DUET Admission 2027 Model Exam 056 - মেকানিক্যাল ইঞ্জিনিয়ারিং (ME)
Mechanical Engineering · আসন সংখ্যা: 120
১ম পত্র: নন-টেকনিক্যাল (পদার্থবিজ্ঞান, রসায়ন, গণিত ও ইংরেজি)
পদার্থবিজ্ঞান (৪০) · রসায়ন (৪০) · গণিত (৪০) · ইংরেজি (৩০)বিভাগ-ক: বহু নির্বাচনি প্রশ্ন (MCQ)
৪০টি প্রশ্ন × ১.৫ নম্বর = ৬০ নম্বর (নেগেটিভ মার্ক ০.২৫)Static friction-এর maximum value কী?
Limiting static friction f_max=μ_sN।
Kinetic friction-এর formula কী?
Sliding অবস্থায় kinetic friction f_k=μ_kN।
সাধারণত coefficient of static friction ও kinetic friction-এর relation কী?
Motion শুরু করতে limiting static friction সাধারণত kinetic friction-এর চেয়ে বেশি।
Coefficient of friction-এর dimension কী?
Coefficient=friction/normal force, তাই unit ও dimension দুটোই নেই।
Friction angle φ-এর relation কোনটি?
Angle of friction φ-এর জন্য tanφ=limiting friction/normal reaction=μ।
Angle of repose θ-এর relation কী?
Limiting equilibrium on incline-এ tanθ=μ_s।
Angle of repose কী?
Inclined plane-এর যে critical angle-এ impending sliding শুরু হয়, সেটিই angle of repose।
Angle of repose ও angle of friction-এর relation কী?
দুটিরই tangent coefficient of friction, তাই θ=φ।
Horizontal surface-এ block-এর normal reaction কত?
Vertical equilibrium-এ N=mg।
Horizontal surface-এ maximum static friction কত?
N=mg, তাই f_max=μ_sN=μ_smg।
Na এর পারমাণবিক ব্যাসার্ধ সংশ্লিষ্ট পর্যায়ের অন্যান্য মৌলের তুলনায় কেমন?
একই পর্যায়ে বাম থেকে ডানে কার্যকর নিউক্লীয় চার্জ বাড়ে তাই ব্যাসার্ধ হ্রাস পায়।
K এর প্রথম আয়নীকরণ শক্তির প্রবণতা কোনটি?
K এর কার্যকর আকর্ষণ বল দ্বারা এর আয়নীকরণ বিভব নির্ধারিত হয়।
Mg এর পারমাণবিক ব্যাসার্ধ সংশ্লিষ্ট পর্যায়ের অন্যান্য মৌলের তুলনায় কেমন?
একই পর্যায়ে বাম থেকে ডানে কার্যকর নিউক্লীয় চার্জ বাড়ে তাই ব্যাসার্ধ হ্রাস পায়।
\(\text{PCl₅}\) অণুটি পোলার (Polar) না অপোলার (Non-polar)?
অণুর জ্যামিতিক প্রতিসাম্য ও নিঃসঙ্গ জোড়ের উপস্থিতির কারণে অপোলার (Non-polar) কারণ প্রতিসম গঠন এবং \(\mu = 0\)।
VSEPR তত্ত্বানুসারে \(\text{CO₂}\) অণুর জ্যামিতিক আকৃতি কোনটি?
\(\text{CO₂}\) এ 2টি বন্ধনজোড় ও 0টি মুক্তজোড় ইলেকট্রন থাকায় এর আকৃতি Linear।
\(\text{ClF₃}\) অণুটি পোলার (Polar) না অপোলার (Non-polar)?
অণুর জ্যামিতিক প্রতিসাম্য ও নিঃসঙ্গ জোড়ের উপস্থিতির কারণে পোলার (Polar) কারণ লব্ধি ডাইপোল মোমেন্ট \(\mu \ne 0\)।
I এর অক্সাইডের প্রকৃতি সাধারণত কেমন?
I এর রাসায়নিক প্রকৃতি অনুসারে এর অক্সাইড ক্ষারীয়।
Cu এর অক্সাইডের প্রকৃতি সাধারণত কেমন?
Cu এর রাসায়নিক প্রকৃতি অনুসারে এর অক্সাইড ক্ষারীয়।
\(\text{CuSO₄}\) দ্রবণে 0.5 A তড়িৎ প্রবাহ 15 মিনিট ধরে চালনা করলে ক্যাথোডে কত গ্রাম Cu (তামা) জমা হবে? (M = 63.5 g/mol, F = 96500 C)
\[W = \frac{M \cdot I \cdot t}{n \cdot F} = \frac{63.5 \times 0.5 \times (15 \times 60)}{2 \times 96500} = 0.1481\text{ g}\]
\(\text{AlCl₃}\) দ্রবণে 0.5 A তড়িৎ প্রবাহ 15 মিনিট ধরে চালনা করলে ক্যাথোডে কত গ্রাম Al (অ্যালুমিনিয়াম) জমা হবে? (M = 27.0 g/mol, F = 96500 C)
\[W = \frac{M \cdot I \cdot t}{n \cdot F} = \frac{27.0 \times 0.5 \times (15 \times 60)}{3 \times 96500} = 0.042\text{ g}\]
polar form z = r(cos θ + i sin θ) এ r কী?
r হলো modulus অর্থাৎ |z|, আর θ হলো argument।
-এর cube roots-এর সংখ্যা কত?
z³ = 1 সমীকরণের তিনটি root: 1, ω, ω²। এদের বলা হয় cube roots of unity।
x² + 1 = 0 সমীকরণের solution কোন সংখ্যা-সেটে পাওয়া যায়?
real number-এর square কখনো ঋণাত্মক হয় না, তাই এই সমীকরণের solution কেবল complex number-এর সেট C-তে পাওয়া যায়।
|z| = 5 এবং arg z = 90° হলে z = কত?
z = |z|(cos θ + i sin θ) = 5(cos 90° + i sin 90°) = 5i।
টি ভিন্ন বস্তুর মধ্যে 3টি বস্তুকে order ছাড়া বাছাইতে কত উপায়?
Order ছাড়া নির্বাচন ⇒ 8C3 = 56।
x² - 5x + 2 = 0 এর একটি শূন্য 1 হলে অন্য শূন্য কত?
যোগফল = 5; এক শূন্য 1 হলে অন্য = 5-1 = 4।
lim (x → 0) [(e³ˣ - 1) / sin(2x)] এর মান কত?
ল'হসপিটালের নিয়ম (L'Hopital's Rule) প্রয়োগ করে: লবের অন্তরক 3e³ˣ, হরের অন্তরক 2cos(2x)। x = 0 বসালে (3 × 1) / (2 × 1) = 3/2।
+ 4i এর real part কত?
z = a + bi আকারে লিখলে a হলো real part। এখানে a = 3।
complex number (a, b)-এর multiplicative inverse কোনটি?
(a, b)-এর multiplicative inverse = 1/(a + bi) = (a - bi)/(a² + b²)। তাই মান (a/(a² + b²), -b/(a² + b²))।
|z| = 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?
|z| = 0 মানে √(a² + b²) = 0, অর্থাৎ a = 0 ও b = 0। তাই z = 0।
If I was you, I would help him.
Unreal present condition-এ were ব্যবহৃত হয়।
No sooner had I reached the station ___ the train left.
No sooner...than structure ব্যবহৃত হয়।
Fill in the blank with the appropriate preposition: 'Engineers must strictly adhere ___ standard safety guidelines.'
The verb 'adhere' is followed by the preposition 'to' (meaning to follow or comply with).
Select the most accurate synonym for the word 'CANDID' in context sample #3:
'CANDID'-এর অর্থ 'অকপট ও স্পষ্টবাদী'। এর সবচেয়ে যথার্থ সমার্থক শব্দ হলো 'Frank'。
Select the most accurate synonym for the word 'ERRATIC' in context sample #9:
'ERRATIC'-এর অর্থ 'অনিয়মিত বা খামখেয়ালী'। এর সবচেয়ে যথার্থ সমার্থক শব্দ হলো 'Inconsistent'。
Select the most accurate synonym for the word 'PRODIGAL' in context sample #17:
'PRODIGAL'-এর অর্থ 'অপব্যয়ী বা অমিতব্যয়ী'। এর সবচেয়ে যথার্থ সমার্থক শব্দ হলো 'Wasteful'。
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The alloy is composed ___ copper, zinc, and a trace amount of nickel.'
'composed' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'of' বসে (অর্থ: গঠিত)।
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The concrete mixture was found to be deficient ___ Portland cement ratio.'
'deficient' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'in' বসে (অর্থ: ঘাটতি থাকা)।
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'One should never feel envious ___ a colleague's well-deserved scholarly accolades.'
'envious' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'of' বসে (অর্থ: ঈর্ষান্বিত)।
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'Mechanical vibration is an inherent characteristic ___ unbalanced rotating shafts.'
'inherent' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'in' বসে (অর্থ: সহজাত বা অন্তর্নিহিত)।
বিভাগ-খ: সংক্ষিপ্ত ও বর্ণনামূলক লিখিত প্রশ্ন (Written/CQ)
১৮টি প্রশ্ন × ৫ নম্বর = ৯০ নম্বরদুটি ভেক্টর \(\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}\) এবং \(\vec{B} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}\)।
(ক) ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণন (\(\vec{A} \cdot \vec{B}\)) এবং মধ্যবর্তী কোণ (\(\theta\)) নির্ণয় করো।
(খ) ভেক্টরদ্বয়ের ক্রস গুণন (\(\vec{A} \times \vec{B}\)) দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত? [মান: ৫]
গণনা:
(ক) ডট গুণন: \[ ec{A} \cdot \vec{B} = (2)(1) + (3)(-2) + (-1)(2) = 2 - 6 - 2 = \mathbf{-6}\]
মানসমূহ: \(|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{14} \approx 3.742\)
\(|\vec{B}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\)
কোণ: \[\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|} = \frac{-6}{3 \times \sqrt{14}} = \frac{-2}{\sqrt{14}} \approx -0.5345 \implies \mathbf{\theta \approx 122.31^\circ}\]
(খ) ক্রস গুণন: \[ ec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 2) - \hat{j}(4 + 1) + \hat{k}(-4 - 3) = 4\hat{i} - 5\hat{j} - 7\hat{k}\]
ক্ষেত্রফল = \(|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 25 + 49} = \sqrt{90} = \mathbf{9.487\text{ বর্গ একক}}\)।
হুকের সূত্রটি লেখ। একটি \(2\,\text{m}\) দীর্ঘ ও \(1\,\text{mm}^2\) প্রস্থচ্ছেদের তারে \(100\,\text{N}\) ভার চাপালে এর দৈর্ঘ্য \(1\,\text{mm}\) বৃদ্ধি পায়।
(ক) তারের উপাদানের ইয়ং-এর গুণাঙ্ক (\(Y\)) কত?
(খ) প্রসারিত তারে সঞ্চিত স্থিতিশক্তি (Elastic Potential Energy) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
হুকের সূত্র: স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে বস্তুর পীড়ন তার বিকৃতির সমানুপাতিক (\(\text{পীড়ন} \propto \text{বিকৃতি}\))।
গণনা:
- \(L = 2\,\text{m}, A = 1\,\text{mm}^2 = 10^{-6}\,\text{m}^2, F = 100\,\text{N}, \Delta L = 1\,\text{mm} = 10^{-3}\,\text{m}\)
(ক) ইয়ং-এর গুণাঙ্ক: \[Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L} = \frac{100 \times 2}{10^{-6} \times 10^{-3}} = \frac{200}{10^{-9}} = \mathbf{2 \times 10^{11}\,\text{N/m}^2\text{ (200 GPa)}}\]
(খ) সঞ্চিত স্থিতিশক্তি: \[U = \frac{1}{2} F \cdot \Delta L = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-3} = \mathbf{0.05\,\text{J}}\]
ডপলার প্রভাব (Doppler Effect) বিবৃত করো। একটি ট্রেনের বাঁশির প্রকৃত কম্পাঙ্ক \(400\,\text{Hz}\)। ট্রেনটি \(20\,\text{m/s}\) বেগে একজন স্থির পর্যবেক্ষকের দিকে এগিয়ে আসলে পর্যবেক্ষক কর্তৃক অনুভূত আপাত কম্পাঙ্ক কত হবে? (বাতাসে শব্দের বেগ \(v = 340\,\text{m/s}\)) [মান: ৫]
ডপলার প্রভাব: উৎস ও পর্যবেক্ষকের আপেক্ষিক গতির কারণে তরঙ্গের আপাত কম্পাঙ্কের পরিবর্তনকে ডপলার প্রভাব বলে।
গণনা: উৎস পর্যবেক্ষকের দিকে গতিশীল (\(v_s = 20\,\text{m/s}, v_o = 0\)):
\[f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 400 \left( \frac{340}{340 - 20} \right) = 400 \left( \frac{340}{320} \right) = 400 \times 1.0625 = \mathbf{425\,\text{Hz}}\]
একটি ডিফ্র্যাকশন গ্রেটিংয়ে প্রতি সেন্টিমিটারে 5000 টি দাগ কাটা আছে। \(600\,\text{nm}\) তরঙ্গদৈর্ঘ্যের আলোর জন্য প্রথম ক্রমের (First order) অপবর্তন কোণ (\(\theta\)) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
গ্রেটিং সমীকরণ (\(d \sin\theta = n \lambda\)):
গ্রেটিং ধ্রুবক: \[d = \frac{1}{N} = \frac{1\,\text{cm}}{5000} = \frac{10^{-2}\,\text{m}}{5000} = 2 \times 10^{-6}\,\text{m}\]
১ম ক্রম (\(n = 1\)), \(\lambda = 600 \times 10^{-9}\,\text{m}\):
\[\sin\theta = \frac{n \lambda}{d} = \frac{1 \times 600 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-6}} = 0.30\]
\[\mathbf{\theta = \sin^{-1}(0.30) \approx 17.46^\circ}\]
একটি সরল দোলকের ববের ভর 150 g এবং কার্যকরী দৈর্ঘ্য 1 m। ববটিকে সাম্যাবস্থান হতে 60° কোণে টেনে ছেড়ে দেওয়া হলো। সাম্যাবস্থান অতিক্রমকালে ববের বেগ এবং সুতার টান নির্ণয় করো। (g = 9.8 m/s²)
প্রদত্ত: দৈর্ঘ্য \(L = 1 ext{ m}\), কোণ \( heta = 60^\circ\), ভর \(m = 0.15 ext{ kg}\)।
সাম্যাবস্থান হতে উলম্ব উচ্চতা: \[h = L(1 - \cos 60^\circ) = 1(1 - 0.5) = 0.5 ext{ m}\]
শক্তির নিত্যতা নীতি অনুযায়ী: \[ rac{1}{2}mv^2 = mgh \implies v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 imes 9.8 imes 0.5} = \sqrt{9.8} pprox 3.13 ext{ m/s}\]
সাম্যাবস্থানে সুতার টান: \[T = mg + rac{mv^2}{L} = m\left(g + rac{v^2}{L}
ight) = 0.15\left(9.8 + rac{9.8}{1}
ight) = 0.15 imes 19.6 = 2.94 ext{ N}\]
সরল দোলকের যান্ত্রিক শক্তির রূপান্তর ও বৃত্তাকার গতির কেন্দ্রমুখী বল সমন্বয়।
ফ্যারাডের তড়িৎ বিশ্লেষণের ১ম সূত্রটি বিবৃত ও প্রতিপাদন করো (\(W = Z I t\))। কপার সালফেট দ্রবণে \(5\,\text{A}\) কারেন্ট \(30\,\text{minutes}\) চালনা করলে ক্যাথোডে কত গ্রাম তামা জমা হবে? (\(\text{Cu} = 63.5, 1\,\text{F} = 96500\,\text{C}\)) [মান: ৫]
১ম সূত্র: তড়িৎ বিশ্লেষণের সময় কোনো তড়িৎদ্বারে সঞ্চিত বা দ্রবীভূত পদার্থের ভর (\(W\)) প্রবাহিত মোট তড়িৎ আধানের (\(Q\)) সমানুপাতিক: \[W \propto Q \implies W = Z \cdot Q = \mathbf{Z I t}\]
(এখানে \(Z = \frac{\text{Molar mass}}{n \cdot F}\) হলো তড়িৎ-রাসায়নিক তুল্যাঙ্ক)।
গণনা (\(\text{Cu}^{2+} + 2e^- \rightarrow \text{Cu}\), ফলে \(n = 2\)):
- \(I = 5\,\text{A}\)
- \(t = 30 \times 60 = 1800\,\text{s}\)
- \(Q = I \cdot t = 5 \times 1800 = 9000\,\text{C}\)
\[Z = \frac{63.5}{2 \times 96500} = \frac{63.5}{193000} \approx 3.29 \times 10^{-4}\,\text{g/C}\]
সঞ্চিত তামার ভর: \[W = Z \cdot Q = (3.29 \times 10^{-4}) \times 9000 = \mathbf{2.961\,\text{g}}\]
মোলারিটি (Molarity) বলতে কী বোঝায়? \(250\,\text{mL}\) দ্রবণে \(10.6\,\text{g}\) সোডিয়াম কার্বনেট (\(\text{Na}_2\text{CO}_3\)) দ্রবীভূত থাকলে দ্রবণের মোলারিটি কত হবে? (\(\text{Na} = 23, \text{C} = 12, \text{O} = 16\)) [মান: ৫]
সংজ্ঞা: নির্দিষ্ট তাপমাত্রায় প্রতি লিটার (১০০০ মিলি) দ্রবণে দ্রবীভূত দ্রবের মোল সংখ্যাকে ঐ দ্রবণের মোলারিটি বলে (একক: \(\text{mol/L}\) বা M)।
গণনা:
\(\text{Na}_2\text{CO}_3\)-এর মোলার ভর: \[M_w = (23 \times 2) + 12 + (16 \times 3) = 46 + 12 + 48 = 106\,\text{g/mol}\]
মোলারিটির সূত্র: \[M = \frac{1000 \times w}{M_w \times V\,(\text{mL})}\]
- \(w = 10.6\,\text{g}, V = 250\,\text{mL}, M_w = 106\,\text{g/mol}\)
\[M = \frac{1000 \times 10.6}{106 \times 250} = \frac{10600}{26500} = \mathbf{0.40\,\text{M}}\]
অতএব দ্রবণের মোলার ঘনমাত্রা \(0.40\,\text{M}\)।
বাফার দ্রবণ কী? হেন্ডারসন-হ্যাসেলবালখ সমীকরণটি লেখ। \(0.1\,\text{M}\) অ্যাসিটিক অ্যাসিড এবং \(0.1\,\text{M}\) সোডিয়াম অ্যাসিটেট দ্রবণের মিশ্রণে গঠিত বাফার দ্রবণের pH কত? (\(K_a = 1.8 \times 10^{-5}\)) [মান: ৫]
বাফার দ্রবণ: যে দ্রবণে সামান্য এসিড বা ক্ষার যোগ করলেও দ্রবণের pH মান প্রায় অপরিবর্তিত থাকে।
হেন্ডারসন সমীকরণ: \[\text{pH} = \text{p}K_a + \log\frac{[\text{Salt}]}{[\text{Acid}]}\]
গণনা:
\(\text{p}K_a = -\log(1.8 \times 10^{-5}) = 4.745\)
\[\text{pH} = 4.745 + \log\frac{0.1}{0.1} = 4.745 + \log(1) = 4.745 + 0 = \mathbf{4.745}\]
\(25\,\text{mL}\) অজানা ঘনমাত্রার হাইড্রোক্লোরিক অ্যাসিড (\(\text{HCl}\)) দ্রবণকে প্রশমিত করতে \(0.15\,\text{M}\) সোডিয়াম কার্বনেট (\(\text{Na}_2\text{CO}_3\)) দ্রবণের \(20\,\text{mL}\) প্রয়োজন হলো। \(\text{HCl}\) দ্রবণের মোলারিটি এবং প্রতি লিটারে গ্রাম এককে ঘনমাত্রা নির্ণয় করো। [মান: ৫]
বিক্রিয়া সমীকরণ:
\[\text{Na}_2\text{CO}_3 + 2\text{HCl} \longrightarrow 2\text{NaCl} + \text{H}_2\text{O} + \text{CO}_2\]
এখানে, এসিডের মোল সংখ্যা \(n_A = 2\) এবং ক্ষারের মোল সংখ্যা \(n_B = 1\)।
টাইট্রেশন সূত্র:
\[\frac{V_A M_A}{n_A} = \frac{V_B M_B}{n_B} \implies \frac{25 \times M_A}{2} = \frac{20 \times 0.15}{1}\]
\[25 \times M_A = 2 \times 3.0 = 6.0 \implies M_A = \frac{6.0}{25} = \mathbf{0.24\,\text{M}}\]
গ্রাম/লিটার ঘনমাত্রা (\(S = M \times M_w\)):
\(\text{HCl}\)-এর আণবিক ভর = \(1 + 35.5 = 36.5\,\text{g/mol}\)।
\[S = 0.24 \times 36.5 = \mathbf{8.76\,\text{g/L}}\]
\(\text{SF}_6\) এবং \(\text{PCl}_5\) অণুদ্বয়ের সংকরায়ন (Hybridization), মুক্তজোড় ইলেকট্রন সংখ্যা এবং জ্যামিতিক আকৃতি বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করো।
১. \(\text{SF}_6\) অণু:
সালফারের যোজনী স্তরে ৬টি ইলেকট্রন এবং ৬টি ফ্লোরিন পরমাণুর সাথে ৬টি বন্ধন গঠন করে।
স্টেরিক সংখ্যা \(SN = 6 + 0 = 6\)। সংকরায়ন: \(sp^3d^2\)।
মুক্তজোড় ইলেকট্রন: 0টি। বন্ধন কোণ: 90°।
জ্যামিতিক আকৃতি: অষ্টতলকীয় (Octahedral)।
২. \(\text{PCl}_5\) অণু:
ফসফরাসের যোজনী স্তরে ৫টি ইলেকট্রন এবং ৫টি ক্লোরিনের সাথে ৫টি বন্ধন গঠন করে।
স্টেরিক সংখ্যা \(SN = 5 + 0 = 5\)। সংকরায়ন: \(sp^3d\)।
মুক্তজোড় ইলেকট্রন: 0টি। বন্ধন কোণ: 120° (নিরক্ষীয়) ও 90° (অক্ষীয়)।
জ্যামিতিক আকৃতি: ত্রিকোণাকার দ্বিপিরামিডীয় (Trigonal Bipyramidal)।
VSEPR তত্ত্ব ও সংকরায়ন কাঠামোর পূর্ণাঙ্গ বিশ্লেষণ।
ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে সমাধান করো (Cramer's Rule অথবা ইনভার্স পদ্ধতি):
\[2x + y = 7\]
\[3x - 2y = 7\]
ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়কের মান কত? [মান: ৫]
ম্যাট্রিক্স সমীকরণ: \[A X = B \implies \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 7 \end{bmatrix}\]
নির্ণায়কের মান: \[D = |A| = (2)(-2) - (1)(3) = -4 - 3 = -7 \neq 0\]
Cramer's Rule:
\[D_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 7 & -2 \end{vmatrix} = (7)(-2) - (1)(7) = -14 - 7 = -21\]
\[D_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} = (2)(7) - (7)(3) = 14 - 21 = -7\]
সমাধান: \[x = \frac{D_x}{D} = \frac{-21}{-7} = \mathbf{3}\]
\[y = \frac{D_y}{D} = \frac{-7}{-7} = \mathbf{1}\]
ক্র্যামারের নিয়ম (Cramer's Rule) ব্যবহার করে নিচের সমীকরণ জোট সমাধান করো:
\[x + y + z = 6\]
\[2x - y + z = 3\]
\[x + 2y - z = 2\] [মান: ৫]
নির্ণায়ক গঠন ও গণনা:
\[D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(1 - 2) - 1(-2 - 1) + 1(4 - (-1)) = -1 + 3 + 5 = 7\]
\[D_x = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 6(1 - 2) - 1(-3 - 2) + 1(6 - (-2)) = -6 + 5 + 8 = 7 \implies x = \frac{D_x}{D} = \frac{7}{7} = \mathbf{1}\]
\[D_y = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(-3 - 2) - 6(-2 - 1) + 1(4 - 3) = -5 + 18 + 1 = 14 \implies y = \frac{D_y}{D} = \frac{14}{7} = \mathbf{2}\]
\[D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 1(-2 - 6) - 1(4 - 3) + 6(4 - (-1)) = -8 - 1 + 30 = 21 \implies z = \frac{D_z}{D} = \frac{21}{7} = \mathbf{3}\]
নির্ণেয় সমাধান: \(\mathbf{(x, y, z) = (1, 2, 3)}\)।
\(y^2 = 8x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু (Vertex), উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (Focus), উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য (Latus Rectum) এবং নিয়ামক রেখার (Directrix) সমীকরণ নির্ণয় করো। [মান: ৫]
আদর্শ সমীকরণের সাথে তুলনা:
\(y^2 = 4ax\) এর সাথে তুলনা করে পাই: \(4a = 8 \implies a = 2\)।
১. শীর্ষবিন্দু: \((0, 0)\)
২. উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক: \((a, 0) = \mathbf{(2, 0)}\)
৩. উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: \(|4a| = |8| = \mathbf{8\text{ একক}}\)
৪. নিয়ামক রেখার সমীকরণ: \(x = -a \implies x = -2 \implies \mathbf{x + 2 = 0}\)।
L'Hôpital's Rule প্রয়োগ করে মান নির্ণয় করো: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}\]
প্রদত্ত সীমাস্থ মান \(x = 0\) বসিয়ে পাই: \[\frac{e^0 - e^0 - 0}{0 - \sin 0} = \frac{0}{0} \quad \text{(অসংজ্ঞায়িত রূপ)}\]
লব ও হরকে পৃথকভাবে \(x\) এর সাপেক্ষে পর পর ব্যবকলন (L'Hôpital's Rule) করে পাই:
১ম অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x} = \frac{1 + 1 - 2}{1 - 1} = \frac{0}{0}\]
২য় অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}\]
৩য় অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{e^0 + e^0}{\cos 0} = \frac{1 + 1}{1} = 2\]
সুতরাং নির্ণেয় মান: 2।
অনির্ণেয় আকার ও লাপ্লাস/লা-হস্পিটাল নিয়মের ধারাবাহিক ব্যবকলন প্রয়োগ।
উপবৃত্ত \(9x^2 + 16y^2 = 144\) এর (ক) উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity), (খ) উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক (Foci), এবং (গ) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণকে আদর্শ রূপ \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) এ প্রকাশ করে পাই:
\[\frac{9x^2}{144} + \frac{16y^2}{144} = 1 \implies \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\]
এখানে \(a^2 = 16 \implies a = 4\) এবং \(b^2 = 9 \implies b = 3\)। যেহেতু \(a > b\):
(ক) উৎকেন্দ্রিকতা (e): \[e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}\]
(খ) উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক: \[(\pm ae, 0) = \left(\pm 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}, 0\right) = (\pm \sqrt{7}, 0)\]
(গ) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: \[\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{4} = \frac{18}{4} = 4.5\text{ একক}\]
কণিক অধ্যায়ে উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ হতে বৈশিষ্ট্যাবলী বিশ্লেষণ।
নিচের বাক্যগুলোর ব্যাকরণগত ভুল সংশোধন করে সঠিক বাক্য লেখ:
(i) He gave me many advices.
(ii) The sceneries of Cox's Bazar are very charming.
(iii) He is senior than me in service.
(iv) The patient had died before the doctor came.
(v) Either of the two pens are good. [মান: ৫]
সংশোধিত বাক্যসমূহ:
(i) Correct: He gave me much advice. (বা He gave me many pieces of advice. 'Advice' হলো আনকাউন্টেবল নাউন)।
(ii) Correct: The scenery of Cox's Bazar is very charming. ('Scenery' সর্বদা সিঙ্গুলার)।
(iii) Correct: He is senior to me in service. (Senior, junior, superior, inferior এর পর 'to' বসে, 'than' নয়)।
(iv) Correct: The patient had died before the doctor came. (সঠিক বাক্য, অথবা The doctor came after the patient had died)।
(v) Correct: Either of the two pens is good. ('Either of' এর পর সিঙ্গুলার ভার্ব বসে)।
ব্র্যাকেটের ভার্বগুলোর সঠিক রূপ ব্যবহার করে বাক্যগুলো সম্পূর্ণ করো:
(i) If he (study) regularly, he would pass the DUET admission test.
(ii) It is high time we (start) the project.
(iii) The teacher entered the room while the students (make) a noise.
(iv) I look forward to (hear) from you soon.
(v) Had I possessed enough funds, I (establish) a software firm. [মান: ৫]
উত্তরসমূহ:
(i) studied (Second Conditional: If + Past Indefinite, would + base verb).
(ii) started ('It is high time' এর পর Past Indefinite tense হয়)।
(iii) were making ('While' এর পর Past Continuous tense হয়)।
(iv) hearing ('Look forward to' এর পর verb+ing বসে)।
(v) would have established (Third Conditional: Had + Subject + V3, Subject + would have + V3)।
Fill in the blanks with appropriate prepositions:
(i) The performance of an alternator depends ______ its excitation system.
(ii) Diploma engineers should adhere ______ safety regulations in the substation.
(iii) He is very proficient ______ Python programming.
(iv) The supervisor inquired ______ the cause of the boiler failure.
(v) This material is superior ______ conventional steel in corrosion resistance. [মান: ৫]
Answers:
(i) on / upon (depends on).
(ii) to (adhere to).
(iii) in / at (proficient in/at).
(iv) into / about (inquired into/about).
(v) to (superior to).
২য় পত্র: টেকনিক্যাল (বিভাগীয় বিষয়)
মেকানিক্যাল ইঞ্জিনিয়ারিং (স্পেশালাইজড ইঞ্জিনিয়ারিং)বিভাগ-ক: বহু নির্বাচনি প্রশ্ন (Technical MCQ)
৪০টি প্রশ্ন × ১.৫ নম্বর = ৬০ নম্বর (নেগেটিভ মার্ক ০.২৫)একটি উত্তপ্ত সমতল প্লেটের উপর তরলের পরিচলন (Convection) তাপ স্থানান্তর নির্ণয়ের সঠিক সূত্র কোনটি?
Newton's Law of Cooling: পরিচলন তাপ স্থানান্তর তাপ স্থানান্তর সহগ (h), পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল এবং তাপমাত্রার পার্থক্যের গুণফলের সমান।
একটি কৃষ্ণবস্তুর (Black Body) প্রতি একক ক্ষেত্রফল হতে নির্গত মোট বিকিরণ ক্ষমতা (Radiation Power) কিসের সমানুপাতিক?
Stefan-Boltzmann Law: \[E_b = \sigma T^4\], যেখানে \[\sigma = 5.67 imes 10^{-8} ext{ W/m}^2\cdot ext{K}^4\] হলো স্টিফান-বোল্টজম্যান ধ্রুবক।
সিলিন্ড্রিক্যাল পাইপের জন্য তাপ নিরোধকের ক্রিটিক্যাল ব্যাসার্ধ (Critical Radius of Insulation, r_c) কোনটি?
সিলিন্ডারের ক্ষেত্রে নিরোধক বৃদ্ধি করলে কন্ডাকশন রোধ বাড়ে কিন্তু কনভেকশন রোধ কমে, ফলে \[r_c = k/h\] ব্যাসার্ধে তাপ নির্গমন সর্বোচ্চ হয়। গোলকের জন্য \[r_c = 2k/h\]।
হিট এক্সচেঞ্জারে সমপ্রবাহ (Parallel Flow) অপেক্ষা বিপরীত প্রবাহের (Counter Flow) প্রধান সুবিধা কোনটি?
কাউন্টার-ফ্লো হিট এক্সচেঞ্জারে ঠান্ডা তরলকে গরম তরলের বহির্গমন তাপমাত্রার চেয়েও বেশি উত্তপ্ত করা যায় এবং LMTD সর্বোচ্চ হওয়ায় প্রয়োজনীয় আয়তন কম লাগে।
পাতলা দেয়ালযুক্ত সিলিন্ডারে (Thin Cylinder) অভ্যন্তরীণ তরল চাপের কারণে সৃষ্ট হুপ স্ট্রেস (Hoop/Circumferential Stress, σ_h) কত?
হুপ বা স্পর্শীয় পীড়ন: \[\sigma_h = rac{P d}{2t}\]। অনুদৈর্ঘ্য পীড়ন (Longitudinal stress) এর অর্ধেক: \[\sigma_l = rac{P d}{4t}\]।
একটি বৃত্তাকার সলিড শ্যাফটের টরশন প্রতিরোধ ক্ষমতা (Torsional Strength) শ্যাফটের ব্যাসের (d) কোন ঘাতের সমানুপাতিক?
টর্ক বহন ক্ষমতা: \[T = au imes Z_p = au imes rac{\pi d^3}{16} \implies T \propto d^3\]। স্টিফনেস বা পোলার মোমেন্ট d⁴ এর সমানুপাতিক।
ডাকটাইল উপাদানের ফাটল ও ব্যর্থতার জন্য সর্বাধিক প্রচলিত এবং নির্ভুল তত্ত্ব কোনটি?
নমনীয় ধাতুর ফলন বা ইল্ডিং পূর্বাভাসের জন্য ভন মাইসেস বিকৃতি শক্তি তত্ত্ব পরীক্ষামূলক ফলাফলের সবচেয়ে কাছাকাছি মান প্রদান করে।
প্ল্যানার মেকানিজমের ডিগ্রিজ অব ফ্রিডম (DOF) নির্ণয়ে গ্রুবলার-কুতজবাখ সূত্র কোনটি?
Grubler-Kutzbach criterion: F = 3(n - 1) - 2j - h, যেখানে n লিংক সংখ্যা, j সিঙ্গেল DOF লোয়ার পেয়ার এবং h টু-DOF হায়ার পেয়ার।
গিয়ার ডিজাইনে মডিউল (Module, m) এর সঠিক সংজ্ঞা কোনটি?
মডিউল হলো মিলিমিটার এককে পিচ বৃত্ত ব্যাস এবং গিয়ারের মোট দাঁতের সংখ্যার অনুপাত: \[m = rac{d}{Z}\]।
টেইলরের টুল লাইফ সমীকরণ (Taylor's Tool Life Equation) কোনটি?
টুল লাইফ সমীকরণ: \[V T^n = C\], যেখানে V কাটিং স্পিড (m/min), T টুল লাইফ (মিনিট), n টুল উপাদানের সূচক এবং C ধ্রুবক।
একটি 1 টন রেফ্রিজারেশন (1 TR) সমতুল্য তাপ অপসারণের আন্তর্জাতিক হার কত?
1 টন (2000 lb) বরফ 0°C তাপমাত্রায় 24 ঘণ্টায় গলে পানিতে রূপান্তরিত হতে যে পরিমাণ তাপ শোষণ করে তাকে 1 TR বলে, যার মান 3.517 kW বা 211 kJ/min।
বাষ্প কম্প্রেশন রেফ্রিজারেশন সাইকেলে (VCRS) সম্প্রসারণ ভালভে (Expansion Valve) থ্রটলিং প্রক্রিয়াটি কেমন হয়?
ক্যাপিলারি টিউব বা এক্সপ্যানশন ভালভে কোনো কাজ সম্পন্ন হয় না এবং তাপ আদান-প্রদান নগণ্য হওয়ায় প্রক্রিয়াটি আইসেনথালপিক হয়।
সাইক্রোমেট্রিক চার্টে ড্রাই বাল্ব তাপমাত্রা (DBT) স্থির রেখে জলীয় বাষ্প সংযোজন প্রক্রিয়াকে কী বলা হয়?
তাপমাত্রা স্থির রেখে বাতাসের আর্দ্রতা অনুপাত বৃদ্ধিকে বিশুদ্ধ আর্দ্রকরণ বা হিউমিডিফিকেশন বলা হয়।
লেদ মেশিনে ড্রিলিং অপারেশন করার সময় ড্রিল বিটটি প্রধানত কোথায় আটকানো হয়?
লেদ মেশিনে সেন্টারিং ও ড্রিলিংয়ের জন্য ড্রিল বিট টেলস্টকের স্পিন্ডলে মাউন্ট করা হয় এবং ওয়ার্কপিস হেডস্টকের চাকে ঘোরে।
কাস্টিং বা ঢালাই প্রক্রিয়ায় তরল ধাতুর সংকোচনজনিত শূন্যতা পূরণের জন্য অতিরিক্ত গলিত ধাতু সংরক্ষক অংশকে কী বলে?
রাইজার অতিরিক্ত গলিত ধাতু ধারণ করে এবং ঠান্ডা হওয়ার সময় সংকুচিত ক্যাভিটিতে তরল ধাতু সরবরাহ করে শ্রিনকেজ ক্যাভিটি প্রতিরোধ করে।
ওয়েল্ডিংয়ে শীল্ডেড মেটাল আর্ক ওয়েল্ডিংয়ে (SMAW) ইলেকট্রোডের গায়ে ফ্লাক্স কোটিং (Flux Coating) ব্যবহারের উদ্দেশ্য কী?
ফ্লাক্স গলে গ্যাসীয় আবরণ তৈরি করে ওয়েল্ড পুলকে বায়ুমণ্ডলের গ্যাস দ্বারা দূষিত হতে বাঁচায় এবং উপরিভাগে স্ল্যাগ হিসেবে জমা হয়ে ধীরে শীতল হতে সাহায্য করে।
ইঞ্জিনিয়ারিং উপাদানের ইমপ্যাক্ট টেস্টের (Impact Test) সাহায্যে প্রধানত কোন যান্ত্রিক ধর্ম পরিমাপ করা হয়?
Charpy বা Izod ইমপ্যাক্ট টেস্টে হঠাৎ প্রযুক্ত ঘাত লোডে উপাদান কী পরিমাণ শক্তি শোষণ করতে পারে (Joule এককে) তা পরিমাপ করে ভঙ্গুরতা যাচাই করা হয়।
একটি 4-স্ট্রোক ইঞ্জিনের ক্র্যাঙ্কশ্যাফট 2 বার পূর্ণ আবর্তন (720°) সম্পন্ন করলে পাওয়ার স্ট্রোক কয়টি সংঘটিত হয়?
ফোর-স্ট্রোক ইঞ্জিনে সাকশন, কম্প্রেশন, পাওয়ার এবং এক্সহস্ট—প্রতিটি ক্র্যাঙ্কের ১৮০° ঘূর্ননে ঘটে। ফলে ক্র্যাঙ্কশ্যাফটের প্রতি ২ ঘূর্ণনে ১টি পাওয়ার স্ট্রোক পাওয়া যায়।
ইঞ্জিনের ব্রেক পাওয়ার (Brake Power) এবং ইনডিকেটেড পাওয়ারের (Indicated Power) অনুপাতকে কী দক্ষতা বলা হয়?
যান্ত্রিক দক্ষতা: \[\eta_m = rac{BP}{IP} = rac{IP - FP}{IP}\], যেখানে FP হলো অভ্যন্তরীণ ঘর্ষণজনিত পাওয়ার অপচয়।
স্পার্ক ইগনিশন (SI) ইঞ্জিনের পেট্রোলের অ্যান্টি-নক বৈশিষ্ট্য প্রকাশের জন্য কোন স্কেল ব্যবহৃত হয়?
পেট্রোলের প্রাক-দহন ও নকিং রোধের ক্ষমতা অকটেন নাম্বারে মাপা হয় (আইসো-অকটেন 100 ও নরমাল হেপ্টেন 0)। ডিজেলের ক্ষেত্রে সিটেন নাম্বার ব্যবহৃত হয়।
কোনো মুক্ত স্প্রিং-ভর সিস্টেমের প্রাকৃতিক কম্পাঙ্ক (Natural Frequency, ω_n) এর সূত্র কোনটি?
সরল ছন্দিত স্পন্দনে বল ধ্রুবক k এবং ভর m হলে কৌণিক প্রাকৃতিক কম্পাঙ্ক: \[\omega_n = \sqrt{ rac{k}{m}} ext{ rad/s}\] এবং \[f_n = rac{1}{2\pi}\sqrt{ rac{k}{m}} ext{ Hz}\]।
ফ্লাইহুইলের (Flywheel) প্রাথমিক কাজ কী?
ফ্লাইহুইল পাওয়ার স্ট্রোকে অতিরিক্ত গতিশক্তি সঞ্চয় করে এবং বাকি স্ট্রোকগুলোতে তা সরবরাহ করে চক্রের মধ্যে ঘূর্ণন গতির ভারসাম্য রক্ষা করে। গভর্নর সামগ্রিক লোড সামলায়।
বেনভেঞ্চুরার (Venturimeter) মাধ্যমে পাইপের প্রবাহ পরিমাপে ডিসচার্জ সহগের (Coefficient of Discharge, C_d) সাধারণ মান কত?
ভেন্টুরির অপসরণ কোণ মৃদু হওয়ায় প্রবাহ পৃথকীকরণ ও ঘূর্ণি অপচয় কম ঘটে, ফলে এর C_d মান প্রায় 0.98 হয়। ওরিফিস মিটারে C_d প্রায় 0.62।
রেফ্রিজারেশন সিস্টেমের কার্যক্ষমতা গুণাঙ্ক (Coefficient of Performance, COP) এর সংজ্ঞা কোনটি?
COP = Q_in / W_net। যেহেতু শীতলীকরণ প্রভাব সরবরাহকৃত কম্প্রেসর কাজের চেয়ে বেশি হতে পারে, তাই COP এর মান 1.0 এর অধিক হয়।
ইনভোলিউট গিয়ারে গিয়ারের দাঁতের সংযোগরেখা বরাবর ইন্টারফারেন্স (Interference) দূর করার প্রধান উপায় কোনটি?
ইন্টারফারেন্স বা দাঁতের গোড়া কেটে যাওয়া এড়াতে পিনিয়নের দাঁত নির্দিষ্ট ন্যূনতম মানের (২০ ডিগ্রি ফুল ডেপথের জন্য ১৭টি) বেশি হতে হয় অথবা আন্ডারকাট এড়াতে কারেকশন করতে হয়।
তাপগতিবিদ্যার প্রথম সূত্র (First Law of Thermodynamics) নিচের কোন মৌলিক প্রাকৃতিক নীতির উপর প্রতিষ্ঠিত?
তাপগতিবিদ্যার ১ম সূত্র: \[dQ = dU + dW\], যা শক্তির অবিনাশী বা সংরক্ষণশীলতা নীতির গাণিতিক রূপ।
আইসেনট্রপিক প্রক্রিয়া (Isentropic Process) বলতে নিচের কোনটিকে বোঝায়?
dS = dQ/T = 0; তাপ আদান-প্রদানহীন (অ্যাডায়াবেটিক) এবং প্রত্যাবর্তী (রিভার্সিবল) প্রক্রিয়ায় এন্ট্রপি অপরিবর্তিত থাকে, ফলে একে আইসেনট্রপিক প্রক্রিয়া বলে।
কার্নো ইঞ্জিনের দক্ষতা (Carnot Efficiency, η) শুধুমাত্র কিসের উপর নির্ভর করে?
কার্নো দক্ষতা: \[\eta = 1 - rac{T_L}{T_H}\], যা কার্যকরী মাধ্যমের প্রকৃতির ওপর নির্ভর করে না, কেবল তাপমাত্রার ওপর নির্ভর করে।
অটো সাইকেলের (Otto Cycle) তাপ সংযোজন প্রক্রিয়া কোন অবস্থায় সম্পন্ন হয়?
পেট্রোল ইঞ্জিনের আদর্শ রূপ অটো সাইকেলে স্পার্ক ইগনিশনের মাধ্যমে স্থির আয়তনে তাপ সংযোজন ঘটে।
ডিজেল সাইকেলের (Diesel Cycle) তাপ সংযোজন প্রক্রিয়া কোন অবস্থায় ঘটে?
ডিজেল ইঞ্জিনে উচ্চ চাপে বাতাস সংকুচিত করার পর স্থির চাপে ফুয়েল ইনজেকশনের মাধ্যমে তাপ সংযোজন সংঘটিত হয়।
বাষ্পীয় বিদ্যুৎ কেন্দ্রে ব্যবহৃত র্যাঙ্কাইন সাইকেলের (Rankine Cycle) তাপীয় দক্ষতা বৃদ্ধির প্রধান উপায় কোনটি?
র্যাঙ্কাইন সাইকেলের গড় তাপ সংযোজন তাপমাত্রা বৃদ্ধি (সুপারহিটিং) এবং নিম্ন কনডেন্সার চাপ বজায় রাখলে কার্নো দক্ষতার মতো দক্ষতা বৃদ্ধি পায়।
গ্যাস টারবাইন বিদ্যুৎ কেন্দ্রে কোন আদর্শ তাপগতিবিদ্যীয় সাইকেল অনুসরণ করা হয়?
খোলা বা বন্ধ গ্যাস টারবাইন আইসেনট্রপিক সংকোচন, স্থির চাপে দহন এবং আইসেনট্রপিক প্রসারণ বিশিষ্ট ব্রেইটন সাইকেলে পরিচালিত হয়।
ডায়নামিক সান্দ্রতা গুণাঙ্কের (Dynamic Viscosity, μ) আন্তর্জাতিক SI একক কোনটি?
নিউটনীয় তরলের শিয়ার স্ট্রেস সমীকরণ: \[ au = \mu rac{du}{dy}\]। সুতরাং সান্দ্রতার SI একক Pa·s বা N·s/m²। 1 Pa·s = 10 Poise।
একটি নিখুঁত বা আদর্শ তরলের (Ideal Fluid) প্রধান দুটি বৈশিষ্ট্য কোনটি?
আদর্শ তরলে সান্দ্রতা শূন্য (μ = 0) এবং এর ঘনত্ব সর্বদা স্থির থাকে (ρ = const, অসংকোচনীয়)।
বার্নোলির সমীকরণ (Bernoulli's Equation) নিচের কোনটির সংরক্ষণশীলতার ভিত্তিতে প্রতিষ্ঠিত?
ঘর্ষণহীন, অসংকোচনীয় ও স্থির প্রবাহে একটি স্ট্রিমলাইন বরাবর প্রেসার হেড, ভেলোসিটি হেড এবং ডেটাম হেডের সমষ্টি ধ্রুব থাকে: \[ rac{P}{ ho g} + rac{v^2}{2g} + z = ext{const}\]।
বৃত্তাকার পাইপে তরল প্রবাহের ক্ষেত্রে রেনল্ডস সংখ্যা (Reynolds Number, Re) কত হলে প্রবাহকে ল্যামিনার (Laminar) বলা হয়?
পাইপে Re < 2000 হলে মসৃণ স্তরযুক্ত ল্যামিনার প্রবাহ, 2000-4000 রূপান্তর পর্যায় এবং Re > 4000 হলে অশান্ত বা টার্বুলেন্ট প্রবাহ।
পেলটন হুইল টারবাইন (Pelton Wheel Turbine) কোন ধরণের টারবাইন?
পেলটন হুইলে সম্পূর্ণ চাপ শক্তিকে নজলের সাহায্যে গতিশক্তিতে রূপান্তর করে বায়ুমণ্ডলীয় চাপে বাকেটে আঘাত হানানো হয়।
ফ্রান্সিস টারবাইন (Francis Turbine) কোন ধরণের হাইড্রোলিক টারবাইন?
ফ্রান্সিস টারবাইনে পানি ব্যাসার্ধ বরাবর প্রবেশ করে অক্ষীয় দিকে নির্গত হয় এবং চাপ ও গতিশক্তি উভয়ই রানারে কাজ করে।
সেন্ট্রিফিউগাল পাম্পে ক্যাভিটেশন (Cavitation) সৃষ্টির মূল কারণ কোনটি?
যখন ইম্পেলারের আই (Eye) অঞ্চলে চাপ তরলের সম্পৃক্ত বাষ্পচাপ অপেক্ষা কমে যায় তখন বাষ্পের বুদ্বুদ সৃষ্টি হয় এবং উচ্চ চাপ অঞ্চলে পৌঁছে বিস্ফোরিত হয়ে ক্ষয় ঘটায়।
কঠিন বস্তুর মধ্য দিয়ে পরিবাহন প্রক্রিয়ায় তাপ সঞ্চালনের মূল সমীকরণ কোনটি?
Fourier's Law of Heat Conduction: তাপ স্থানান্তরের হার পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল এবং তাপমাত্রার ঋণাত্মক নতিমাত্রার সমানুপাতিক।
বিভাগ-খ: টেকনিক্যাল লিখিত প্রশ্ন (Technical Written/CQ)
১৮টি প্রশ্ন × ৫ নম্বর = ৯০ নম্বরকার্নো ইঞ্জিনের দক্ষতা \(\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}\) সমীকরণটি ব্যাখ্যা করো। একটি আদর্শ হিট ইঞ্জিন \(600\,\text{K}\) তাপমাত্রার উৎস থেকে তাপ গ্রহণ করে এবং \(300\,\text{K}\) তাপমাত্রার গ্রাহকে তাপ বর্জন করে।
(ক) ইঞ্জিনের কার্নো দক্ষতা নির্ণয় করো।
(খ) ইঞ্জিনটি উৎস থেকে \(1000\,\text{J}\) তাপ গ্রহণ করলে সম্পাদিত কাজ এবং বর্জিত তাপ কত? [মান: ৫]
গণনা:
(ক) কার্নো দক্ষতা: \[\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{300}{600} = 1 - 0.5 = 0.5 = \mathbf{50\%}\]
(খ) সম্পাদিত কাজ: \[W = \eta \times Q_1 = 0.5 \times 1000 = \mathbf{500\,\text{J}}\]
গ্রাহকে বর্জিত তাপ: \[Q_2 = Q_1 - W = 1000 - 500 = \mathbf{500\,\text{J}}\]
ফায়ার-টিউব এবং ওয়াটার-টিউব বয়লারের মধ্যে চারটি প্রধান পার্থক্য ছক আকারে দেখাও। কয়লাভিত্তিক বৃহৎ বিদ্যুৎ কেন্দ্রে কেন ওয়াটার-টিউব বয়লার ব্যবহৃত হয়? [মান: ৫]
পার্থক্য ছক:
১. টিউবের ভেতরের মাধ্যম: ফায়ার-টিউবে টিউবের ভেতর দিয়ে গরম ফ্লু গ্যাস যায় এবং বাইরে পানি থাকে; ওয়াটার-টিউবে টিউবের ভেতর পানি থাকে এবং বাইরে গরম গ্যাস প্রবাহিত হয়।
২. অপারেটিং চাপ: ফায়ার-টিউব নিম্ন থেকে মাঝারি চাপে (\(< 16\,\text{bar}\)) কাজ করে; ওয়াটার-টিউব অতি-উচ্চ চাপে (\(> 100\,\text{bar}\)) কাজ করে।
৩. বাষ্প উৎপাদনের হার: ফায়ার-টিউবে কম (\(< 9000\,\text{kg/hr}\)); ওয়াটার-টিউবে অত্যন্ত দ্রুত ও বিপুল পরিমাণ বাষ্প তৈরি হয়।
৪. বিস্ফোরণের ঝুঁকি: ফায়ার-টিউবে শেল বড় হওয়ায় বিস্ফোরণে ক্ষতি বেশি; ওয়াটার-টিউবে পাইপ ফেটে গেলেও কম ক্ষতি হয়।
বিদ্যুৎ কেন্দ্রে ব্যবহারের কারণ: বিদ্যুৎ উৎপাদনে টারবাইনের জন্য অতি-উচ্চ চাপ ও সুপারহিটেড স্টিম প্রয়োজন হয় যা কেবল ওয়াটার-টিউব বয়লারেই সম্ভব।
ফুরিয়ারের তাপ পরিবাহিতা সূত্র \(Q = -k A \frac{dT}{dx}\) ব্যাখ্যা করো। একটি \(0.2\,\text{m}\) পুরু সমতল ইটের দেয়ালের ক্ষেত্রফল \(15\,\text{m}^2\)। দেয়ালের ভেতরের পৃষ্ঠের তাপমাত্রা \(30^\circ\text{C}\) এবং বাইরের তাপমাত্রা \(10^\circ\text{C}\)। ইটের তাপ পরিবাহিতা \(k = 0.8\,\text{W/(m}\cdot\text{K)}\) হলে দেয়াল দিয়ে তাপ সঞ্চালনের হার (\(Q\)) কত? [মান: ৫]
গণনা:
- \(k = 0.8\,\text{W/(m}\cdot\text{K)}\)
- \(A = 15\,\text{m}^2\)
- \(\Delta T = T_1 - T_2 = 30 - 10 = 20^\circ\text{C}\)
- \(\Delta x = 0.2\,\text{m}\)
ফুরিয়ারের সূত্র: \[Q = \frac{k \cdot A \cdot \Delta T}{\Delta x} = \frac{0.8 \times 15 \times 20}{0.2} = \frac{240}{0.2} = \mathbf{1200\,\text{W} = 1.2\,\text{kW}}\]
এয়ার কন্ডিশনিংয়ে সাইক্রোমেট্রিক চার্ট ব্যবহারের গুরুত্ব কী? নিচের টার্মগুলোর সংজ্ঞা দাও:
(ক) Dry Bulb Temperature (DBT)
(খ) Wet Bulb Temperature (WBT)
(গ) Relative Humidity (RH) [মান: ৫]
সংজ্ঞা:
(ক) Dry Bulb Temperature (DBT): সাধারণ থার্মোমিটার দ্বারা পরিমাপকৃত বাতাসের প্রকৃত পারিপার্শ্বিক তাপমাত্রা (আর্দ্রতার প্রভাবমুক্ত)।
(খ) Wet Bulb Temperature (WBT): থার্মোমিটারের বাল্বকে একটি ভেজা সুতি কাপড়ে জড়িয়ে দ্রুতগতির বাতাসের সংস্পর্শে আনলে পানি বাষ্পীভবনের ফলে যে সর্বনিম্ন তাপমাত্রা পাওয়া যায়।
(গ) Relative Humidity (RH): নির্দিষ্ট তাপমাত্রায় নির্দিষ্ট আয়তনের বাতাসে বিদ্যমান জলীয় বাষ্পের ভর এবং একই তাপমাত্রায় বাতাসকে সম্পূর্ণ সম্পৃক্ত করতে প্রয়োজনীয় জলীয় বাষ্পের ভরের শতকরা অনুপাত।
পেল্টন হুইল (Pelton Wheel) কোন ধরনের টারবাইন? এর প্রধান অংশগুলো—নজল, স্পিয়ার হেড, বাকেট এবং কেসিং-এর কাজ সংক্ষেপে লেখ। [মান: ৫]
টারবাইনের ধরন: এটি একটি উচ্চ হেড (High Head) ও স্বল্প ডিসচার্জের (Low Discharge) স্পর্শীয় প্রবাহের ঘাত টারবাইন (Tangential flow Impulse Turbine)।
অংশসমূহের কাজ:
১. Nozzle & Spear: চাপ শক্তিকে উচ্চগতির গতিশক্তিতে (Water jet) রূপান্তর করে এবং স্পিয়ার এগিয়ে-পিছিয়ে পানির ডিসচার্জ নিয়ন্ত্রণ করে।
২. Runner & Buckets: ডাবল-হেমিস্ফেরিক্যাল বাকেটের মধ্যবর্তী স্প্লিটার পানির জেটকে সমান দুই ভাগে বিভক্ত করে প্রায় \(160^\circ-165^\circ\) কোণে ঘুরিয়ে দেয় এবং ইমপ্যাক্ট ফোর্সের মাধ্যমে রোটর ঘুরায়।
৩. Casing: পানি চারদিকে ছিটকে পড়া রোধ করে এবং পানিকে টেলরেসে নিরাপদে পরিচালিত করে।
সেন্ট্রিফিউগাল পাম্প এবং রেসিপ্রোকেটিং পাম্পের মধ্যে চারটি প্রধান পার্থক্য ছক আকারে দেখাও। [মান: ৫]
পার্থক্য ছক:
১. প্রবাহের প্রকৃতি: সেন্ট্রিফিউগাল পাম্পে প্রবাহ অবিচ্ছিন্ন ও মসৃণ (Continuous); রেসিপ্রোকেটিং পাম্পে প্রবাহ স্পন্দিত (Pulsating)।
২. ডিসচার্জ ও হেড: সেন্ট্রিফিউগাল উচ্চ ডিসচার্জ ও নিম্ন/মাঝারি হেডের জন্য উপযোগী; রেসিপ্রোকেটিং কম ডিসচার্জ কিন্তু অত্যন্ত উচ্চ হেডের জন্য ব্যবহৃত হয়।
৩. গতি ও প্রাইমিং: সেন্ট্রিফিউগাল উচ্চগতির (মোটরের সাথে সরাসরি যুক্ত) এবং প্রাইমিং আবশ্যক; রেসিপ্রোকেটিং কম গতির এবং সেলফ-প্রাইমিং।
৪. ঘন তরল হ্যান্ডলিং: সেন্ট্রিফিউগাল সান্দ্র ও ঘোলাটে তরলে ভালো চলে; রেসিপ্রোকেটিংয়ে বিশুদ্ধ তরল লাগে।
অক্সি-অ্যাসিটিলিন গ্যাস ওয়েল্ডিংয়ে ব্যবহৃত ৩ প্রকার শিখার (Flames) নাম লেখ:
(ক) Neutral Flame
(খ) Oxidizing Flame
(গ) Carburizing Flame
প্রতিটি শিখায় অক্সিজেন ও অ্যাসিটিলিনের অনুপাত এবং এদের প্রয়োগ উল্লেখ করো। [মান: ৫]
শিখা বিবরণ:
(ক) Neutral Flame: অক্সিজেন ও অ্যাসিটিলিনের অনুপাত সমান (\(1:1\))। অভ্যন্তরীণ সাদা কোণ ও নীল শিখা থাকে। সাধারণ স্টিল, কাস্ট আয়রন, কপার ও অ্যালুমিনিয়াম ওয়েল্ডিংয়ে সর্বাধিক ব্যবহৃত হয়।
(খ) Oxidizing Flame: অক্সিজেনের পরিমাণ বেশি থাকে (\(1.5:1\))। অত্যন্ত উচ্চ তাপমাত্রার (\(3300^\circ\text{C}\)) শিখা। পিতল (Brass) ও ব্রোঞ্জ ঝালাইয়ে ব্যবহৃত হয়।
(গ) Carburizing (Reducing) Flame: অ্যাসিটিলিনের পরিমাণ বেশি থাকে (\(0.9:1\))। তিনটি পৃথক জোনের শিখা। নিকেল খাদ ও উচ্চ কার্বন ইস্পাত সারফেস হার্ডেনিংয়ে ব্যবহৃত হয়।
শ্যাফট ও হাবকে যুক্ত করতে সান্ক কি (Sunk Key) কীভাবে কাজ করে? একটি আয়তাকার কি শিয়ার (Shearing) এবং ক্রাশিং (Crushing) ব্যর্থতায় কীভাবে ডিজাইন করা হয় তার সমীকরণ লেখ। [মান: ৫]
কাজের নীতি: কি-র অর্ধেক অংশ শ্যাফটের কি-ওয়েতে এবং বাকী অর্ধেক হাব বা পুলির কি-ওয়েতে বসে টর্ক স্থানান্তর করে।
ডিজাইন সমীকরণ (প্রস্থ \(w\), উচ্চতা \(h\), দৈর্ঘ্য \(L\), শ্যাফট ব্যাসার্ধ \(r\)):
১. শিয়ারিংয়ে টর্ক ক্ষমতা: \[T = (w \cdot L \cdot \tau) \times r\]
২. ক্রাশিংয়ে টর্ক ক্ষমতা: \[T = \left( \frac{h}{2} \cdot L \cdot \sigma_c \right) \times r\]
উভয় ক্ষেত্রে ব্যর্থতা প্রতিরোধে কি-র দৈর্ঘ্য \(L\) এমনভাবে নির্বাচন করা হয় যাতে শিয়ারিং ও ক্রাশিং প্রতিরোধ ক্ষমতা কার্যকর টর্কের সমান বা বেশি হয়।
ওয়ার্ক স্টাডি (Work Study)-এর দুটি প্রধান শাখা কী কী? একজন শ্রমিকের একটি কাজের নিরীক্ষিত সময় (Observed Time) \(4.0\,\text{minutes}\), পারফরম্যান্স রেটিং \(110\%\) এবং অ্যালাউন্স \(15\%\) হলে স্ট্যান্ডার্ড টাইম (Standard Time) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
ওয়ার্ক স্টাডির শাখা:
১. মেথড স্টাডি (Method Study) - কাজ করার সর্বোত্তম পদ্ধতি উদ্ভাবন।
২. ওয়ার্ক মেজারমেন্ট বা টাইম স্টাডি (Time Study) - কাজে প্রমিত সময় নির্ধারণ।
স্ট্যান্ডার্ড টাইম গণনা:
১. নরমাল টাইম: \[ ext{Normal Time} = \text{Observed Time} \times \left( \frac{\text{Rating}}{100} \right) = 4.0 \times 1.10 = 4.4\,\text{minutes}\]
২. স্ট্যান্ডার্ড টাইম: \[ ext{Standard Time} = \text{Normal Time} \times (1 + \text{Allowance}) = 4.4 \times (1 + 0.15) = 4.4 \times 1.15 = \mathbf{5.06\,\text{minutes}}\]
প্রোডাক্ট লেআউট (Product / Line Layout) এবং প্রসেস লেআউট (Process / Functional Layout)-এর মধ্যে চারটি পার্থক্য লেখ। গণ-উৎপাদনের (Mass production) জন্য কোনটি উপযোগী? [মান: ৫]
পার্থক্য ছক:
১. মেশিনের বিন্যাস: প্রোডাক্ট লেআউটে পণ্যের উৎপাদন প্রক্রিয়ার ক্রমানুসারে মেশিন সাজানো থাকে; প্রসেস লেআউটে একই জাতের মেশিন এক রুমে/বিভাগে থাকে (যেমন সকল লেদ এক সাথে)।
২. পণ্যের বৈচিত্র্য: প্রোডাক্ট লেআউটে সীমিত বা একক পণ্যের বিশাল উৎপাদন হয়; প্রসেস লেআউটে বিভিন্ন ধরনের কাস্টমাইজড পণ্য তৈরি হয়।
৩. উপকরণ হ্যান্ডলিং খরচ: প্রোডাক্ট লেআউটে কনভেয়ারের মাধ্যমে কাজ চলায় মেটেরিয়াল হ্যান্ডলিং খরচ অত্যন্ত কম; প্রসেস লেআউটে বেশি।
৪. ফ্লেক্সিবিলিটি: প্রোডাক্ট লেআউটে পণ্যের ডিজাইনে সামান্য পরিবর্তন করা কঠিন; প্রসেস লেআউট অত্যন্ত নমনীয়।
উপযোগিতা: গণ-উৎপাদনের (যেমন অটোমোবাইল অ্যাসেম্বলি) জন্য Product Layout সর্বাধিক উপযোগী।
প্রকল্প ব্যবস্থাপনায় সংকটময় পথ (Critical Path)-এর সংজ্ঞা দাও। ক্রিটিক্যাল অ্যাক্টিভিটিগুলোতে মোট ভাসমান সময় বা ফ্লোট (Total Float) কত হয়? প্রজেক্টে ক্রিটিক্যাল পাথ চিহ্নিত করার গুরুত্ব কী? [মান: ৫]
সংজ্ঞা: প্রজেক্ট নেটওয়ার্ক ডায়াগ্রামে শুরুর ইভেন্ট থেকে শেষ ইভেন্ট পর্যন্ত দীর্ঘতম সময়কাল বিশিষ্ট অবিচ্ছিন্ন পথকে ক্রিটিক্যাল পাথ বলে। এই পথটিই পুরো প্রজেক্ট শেষ হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় সর্বনিম্ন সময় নির্ধারণ করে।
ফ্লোট: ক্রিটিক্যাল পাথের প্রতিটি অ্যাক্টিভিটির Total Float শূন্য (\(\text{Float} = 0\))। অর্থাৎ কোনো কাজের দেরি করার সুযোগ নেই।
গুরুত্ব: ক্রিটিক্যাল পাথের যেকোনো একটি কাজে একদিন দেরি হলে সম্পূর্ণ প্রজেক্টের সমাপ্তি একদিন পিছিয়ে যাবে। ফলে প্রজেক্ট ম্যানেজাররা এই পাথের কাজগুলোতে সর্বোচ্চ নজরদারি ও সম্পদ নিয়োজিত করেন।
পেল্টন হুইল টারবাইন কী ধরনের টারবাইন? একটি পেল্টন হুইলে \(50\,\text{m}\) কার্যকর হেডে প্রতি সেকেন্ডে \(0.2\,\text{m}^3\) পানি প্রবেশ করে। সামগ্রিক দক্ষতা (Overall Efficiency) \(85\%\) হলে টারবাইন থেকে প্রাপ্ত শ্যাফট পাওয়ার (\(P\)) কত \(\text{kW}\) হবে? (পানির ঘনত্ব \(\rho = 1000\,\text{kg/m}^3\), \(g = 9.81\,\text{m/s}^2\)) [মান: ৫]
টারবাইনের ধরন: পেল্টন হুইল হলো একটি ট্যাঞ্জেনশিয়াল ফ্লো ইমপালস (Impulse) টারবাইন যা উচ্চ হেড ও স্বল্প প্রবাহে সর্বোচ্চ দক্ষতা দেয়।
গণনা: পানির মোট হাইড্রোলিক পাওয়ার: \[P_{\text{water}} = \rho g Q H = 1000 \times 9.81 \times 0.2 \times 50 = 98100\,\text{W} = 98.1\,\text{kW}\]
শ্যাফট পাওয়ার: সূত্র: \(\eta_o = \frac{P_{\text{shaft}}}{P_{\text{water}}}\)
\[P_{\text{shaft}} = \eta_o \times P_{\text{water}} = 0.85 \times 98.1 = \mathbf{83.385\,\text{kW}}\]
একটি ৪-সিলিন্ডার, ৪-স্ট্রোক পেট্রোল ইঞ্জিনের বোর \(D = 150\) mm, স্ট্রোক \(L = 200\) mm এবং গতিবেগ 1200 rpm। গড় কার্যকর চাপ (Mean Effective Pressure) \(P_m = 6.2\) bar হলে ইঞ্জিনের মোট ইন্ডিকেটেড পাওয়ার (Indicated Power, IP) কিলোওয়াটে নির্ণয় করো। [মান: ৫]
ইন্ডিকেটেড পাওয়ার সমীকরণ:
৪-স্ট্রোক ইঞ্জিনের ক্ষেত্রে কার্যকর চক্র সংখ্যা \(n = N/2 = 1200/2 = 600\) rpm = \(10\) cycles/s।
পিস্টন ক্ষেত্রফল \(A = rac{\pi imes 0.15^2}{4} = 0.01767 ext{ m}^2\)।
\[IP = rac{P_m \cdot L \cdot A \cdot (N/2) \cdot n_{cyl}}{60} = rac{6.2 imes 10^5 imes 0.2 imes 0.01767 imes 600 imes 4}{60 imes 1000} = 87.65 ext{ kW}\]
আইসি ইঞ্জিনের PLAN সূত্র ও শক্তি পরিমাপ।
একটি কাউন্টার-ফ্লো (Counter-flow) ডাবল-পাইপ হিট এক্সচেঞ্জারে গরম তেল 102°C তাপমাত্রায় প্রবেশ করে 60°C তাপমাত্রায় নির্গত হয়। ঠান্ডা পানি 20°C তাপমাত্রায় প্রবেশ করে 50°C তাপমাত্রায় বের হয়। হিট এক্সচেঞ্জারটির লগারিদমিক গড় তাপমাত্রা পার্থক্য (Log Mean Temperature Difference, LMTD) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
কাউন্টার-ফ্লো প্রান্তে তাপমাত্রা পার্থক্য:
\[\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,out} = 102 - 50 = 52^\circ ext{C}\]
\[\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,in} = 60 - 20 = 40^\circ ext{C}\]
LMTD সমীকরণ:
\[ ext{LMTD} = rac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln(\Delta T_1 / \Delta T_2)} = rac{52 - 40}{\ln(52 / 40)} = 45.74^\circ ext{C}\]
হিট এক্সচেঞ্জারের এলএমটিডি সমীকরণ ও সমান্তরাল বনাম বিপরীত প্রবাহ বিশ্লেষণ।
একটি সেন্ট্রিফিউগাল পাম্প প্রতি সেকেন্ডে 31 লিটার পানি 26 m ম্যানোমেট্রিক হেডের বিপরীতে সরবরাহ করে। পাম্পটির কর্মদক্ষতা 75% হলে পাম্পটি চালাতে কত কিলোওয়াট ক্ষমতার মোটর প্রয়োজন হবে? [মান: ৫]
১. পানি উত্তোলনে প্রয়োজনীয় ক্ষমতা:
প্রবাহ \(Q = 31/1000 = 0.031 ext{ m}^3 ext{/s}\)।
\[P_w =
ho g Q H_m = 9.81 imes 0.031 imes 26 = 7.91 ext{ kW}\]
২. মোটরের প্রয়োজনীয় ক্ষমতা:
\[P_{motor} = rac{P_w}{\eta} = rac{7.91}{0.75} = 10.55 ext{ kW}\]
পাম্পের ম্যানোমেট্রিক হেড ও ইনপুট মোটর পাওয়ার নির্ধারণ।
একটি এপিসাইক্লিক গিয়ার ট্রেইনে সান গিয়ার S (32টি দাঁত) এবং অ্যানেউলাস রিং গিয়ার A (72টি দাঁত) আর্ম C-এর সাপেক্ষে ঘুরতে পারে। যদি আর্ম C ফিক্সড রাখা হয় এবং সান গিয়ার 100 rpm-এ ঘোরে, তবে রিং গিয়ার A এর গতিবেগ ও ঘূর্ণনের দিক টেবুলার মেথড ব্যবহার করে বের করো। [মান: ৫]
টেবুলার পদ্ধতি:
১. আর্ম ফিক্সড রেখে সান গিয়ারকে \(+1\) ঘূর্ণন দিলে রিং গিয়ারের ঘূর্ণন: \(- rac{T_S}{T_A} = - rac{32}{72}\)।
২. সান গিয়ার 100 rpm হলে: \[N_A = - 100 imes rac{32}{72} = - 44.4 ext{ rpm}\]
ঋণাত্মক চিহ্ন নির্দেশ করে রিং গিয়ার সান গিয়ারের বিপরীত দিকে 44.4 rpm গতিতে ঘুরবে।
এপিসাইক্লিক গিয়ার ট্রেইনের রিলেটিভ ভেলোসিটি ও টেবুলার মেথড।
একটি অ্যামোনিয়া রেফ্রিজারেশন প্ল্যান্টের বাষ্প কম্প্রেশন সাইকেলে মূল বিন্দুগুলোর এনথালপি মান নিম্নরূপ:
কম্প্রেসরের শুরুতে \(h_1 = 1421\) kJ/kg, কম্প্রেসরের শেষে \(h_2 = 1651\) kJ/kg, এবং ঘনীভবনের পর তরল রেফ্রিজারেন্টের এনথালপি \(h_3 = h_4 = 381\) kJ/kg।
(ক) রেফ্রিজারেটিং প্রভাব (Refrigerating Effect) কত?
(খ) সিস্টেমটির পারফরম্যান্স সহগ (COP) হিসাব করো। [মান: ৫]
১. রেফ্রিজারেটিং প্রভাব:
\[RE = h_1 - h_4 = 1421 - 381 = 1040 ext{ kJ/kg}\]
২. কম্প্রেসরে কৃতকাজ:
\[W_c = h_2 - h_1 = 1651 - 1421 = 230 ext{ kJ/kg}\]
৩. COP গণনা:
\[ ext{COP} = rac{RE}{W_c} = rac{1040}{230} = 4.52\]
বাষ্প কম্প্রেশন রেফ্রিজারেশন চক্রের এনথালপি বিশ্লেষণ ও সিওপি।
একটি উৎপাদনকারী কারখানার স্থির ব্যয় (Fixed Cost) 210000 টাকা। প্রতি একক পণ্যের পরিবর্তনশীল ব্যয় (Variable Cost) 30 টাকা এবং বিক্রয়মূল্য 50 টাকা। (ক) ব্রেক-ইভেন পয়েন্ট (Break-Even Point, BEP) এককে ও আর্থিক অঙ্কে নির্ণয় করো এবং
(খ) কারখানাটির কন্ট্রিবিউশন মার্জিন অনুপাত (P/V Ratio) শতকরা কত? [মান: ৫]
১. একক প্রতি কন্ট্রিবিউশন:
\[C = ext{Selling Price} - ext{Variable Cost} = 50 - 30 = 20 ext{ টাকা}\]
২. ব্রেক-ইভেন পয়েন্ট:
\[ ext{BEP (এককে)} = rac{ ext{Fixed Cost}}{C} = rac{210000}{20} = 10500 ext{ একক}\]
আর্থিক অঙ্কে: \[ ext{BEP (টাকায়)} = 10500 imes 50 = 525000 ext{ টাকা}\]
৩. P/V অনুপাত: \[ rac{C}{S} imes 100 = rac{20}{50} imes 100 = 40.0\%\]
শিল্প উৎপাদন অর্থনীতি, ব্রেক-ইভেন অ্যানালাইসিস ও মার্জিনাল কস্টিং।