাষ্পীয় রেফ্রিজারেন্ট টেনে নিয়ে সংকুচিত করে উচ্চ চাপ ও তাপমাত্রায় কনডেন্সারে পাঠায়।
২. Condenser: উচ্চ তাপমাত্রার বাষ্প থেকে তাপ পরিবেশে বর্জন করে তরল রেফ্রিজারেন্টে পরিণত করে।
৩. Expansion Valve (Throttle Valve): উচ্চ চাপের তরল রেফ্রিজারেন্টের চাপ ও তাপমাত্রা হঠাৎ কমিয়ে নিয়ন্ত্রণ করে ইভাপোরেটরে প্রবেশ করায়।
৪. Evaporator: শীতলীকরণ স্থান থেকে তাপ শোষণ করে রেফ্রিজারেন্টকে বাষ্পীভূত করে কামরা ঠান্ডা করে।
COP সংজ্ঞা: উৎপাদিত রেফ্রিজারেশন ইফেক্ট (\(Q_e\)) এবং কম্প্রেসরে সরবরাহকৃত কাজের (\(W\)) অনুপাত: \[\mathbf{\text{COP} = \frac{Q_e}{W}}\]
টন হিমায়ন (1 Ton of Refrigeration বা TR) বলতে কী বোঝায়? প্রমাণ করো যে \(1\,\text{TR} = 3.517\,\text{kW}\) (বা \(211\,\text{kJ/min}\))। [মান: ৫]
সংজ্ঞা: \(0^\circ\text{C}\) তাপমাত্রার ১ টন (বা ২০০০ পাউন্ড / ৯০৭.১৮ কেজি) পানিকে ২৪ ঘণ্টায় সমতাপমাত্রার বরফে পরিণত করতে যে হারে তাপ নিষ্কাশন করতে হয় তাকে ১ টন রেফ্রিজারেশন বলে।
হিসাব (SI এককে):
বরফ গলনের সুপ্ততাপ: \(L = 335\,\text{kJ/kg}\)।
১ মেট্রিক টন \(= 1000\,\text{kg}\)।
২৪ ঘণ্টায় অপসারিত তাপ: \(Q = 1000 \times 335 = 335,000\,\text{kJ}\)।
প্রতি মিনিটে তাপ অপসারণ: \[ rac{335,000}{24 \times 60} = \frac{335000}{1440} \approx \mathbf{232.6\,\text{kJ/min}}\]
ইউএস টন (2000 lbs = 907.2 kg) হিসাবে: \[Q = \frac{907.2 \times 335}{24 \times 3600} = \frac{303912}{86400} = \mathbf{3.517\,\text{kJ/s} = 3.517\,\text{kW}}\]
পাম্প এবং টারবাইনে ক্যাভিটেশন (Cavitation) কী? ক্যাভিটেশন সৃষ্টির কারণ এবং এর ক্ষতিকর প্রভাবগুলো লেখ। NPSH কী? [মান: ৫]
ক্যাভিটেশন: তরল প্রবাহে কোনো অঞ্চলের চাপ যদি ঐ তাপমাত্রার বাষ্প চাপের (Vapor pressure) চেয়ে নিচে নেমে যায়, তবে তরল ফুটে বাষ্পের বুদবুদ সৃষ্টি করে। এই বুদবুদ উচ্চচাপ অঞ্চলে গিয়ে হঠাৎ তীব্রভাবে বিস্ফোরিত (Implode) হয়ে ধাতব পৃষ্ঠের উপর মারাত্মক আঘাত হানে, একে ক্যাভিটেশন বলে।
ক্ষতিকর প্রভাব:
১. ইম্পেলার ও ব্লেডের গায়ে গভীর পিটিং ও ক্ষত (Pitting corrosion) সৃষ্টি করে।
২. তীব্র কম্পন ও বিকট শব্দ তৈরি করে।
৩. পাম্প বা টারবাইনের দক্ষতা মারাত্মকভাবে হ্রাস পায়।
NPSH: Net Positive Suction Head—ক্যাভিটেশন রোধে পাম্পের ইনলেটে বাষ্প চাপের চেয়ে যে পরিমাণ অতিরিক্ত প্রেসার হেড থাকা আবশ্যক।
মিলিং মেশিনে আপ-মিলিং (Up-milling / Conventional) এবং ডাউন-মিলিং (Down-milling / Climb)-এর মধ্যে প্রধান পার্থক্য চিত্রসহ আলোচনা করো। কাটিং ফোর্সের দিক ও সারফেস ফিনিশ কেমন হয়? [মান: ৫]
পার্থক্য:
১. গতির দিক: আপ-মিলিংয়ে কাটার ও ওয়ার্কপিসের ফিডের দিক পরস্পর বিপরীত; ডাউন-মিলিংয়ে কাটার ও ফিডের দিক একই।
২. চিপের পুরুত্ব: আপ-মিলিংয়ে চিপের পুরুত্ব শূন্য থেকে শুরু হয়ে সর্বোচ্চ হয়; ডাউন-মিলিংয়ে শুরুতে সর্বোচ্চ চিপ পুরুত্ব নিয়ে কাটা শুরু হয়ে শেষে শূন্য হয়।
৩. কাটিং ফোর্স: আপ-মিলিংয়ে কাটিং ফোর্স ওয়ার্কপিসকে টেবিল থেকে উপরের দিকে তুলে ফেলতে চায়; ডাউন-মিলিংয়ে ওয়ার্কপিসকে টেবিলের দিকে চেপে ধরে।
৪. সারফেস ফিনিশ: ডাউন-মিলিংয়ে অত্যন্ত উন্নতমানের মসৃণ সারফেস ফিনিশ পাওয়া যায়।
একটি সিম্পল গিয়ার ট্রেন এবং একটি কম্পাউন্ড গিয়ার ট্রেনের মধ্যে পার্থক্য কী? একটি কম্পাউন্ড গিয়ার ট্রেনের ১ম গিয়ারের দাঁত সংখ্যা \(20\), ২য় গিয়ারের \(40\), ৩য় গিয়ারের \(15\) এবং ৪র্থ গিয়ারের \(60\) হলে ট্রেনের স্পিড রেশিও নির্ণয় করো। [মান: ৫]
পার্থক্য: সিম্পল গিয়ার ট্রেনে প্রতি শ্যাফটে কেবল ১টি গিয়ার থাকে; কম্পাউন্ড গিয়ার ট্রেনে একই শ্যাফটে একাধিক গিয়ার মাউন্ট করা থাকে।
গণনা:
ধরি গিয়ার ১ ড্রাইভার (\(T_1 = 20\)), গিয়ার ২ ও ৩ একই শ্যাফটে কম্পাউন্ড (\(T_2 = 40, T_3 = 15\)), এবং গিয়ার ৪ ড্রিভেন (\(T_4 = 60\))।
স্পিড রেশিও: \[ rac{N_1}{N_4} = \frac{\text{Product of Teeth of Drivens}}{\text{Product of Teeth of Drivers}} = \frac{T_2 \times T_4}{T_1 \times T_3}\]
\[\frac{N_1}{N_4} = \frac{40 \times 60}{20 \times 15} = \frac{2400}{300} = \mathbf{8}\]
অতএব গিয়ার ট্রেনের স্পিড রেশিও হলো \(8:1\)।
ইনভেন্টরি নিয়ন্ত্রণে ইকোনমিক অর্ডার কোয়ান্টিটি (EOQ) মডেলের উইলসন সূত্র \(EOQ = \sqrt{\frac{2 D S}{H}}\) প্রতিপাদন করো (যেখানে \(D\) বার্ষিক চাহিদা, \(S\) অর্ডারিং কস্ট, \(H\) হোল্ডিং কস্ট)। [মান: ৫]
প্রতিপাদন:
ধরি ব্যাচ সাইজ বা অর্ডার পরিমাণ = \(Q\)।
১. বার্ষিক অর্ডারিং খরচ: \[C_o = \left(\frac{D}{Q}\right) \times S\]
২. বার্ষিক হোল্ডিং বা ক্যারিং খরচ (গড় ইনভেন্টরি \(Q/2\)): \[C_h = \left(\frac{Q}{2}\right) \times H\]
মোট খরচ: \[TC = \frac{D \cdot S}{Q} + \frac{Q \cdot H}{2}\]
মোট খরচ সর্বনিম্ন করার জন্য \(\frac{d(TC)}{dQ} = 0\):
\[-\frac{D \cdot S}{Q^2} + \frac{H}{2} = 0 \implies \frac{H}{2} = \frac{D \cdot S}{Q^2}\]
\[Q^2 = \frac{2 D S}{H} \implies \mathbf{Q_{EOQ} = \sqrt{\frac{2 D S}{H}}}\] (প্রমাণিত)
পরিসংখ্যানিক মান নিয়ন্ত্রণ (SQC)-এ কন্ট্রোল চার্ট ব্যবহারের মূল উদ্দেশ্য কী? \(\bar{X}\) চার্ট এবং \(R\) চার্টের কন্ট্রোল লিমিটের (UCL এবং LCL) সূত্রগুলো লেখ। [মান: ৫]
উদ্দেশ্য: উৎপাদন প্রক্রিয়ায় কোনো বিশেষ ত্রুটি (Assignable cause) তৈরি হয়েছে কি না তা সময়মতো শনাক্ত করে প্রক্রিয়াকে স্ট্যাটিস্টিক্যাল নিয়ন্ত্রণে রাখা।
কন্ট্রোল লিমিট সূত্র:
১. \(\bar{X}\) Chart (গড় মান নিয়ন্ত্রণ):
- \(\text{UCL} = \bar{\bar{X}} + A_2 \bar{R}\)
- \(\text{CL} = \bar{\bar{X}}\)
- \(\text{LCL} = \bar{\bar{X}} - A_2 \bar{R}\)
২. \(R\) Chart (বিস্তার বা ভ্যারিয়েশন নিয়ন্ত্রণ):
- \(\text{UCL} = D_4 \bar{R}\)
- \(\text{CL} = \bar{R}\)
- \(\text{LCL} = D_3 \bar{R}\)
(এখানে \(A_2, D_3, D_4\) হলো স্যাম্পল সাইজের উপর ভিত্তি করে নির্ধারিত স্ট্যান্ডার্ড ফ্যাক্টর)।
একটি কারখানা দুটি পণ্য \(A\) এবং \(B\) উৎপাদন করে। প্রতি ইউনিট \(A\) তৈরিতে লাভ \(40\) টাকা এবং \(B\)-তে লাভ \(30\) টাকা। \(A\)-এর জন্য \(2\) ঘণ্টা কাটিং ও \(1\) ঘণ্টা পলিশিং লাগে; \(B\)-এর জন্য \(1\) ঘণ্টা কাটিং ও \(2\) ঘণ্টা পলিশিং লাগে। কারখানায় দৈনিক সর্বোচ্চ \(100\) ঘণ্টা কাটিং এবং \(80\) ঘণ্টা পলিশিং সময় পাওয়া যায়। মুনাফা সর্বোচ্চকরণের জন্য একটি লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা (LPP) ফরম্যুলেট করো। [মান: ৫]
LPP Formulation:
ধরি, কারখানা দৈনিক \(x_1\) ইউনিট পণ্য \(A\) এবং \(x_2\) ইউনিট পণ্য \(B\) তৈরি করে।
উদ্দেশ্যমূলক ফাংশন (Objective Function):
\[\text{Maximize } Z = 40 x_1 + 30 x_2\]
সীমাবদ্ধতা শর্তাবলী (Constraints):
১. কাটিং সময়ের সীমাবদ্ধতা: \[2 x_1 + x_2 \le 100\]
২. পলিশিং সময়ের সীমাবদ্ধতা: \[x_1 + 2 x_2 \le 80\]
৩. অ-ঋণাত্মক শর্ত (Non-negativity constraint): \[x_1 \ge 0, \quad x_2 \ge 0\]
রেফ্রিজারেশনের টন (Ton of Refrigeration, 1 TR) বলতে কী বোঝায় এবং এর মান \(\text{kW}\)-এ কত? একটি রেফ্রিজারেটর \(2\,\text{kW}\) শক্তি গ্রহণ করে \(7\,\text{kW}\) হারে শীতলীকরণ প্রভাব (Refrigeration Effect) বজায় রাখে। এর কার্যসম্পাদন সহগ (Coefficient of Performance, \(\text{COP}\)) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
1 TR সংজ্ঞা: \(0^\circ\text{C}\) তাপমাত্রার ১ টন (২০০০ পাউন্ড বা ৯০৭.১৮ কেজি) বিশুদ্ধ পানিকে ২৪ ঘণ্টায় সমান হারে \(0^\circ\text{C}\) তাপমাত্রার বরফে পরিণত করতে যে হারে তাপ অপসারণ করতে হয় তাকে ১ টন রেফ্রিজারেশন বলে।
\[1\,\text{TR} = 3.517\,\text{kW} = 210\,\text{kJ/min} = 50\,\text{kcal/min}\]
COP গণনা: সূত্র: \[\text{COP} = \frac{\text{Refrigeration Effect (}Q_{\text{ref}}\text{)}}{\text{Work Input (}W_{\text{in}}\text{)}} = \frac{7\,\text{kW}}{2\,\text{kW}} = \mathbf{3.5}\]
একটি কার্নো ইঞ্জিন 410°C এবং 31°C তাপমাত্রার দুটি তাপাধারের মধ্যে পরিচালিত হয়। ইঞ্জিনটি উৎস থেকে প্রতি চক্রে 520 kJ তাপ গ্রহণ করলে (ক) ইঞ্জিনের তাপীয় দক্ষতা কত? এবং (খ) প্রতি চক্রে কৃতকাজের পরিমাণ ও গ্রাহকে বর্জিত তাপ হিসাব করো। [মান: ৫]
১. পরম তাপমাত্রা ও কর্মদক্ষতা:
\(T_1 = 410 + 273.15 = 683.15\) K, \(T_2 = 31 + 273.15 = 304.15\) K।
\[\eta = 1 - rac{T_2}{T_1} = 1 - rac{304.15}{683.15} = 0.5548 = 55.48\%\longleftarrow\]
২. কৃতকাজ ও বর্জিত তাপ:
\[W = \eta \cdot Q_{in} = 0.5548 imes 520 = 288.5 ext{ kJ}\]
\[Q_{out} = Q_{in} - W = 520 - 288.5 = 231.5 ext{ kJ}\]
কার্নো তাপ ইঞ্জিন চক্র, পরম তাপমাত্রা স্কেল ও তাপগতিবিদ্যার দ্বিতীয় সূত্র।
একটি ফার্নেসের দেয়াল 200 mm পুরু ফায়ারব্রিক (\(k_1 = 0.9 ext{ W/m}\cdot ext{K}\)) এবং 50 mm পুরু ইনসুলেশন স্তর (\(k_2 = 0.05 ext{ W/m}\cdot ext{K}\)) দ্বারা গঠিত। অভ্যন্তরীণ তাপমাত্রা 205°C এবং বাইরের তাপমাত্রা 25°C হলে প্রতি বর্গমিটারে তাপ স্থানান্তরের হার নির্ণয় করো। [মান: ৫]
১. তাপীয় রোধ (Thermal Resistance):
\[R_{th} = rac{L_1}{k_1} + rac{L_2}{k_2} = rac{0.2}{0.9} + rac{0.05}{0.05} = 0.222 + 1.0 = 1.222 ext{ K}\cdot ext{m}^2 ext{/W}\]
২. তাপ স্থানান্তরের হার:
\[q = rac{\Delta T}{R_{th}} = rac{205 - 25}{1.222} = rac{180}{1.222} = 147.3 ext{ W/m}^2\]
যৌগিক দেয়ালে পরিবাহী তাপ স্থানান্তর ও তাপীয় রোধের ধারণা।
একটি পেল্টন হুইল টারবাইন কার্যকর হেড \(H = 210\) m এবং ডিসচার্জ \(Q = 0.55 ext{ m}^3 ext{/s}\) তে চালিত হচ্ছে। সামগ্রিক দক্ষতা \(\eta_o = 86\%\) হলে টারবাইনটির শ্যাফট পাওয়ার (Shaft Power) কিলোওয়াটে নির্ণয় করো। [মান: ৫]
১. পানির ক্ষমতা (Water Power):
\[P_w =
ho g Q H = 9.81 imes 0.55 imes 210 = 1133.06 ext{ kW}\]
২. শ্যাফট পাওয়ার (Shaft Power):
\[P_{shaft} = \eta_o imes P_w = 0.86 imes 1133.06 = 974.43 ext{ kW}\]
ইমপালস টারবাইনের জলবিদ্যুৎ রূপান্তর ও সামগ্রিক দক্ষতা।
একটি সলিড স্টিল শ্যাফট 1500 rpm গতিতে 55 kW ক্ষমতা স্থানান্তর করে। শ্যাফটের উপাদানের সর্বোচ্চ অনুমোদিত শিয়ার স্ট্রেস 45 MPa হলে শ্যাফটের উপযুক্ত ব্যাস (Diameter) নির্ধারণ করো। [মান: ৫]
১. স্থানান্তরিত টর্ক গণনা:
\[T = rac{60 imes P}{2 \pi N} = rac{60 imes 55 imes 10^3}{2 imes \pi imes 1500} = 350.14 ext{ N}\cdot ext{m}\]
২. শ্যাফট ব্যাস:
\[T = rac{\pi}{16} au d^3 \implies d = \left( rac{16 T}{\pi au}
ight)^{1/3} = \left( rac{16 imes 350.14 imes 10^3}{\pi imes 45}
ight)^{1/3} = 34.1 ext{ mm}\]
টর্শন সমীকরণ ও পাওয়ার ট্রান্সমিশন শ্যাফট ডিজাইন।
একটি ঘূর্ণনশীল শ্যাফট একই সাথে \(M = 1.6\) kN·m বেন্ডিং মোমেন্ট এবং \(T = 2.1\) kN·m টর্শনাল মোমেন্ট গ্রহণ করে। গেস্টের তত্ত্ব (সর্বোচ্চ শিয়ার স্ট্রেস তত্ত্ব) অনুসারে সমতুল্য টুইস্টিং মোমেন্ট (\(T_e\)) এবং র্যাংকিনের তত্ত্ব অনুসারে সমতুল্য বেন্ডিং মোমেন্ট (\(M_e\)) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
১. সমতুল্য টুইস্টিং মোমেন্ট (Equivalent Twisting Moment):
\[T_e = \sqrt{M^2 + T^2} = \sqrt{1.6^2 + 2.1^2} = \sqrt{6.97} = 2.64 ext{ kN}\cdot ext{m}\]
২. সমতুল্য বেন্ডিং মোমেন্ট (Equivalent Bending Moment):
\[M_e = rac{1}{2} \left( M + \sqrt{M^2 + T^2}
ight) = rac{1}{2} (1.6 + 2.64) = 2.12 ext{ kN}\cdot ext{m}\]
সম্মিলিত বেন্ডিং ও টর্শনের ক্ষেত্রে শ্যাফট ডিজাইনের ব্যর্থতা তত্ত্ব।
অর্থোগোনাল কাটিং (Orthogonal Cutting) অপারেশনে একটি কাটিং টুলের রেক কোণ \(lpha = 10^\circ\)। না-কাটা চিপের পুরুত্ব \(t_1 = 0.25\) mm এবং কাটার পর চিপের পুরুত্ব \(t_2 = 0.55\) mm। চিপ থিকনেস রেশিও (\(r\)) এবং শিয়ার কোণ (Shear Angle, \(\phi\)) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
১. চিপ থিকনেস রেশিও:
\[r = rac{t_1}{t_2} = rac{0.25}{0.55} = 0.455\]
২. শিয়ার কোণ সমীকরণ:
\[ an\phi = rac{r \coslpha}{1 - r \sinlpha} = rac{0.455 \cos(10^\circ)}{1 - 0.455 \sin(10^\circ)} = rac{0.4481}{0.921} = 0.4865\]
\[\phi = an^{-1}(0.4865) = 25.94^\circ\longleftarrow\]
ধাতু কর্তন বলবিজ্ঞান ও মার্চেন্ট সার্কেল তত্ত্ব।