DUET Admission 2027 Model Exam 083 - সিভিল ইঞ্জিনিয়ারিং (CE)
Civil Engineering · আসন সংখ্যা: 120
১ম পত্র: নন-টেকনিক্যাল (পদার্থবিজ্ঞান, রসায়ন, গণিত ও ইংরেজি)
পদার্থবিজ্ঞান (৪০) · রসায়ন (৪০) · গণিত (৪০) · ইংরেজি (৩০)বিভাগ-ক: বহু নির্বাচনি প্রশ্ন (MCQ)
৪০টি প্রশ্ন × ১.৫ নম্বর = ৬০ নম্বর (নেগেটিভ মার্ক ০.২৫)একটি planet perihelion-এ angular momentum-এর magnitude কী?
Central force-এর torque zero, তাই angular momentum conserved।
Perihelion ও aphelion-এ r v_t-এর relation কী?
Specific angular momentum h=r v_t constant।
Perihelion distance r_p এবং speed v_p; aphelion-এ speed v_a হলে কী?
Angular momentum conservation থেকে r_pv_p=r_av_a।
যদি r_a=2r_p হয়, তবে v_p/v_a কত?
r_pv_p=r_av_a=2r_pv_a, তাই v_p=2v_a।
Planet-এর speed maximum কোথায়?
Angular momentum ও energy উভয় বিবেচনায় nearest point-এ speed maximum।
Planet-এর speed minimum কোথায়?
Sun থেকে দূরের aphelion-এ speed minimum।
Same central body-তে T²/a³ ratio planet mass বদলালে কী হয়?
সাধারণ planetary approximation-এ central mass dominant।
একটি circular orbit-এ radius r এবং period T হলে speed কী?
এক revolution-এ distance 2πr এবং time T।
একটি planet 2π rad angle T সময়ে sweep করলে angular speed কত?
ω=angular displacement/time=2π/T।
Kepler second law circular orbit-এ কী বোঝায়?
Circle-এ r constant, equal area rate মানে equal angular speed।
Ne মৌলটির বিশিষ্ট রাসায়নিক বৈশিষ্ট্য কোনটি?
Ne এর প্রধান বৈশিষ্ট্য: বিজ্ঞাপনী আলোকবাতিতে ব্যবহৃত নিষ্ক্রিয় গ্যাস।
নিচের কোন আয়নটির ব্যাসার্ধ সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম?
এগুলো সম-ইলেকট্রনীয় (Isoelectronic) আয়ন (প্রতিটিতে ১০টি ইলেকট্রন)। যার নিউক্লিয়াসে প্রোটন সংখ্যা বেশি (Al-এ ১৩টি), তার কার্যকর নিউক্লীয় আকর্ষণ সবচেয়ে বেশি হওয়ায় আকার সবচেয়ে ছোট হয়।
M \(\text{NaOH}\) জলীয় দ্রবণের pH কত?
\[\text{pOH} = -\log(0.1) = 1.0\], \[\text{pH} = 14 - 1.0 = 13.0\]।
\(\text{ZnSO₄}\) দ্রবণে 0.5 A তড়িৎ প্রবাহ 15 মিনিট ধরে চালনা করলে ক্যাথোডে কত গ্রাম Zn (দস্তা) জমা হবে? (M = 65.4 g/mol, F = 96500 C)
\[W = \frac{M \cdot I \cdot t}{n \cdot F} = \frac{65.4 \times 0.5 \times (15 \times 60)}{2 \times 96500} = 0.1525\text{ g}\]
Na এর পারমাণবিক ব্যাসার্ধ সংশ্লিষ্ট পর্যায়ের অন্যান্য মৌলের তুলনায় কেমন?
একই পর্যায়ে বাম থেকে ডানে কার্যকর নিউক্লীয় চার্জ বাড়ে তাই ব্যাসার্ধ হ্রাস পায়।
K এর প্রথম আয়নীকরণ শক্তির প্রবণতা কোনটি?
K এর কার্যকর আকর্ষণ বল দ্বারা এর আয়নীকরণ বিভব নির্ধারিত হয়।
Mg এর পারমাণবিক ব্যাসার্ধ সংশ্লিষ্ট পর্যায়ের অন্যান্য মৌলের তুলনায় কেমন?
একই পর্যায়ে বাম থেকে ডানে কার্যকর নিউক্লীয় চার্জ বাড়ে তাই ব্যাসার্ধ হ্রাস পায়।
\(\text{PCl₅}\) অণুটি পোলার (Polar) না অপোলার (Non-polar)?
অণুর জ্যামিতিক প্রতিসাম্য ও নিঃসঙ্গ জোড়ের উপস্থিতির কারণে অপোলার (Non-polar) কারণ প্রতিসম গঠন এবং \(\mu = 0\)।
VSEPR তত্ত্বানুসারে \(\text{CO₂}\) অণুর জ্যামিতিক আকৃতি কোনটি?
\(\text{CO₂}\) এ 2টি বন্ধনজোড় ও 0টি মুক্তজোড় ইলেকট্রন থাকায় এর আকৃতি Linear।
\(\text{ClF₃}\) অণুটি পোলার (Polar) না অপোলার (Non-polar)?
অণুর জ্যামিতিক প্রতিসাম্য ও নিঃসঙ্গ জোড়ের উপস্থিতির কারণে পোলার (Polar) কারণ লব্ধি ডাইপোল মোমেন্ট \(\mu \ne 0\)।
i² এর মান কত?
i হলো imaginary unit, যেখানে i = √(-1)। তাই i² = -1।
z - z̄ (z = a + bi) সবসময় কী হয়?
z - z̄ = 2i·Im(z)। Im(z) = 0 না হলে মান purely imaginary; Im(z) = 0 হলে শূন্য।
দুইটি complex number z₁ ও z₂ এর জন্য |z₁z₂| কত?
modulus গুণফলের ক্ষেত্রে গুণ হয়ে যায়: |z₁ z₂| = |z₁| |z₂|।
+ i এর argument (amplitude) কত?
tan θ = Im/Re = 1/1 = 1, এবং z প্রথম চতুর্ভাগে, তাই θ = 45°।
z = i/(1 + i) এর argument কত?
i/(1 + i) = i(1 - i)/((1 + i)(1 - i)) = (i + 1)/2। লব ও হরের modulus সমান, তাই argument 45°।
n-তম roots of unity কোন বৃত্তের উপর অবস্থিত?
zⁿ = 1 এর প্রতিটি root-এর modulus 1, তাই সব root unit circle-এর উপর সমান দূরত্বে থাকে।
|z - 2| + |z + 2| = 10 কোন সেট নির্দেশ করে?
দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু (2, 0) ও (-2, 0) থেকে দূরত্বের যোগফল ধ্রুবক 10, তাই locus টি ellipse (কেন্দ্র origin, 2a = 10)।
P2 এর মান নির্ণয় করুন।
4P2 = 4×3×...×3 = 12।
x² - 4x + 3 = 0 সমীকরণের শূন্যদ্বয় কী?
x² - (4)x + 3 = (x-3)(x-1)।
যদি A একটি 3×3 ম্যাট্রিক্স হয় এবং det(A) = 5 হয়, তবে det(3A) এর মান কত?
n×n ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে det(kA) = kⁿ det(A)। এখানে n = 3, সুতরাং det(3A) = 3³ × det(A) = 27 × 5 = 135।
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'Mechanical vibration is an inherent characteristic ___ unbalanced rotating shafts.'
'inherent' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'in' বসে (অর্থ: সহজাত বা অন্তর্নিহিত)।
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'These diagnostic data streams pertain directly ___ the coolant cycle temperature.'
'pertain' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'to' বসে (অর্থ: সম্পর্কিত হওয়া)।
If it rains, we ___ at home.
If clause-এ present tense হলে main clause-এ future tense হয়।
A lot of books ___ on the table.
A lot of + plural noun -> plural verb.
What is the precise meaning of the idiom/phrase 'A blessing in disguise' in usage #1?
Idiom 'A blessing in disguise'-এর অর্থ: আপাতদৃষ্টিতে ক্ষতিকর হলেও প্রকৃতপক্ষে কল্যাণকর (A good thing that seemed bad at first)।
What is the precise meaning of the idiom/phrase 'Spill the beans' in usage #7?
Idiom 'Spill the beans'-এর অর্থ: গোপন তথ্য অসাবধানতাবশত ফাঁস করে দেওয়া (Reveal a secret prematurely)।
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The senior engineer was averse ___ adopting untested technologies.'
'averse' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'to' বসে (অর্থ: বিমুখ বা অপছন্দকারী)।
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'Wet mud tended to cling ___ the heavy tractor wheels.'
'cling' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'to' বসে (অর্থ: লেগে থাকা)।
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'He found it difficult to cope ___ the rigorous academic curriculum.'
'cope' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'with' বসে (অর্থ: মানিয়ে চলা)।
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'Modern computer aided design software enables us to dispense ___ manual drafting.'
'dispense' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'with' বসে (অর্থ: বর্জন করা / বাদ দেওয়া)।
বিভাগ-খ: সংক্ষিপ্ত ও বর্ণনামূলক লিখিত প্রশ্ন (Written/CQ)
১৮টি প্রশ্ন × ৫ নম্বর = ৯০ নম্বর\(1000\,\text{kg}\) ভরের একটি গাড়ি \(20\,\text{m/s}\) বেগে চলছিল। ব্রেক প্রয়োগ করে \(5\,\text{s}\)-এর মধ্যে গাড়িটিকে স্থির করা হলো।
(ক) গাড়ির ত্বরণ (মন্দন) এবং ব্রেকজনিত বল নির্ণয় করো।
(খ) ব্রেক করার পর গাড়িটি থামার পূর্বে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে? [মান: ৫]
গণনা:
- \(m = 1000\,\text{kg}, u = 20\,\text{m/s}, v = 0, t = 5\,\text{s}\)
(ক) মন্দন: \[a = \frac{v - u}{t} = \frac{0 - 20}{5} = -4\,\text{m/s}^2 \implies \text{মন্দন} = \mathbf{4\,\text{m/s}^2}\]
ব্রেকজনিত বল: \[F = m \cdot a = 1000 \times (-4) = -4000\,\text{N} \implies \mathbf{4\,\text{kN}\text{ (গতির বিপরীতে)}}\]
(খ) অতিক্রান্ত দূরত্ব: \[s = u t + \frac{1}{2} a t^2 = 20 \times 5 + \frac{1}{2}(-4)(5)^2 = 100 - 50 = \mathbf{50\,\text{m}}\]
একটি সরল ছন্দিত স্পন্দনশীল (SHM) কণার সরণের সমীকরণ \(x = 5 \sin(10 t + \pi/4)\) মিটার হলে:
(ক) কণাটির বিস্তার (Amplitude), কৌণিক কম্পাঙ্ক এবং পর্যায়কাল নির্ণয় করো।
(খ) কণাটির সর্বোচ্চ বেগ (\(v_{max}\)) এবং সর্বোচ্চ ত্বরণ (\(a_{max}\)) কত? [মান: ৫]
আদর্শ সমীকরণের সাথে তুলনা (\(x = A \sin(\omega t + \delta)\)):
(ক) বিস্তার: \(\mathbf{A = 5\,\text{m}}\)
কৌণিক কম্পাঙ্ক: \(\mathbf{\omega = 10\,\text{rad/s}}\)
পর্যায়কাল: \[T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \approx \mathbf{0.628\,\text{s}}\]
(খ) সর্বোচ্চ বেগ: \[v_{max} = \omega A = 10 \times 5 = \mathbf{50\,\text{m/s}}\]
সর্বোচ্চ ত্বরণ: \[a_{max} = \omega^2 A = (10)^2 \times 5 = 100 \times 5 = \mathbf{500\,\text{m/s}^2}\]
কার্শফের তড়িৎ প্রবাহ সূত্র (KCL) এবং ভোল্টেজ সূত্র (KVL) বিবৃত করো। KCL কোন সংরক্ষণশীল নীতির উপর প্রতিষ্ঠিত? [মান: ৫]
১. কার্শফের তড়িৎ প্রবাহ সূত্র (KCL): তড়িৎ বর্তনীর যেকোনো সংযোগ বিন্দুতে (Junction) মিলিত কারেন্টসমূহের বীজগাণিতিক যোগফল শূন্য (\(\sum I = 0\))। অর্থাৎ সংযোগে প্রবিষ্ট মোট কারেন্ট = নির্গত মোট কারেন্ট। এটি চার্জের সংরক্ষণশীলতা নীতির উপর প্রতিষ্ঠিত।
২. কার্শফের ভোল্টেজ সূত্র (KVL): কোনো বদ্ধ লুপ বা বর্তনীতে সকল উপাদান ও রোধের দুই প্রান্তের ভোল্টেজ ড্রপ এবং মোট তড়িৎচালক শক্তির বীজগাণিতিক যোগফল শূন্য (\(\sum V = 0\))। এটি শক্তির সংরক্ষণশীলতা নীতির উপর প্রতিষ্ঠিত।
NAND গেটকে কেন সার্বজনীন গেট (Universal Gate) বলা হয়? শুধুমাত্র 2-ইনপুট NAND গেট ব্যবহার করে OR গেট বাস্তবায়ন করে লজিক ডায়াগ্রাম ও সত্যক সারণি দেখাও। [মান: ৫]
সার্বজনীন গেট: কারণ NAND গেটের সাহায্যে যেকোনো মৌলিক গেট (AND, OR, NOT) এবং যেকোনো জটিল ডিজিটাল সার্কিট অন্য কোনো গেটের সাহায্য ছাড়াই তৈরি করা যায়।
NAND দ্বারা OR গেট বাস্তবায়ন:
বুলিয়ান সমীকরণ: \(A + B = \overline{\overline{A + B}} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}\) (ডি মরগ্যানের সূত্র)।
ধাপ ১: ইনপুট \(A\) কে একটি NAND গেটের উভয় পিনে দিয়ে পাওয়া যায় \(\overline{A}\)।
ধাপ ২: ইনপুট \(B\) কে অপর NAND গেটে দিয়ে পাওয়া যায় \(\overline{B}\)।
ধাপ ৩: \(\overline{A}\) ও \(\overline{B}\) কে ৩য় NAND গেটে দিলে আউটপুট: \[Y = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = A + B\]
অতএব মোট ৩টি NAND গেট প্রয়োজন।
একটি 2 m দীর্ঘ ও 1 mm ব্যাসার্ধের ইস্পাতের তারের নিচে 10 kg ভর চাপালে দৈর্ঘ্য 0.6 mm বৃদ্ধি পায়। তারের উপাদানের ইয়ং-এর গুণাঙ্ক এবং একক আয়তনে সঞ্চিত স্থিতিস্থাপক বিভব শক্তি গণনা করো। (g = 9.8 m/s²)
প্রদত্ত: আদি দৈর্ঘ্য \(L = 2 ext{ m}\), ব্যাসার্ধ \(r = 10^{-3} ext{ m}\), ভর \(m = 10 ext{ kg}\), বৃদ্ধি \(l = 0.6 imes 10^{-3} ext{ m}\)।
প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল \(A = \pi r^2 = \pi (10^{-3})^2 = 3.1416 imes 10^{-6} ext{ m}^2\)।
বল \(F = mg = 10 imes 9.8 = 98 ext{ N}\)।
ইয়ং-এর গুণাঙ্ক: \[Y = rac{F L}{A l} = rac{98 imes 2}{(3.1416 imes 10^{-6}) imes (0.6 imes 10^{-3})} = rac{196}{1.885 imes 10^{-9}} pprox 1.04 imes 10^{11} ext{ N/m}^2\]
একক আয়তনে সঞ্চিত শক্তি: \[u = rac{1}{2} imes ext{Stress} imes ext{Strain} = rac{1}{2} imes rac{F}{A} imes rac{l}{L} = rac{1}{2} imes rac{98}{3.1416 imes 10^{-6}} imes rac{0.6 imes 10^{-3}}{2} pprox 4679.1 ext{ J/m}^3\]
হুকের সূত্র ও স্থিতিস্থাপক শক্তির সমাকলিত রূপ ও একক আয়তনে শক্তির সমীকরণ।
°C তাপমাত্রায় নিম্নলিখিত গ্যালভানিক কোষটির তড়িৎচালক বল (EMF) নির্ণয় করো:
\(\text{Zn(s)} \mid \text{Zn}^{2+}(0.02\text{ M}) \parallel \text{Cu}^{2+}(0.5\text{ M}) \mid \text{Cu(s)}\)
(দেওয়া আছে: \(E^\circ_{\text{Zn}^{2+}/\text{Zn}} = -0.76\text{ V}\), \(E^\circ_{\text{Cu}^{2+}/\text{Cu}} = +0.34\text{ V}\))
কোষ বিক্রিয়া: \(\text{Zn(s)} + \text{Cu}^{2+}\text{(aq)} \longrightarrow \text{Zn}^{2+}\text{(aq)} + \text{Cu(s)}\) (ইলেকট্রন সংখ্যা \(n = 2\))।
প্রমাণ তড়িৎচালক বল: \[E^\circ_{\text{cell}} = E^\circ_{\text{cathode}} - E^\circ_{\text{anode}} = 0.34 - (-0.76) = 1.10\text{ V}\]
নার্নস্ট সমীকরণ (Nernst Equation) প্রয়োগ করে:
\[E_{\text{cell}} = E^\circ_{\text{cell}} - \frac{0.0591}{n} \log_{10} \left( \frac{[\text{Zn}^{2+}]}{[\text{Cu}^{2+}]} \right)\]
\[E_{\text{cell}} = 1.10 - \frac{0.0591}{2} \log_{10}\left(\frac{0.02}{0.5}\right) = 1.10 - 0.02955 \times \log_{10}(0.04)\]
\[\log_{10}(0.04) = -1.3979 \implies E_{\text{cell}} = 1.10 - 0.02955(-1.3979) = 1.10 + 0.0413 = 1.141\text{ V}\]
তড়িৎ রাসায়নিক কোষে নার্নস্ট সমীকরণ ও কোষ বিভব গণনা।
\(\text{pH}\) এবং \(\text{pOH}\)-এর সংজ্ঞা দাও এবং দেখাও যে \(\text{pH} + \text{pOH} = 14\)। \(0.005\,\text{M}\) ঘনমাত্রার সালফিউরিক এসিড (\(\text{H}_2\text{SO}_4\)) দ্রবণের \(\text{pH}\) কত? [মান: ৫]
সংজ্ঞা: কোনো দ্রবণে বিদ্যমান হাইড্রোজেন আয়ন ঘনমাত্রার ঋণাত্মক লগারিদমকে \(\text{pH}\) বলে: \(\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}^+]\)।
পানির আয়নিক গুণফল: \([\text{H}^+][\text{OH}^-] = K_w = 10^{-14}\)।
উভয়পাশে \(-\log\) নিলে: \[-\log[\text{H}^+] - \log[\text{OH}^-] = -\log(10^{-14}) \implies \mathbf{\text{pH} + \text{pOH} = 14}\]
\(\text{H}_2\text{SO}_4\) দ্রবণের \(\text{pH}\) গণনা:
\(\text{H}_2\text{SO}_4\) একটি তীব্র দ্বি-ক্ষারকীয় এসিড: \(\text{H}_2\text{SO}_4 \rightarrow 2\text{H}^+ + \text{SO}_4^{2-}\)
\[[\text{H}^+] = 2 \times [\text{H}_2\text{SO}_4] = 2 \times 0.005 = 0.01\,\text{M} = 10^{-2}\,\text{M}\]
\[\text{pH} = -\log_{10}(10^{-2}) = -(-2) = \mathbf{2.0}\]
হেসের তাপ সমষ্টিকরণ সূত্রটি (Hess's Law) বিবৃত করো। কার্বনের দহন তাপ \(\Delta H = -393.5\,\text{kJ/mol}\) এবং কার্বন মনোক্সাইডের দহন তাপ \(\Delta H = -283.0\,\text{kJ/mol}\) হলে \(\text{C}(s) + \frac{1}{2}\text{O}_2(g) \rightarrow \text{CO}(g)\) বিক্রিয়ার গঠন তাপ নির্ণয় করো। [মান: ৫]
হেসের সূত্র: কোনো রাসায়নিক পরিবর্তন এক ধাপে বা একাধিক ধারাবাহিক ধাপে সংঘটিত হোক না কেন, প্রাথমিক ও চূড়ান্ত অবস্থা এক থাকলে বিক্রিয়ার মোট এনথালপির পরিবর্তন (\(\Delta H\)) সর্বদা একই থাকে।
বিক্রিয়াসমূহ:
(১) \(\text{C}(s) + \text{O}_2(g) \rightarrow \text{CO}_2(g), \quad \Delta H_1 = -393.5\,\text{kJ}\)
(২) \(\text{CO}(g) + \frac{1}{2}\text{O}_2(g) \rightarrow \text{CO}_2(g), \quad \Delta H_2 = -283.0\,\text{kJ}\)
সমীকরণ (১) হতে সমীকরণ (২) বিয়োগ করে পাই:
\[\text{C}(s) + \frac{1}{2}\text{O}_2(g) \longrightarrow \text{CO}(g)\]
\[\Delta H = \Delta H_1 - \Delta H_2 = -393.5 - (-283.0) = -393.5 + 283.0 = \mathbf{-110.5\,\text{kJ/mol}}\]
°C তাপমাত্রায় 0.1 M অ্যাসিটিক অ্যাসিড (\(\text{CH}_3\text{COOH}\)) এবং 0.2 M সোডিয়াম অ্যাসিটেট (\(\text{CH}_3\text{COONa}\)) মিশ্রিত করে প্রস্তুতকৃত একটি বাফার দ্রবণের pH নির্ণয় করো। (অ্যাসিটিক অ্যাসিডের \(K_a = 1.8 \times 10^{-5}\))
প্রদত্ত: অ্যাসিডের ঘনমাত্রা \([\text{Acid}] = 0.1\text{ M}\), লবণের ঘনমাত্রা \([\text{Salt}] = 0.2\text{ M}\), \(K_a = 1.8 \times 10^{-5}\)।
হেন্ডারসন-হ্যাসেলবাখ সমীকরণ প্রয়োগ করে:
\[\text{pH} = \text{pK}_a + \log_{10} \left( \frac{[\text{Salt}]}{[\text{Acid}]} \right)\]
\[\text{pK}_a = -\log_{10}(1.8 \times 10^{-5}) = 4.745\]
\[\text{pH} = 4.745 + \log_{10}\left(\frac{0.2}{0.1}\right) = 4.745 + \log_{10}(2) = 4.745 + 0.301 = 5.05\]
বাফার দ্রবণের ক্রিয়া কৌশল ও হেন্ডারসন-হ্যাসেলবাখ সমীকরণের সঠিক প্রয়োগ।
বেনজালডিহাইডের ক্যানিজারো বিক্রিয়াটির (Cannizzaro Reaction) সম্পূর্ণ রাসায়নিক সমীকরণ এবং মেকানিজম বা কৌশলের মূল ধাপগুলো লিখ।
সংজ্ঞা: আলফা-হাইড্রোজেনহীন অ্যালডিহাইড তীব্র ক্ষারের (৫০% NaOH) উপস্থিতিতে স্বতঃ জারণ-বিজারণের মাধ্যমে অ্যালকোহল ও কার্বক্সিলিক অ্যাসিডের লবণে পরিণত হয়।
রাসায়নিক সমীকরণ:
\[2\text{C}_6\text{H}_5\text{CHO} + \text{NaOH} \xrightarrow{50\% \text{ NaOH}} \text{C}_6\text{H}_5\text{CH}_2\text{OH} + \text{C}_6\text{H}_5\text{COONa}\]
(বেনজাইল অ্যালকোহল এবং সোডিয়াম বেনজয়েট)
কৌশলের মূল ধাপ:
ধাপ ১: হাইড্রক্সাইড আয়ন (\(\text{OH}^-\)) অ্যালডিহাইডের কার্বনাইল কার্বনে নিউক্লিওফিলিক আক্রমণ করে টেট্রাহেড্রাল অ্যানায়ন তৈরি করে।
ধাপ ২: অ্যানায়ন হতে হাইড্রাইড আয়ন (\(\text{H}^-\)) অপর একটি বেনজালডিহাইড অণুতে স্থানান্তরিত হয় (হার নির্ধারণী ধাপ)।
ধাপ ৩: প্রোটন বিনিময়ের মাধ্যমে বেনজাইল অ্যালকোহল ও বেনজয়েট অ্যানায়ন উৎপন্ন হয়।
ক্যানিজারো বিক্রিয়ায় হাইড্রাইড শিফট মেকানিজম ও স্বতঃ জারণ-বিজারণের স্পষ্ট সমীকরণ।
\(y = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 5\) বক্ররেখার চরম মান (Maximum and Minimum values) নির্ণয় করো। কোন বিন্দুতে সর্বোচ্চ এবং কোন বিন্দুতে সর্বনিম্ন মান পাওয়া যাবে? [মান: ৫]
১ম ডেরিভেটিভ: \[ rac{dy}{dx} = 6x^2 - 18x + 12\]
চরম মানের জন্য \(\frac{dy}{dx} = 0\):
\[6(x^2 - 3x + 2) = 0 \implies (x - 1)(x - 2) = 0 \implies x = 1, \, 2\]
২য় ডেরিভেটিভ: \[ rac{d^2y}{dx^2} = 12x - 18\]
- \(x = 1\)-এ: \(\frac{d^2y}{dx^2} = 12(1) - 18 = -6 < 0 \rightarrow\) সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান।
সর্বোচ্চ মান: \(y_{max} = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) + 5 = 2 - 9 + 12 + 5 = \mathbf{10}\)
- \(x = 2\)-এ: \(\frac{d^2y}{dx^2} = 12(2) - 18 = +6 > 0 \rightarrow\) সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান।
সর্বনিম্ন মান: \(y_{min} = 2(8) - 9(4) + 12(2) + 5 = 16 - 36 + 24 + 5 = \mathbf{9}\)
\(f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 5\) ফাংশনটির গুরুমান (Maximum) এবং লঘুমান (Minimum) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
সমাধান:
১ম অন্তরজ: \(f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x - 1)(x - 2)\)।
চরম মানের শর্তে \(f'(x) = 0 \implies x = 1, 2\)।
২য় অন্তরজ: \(f''(x) = 12x - 18\)।
- \(x = 1\) বিন্দুতে: \(f''(1) = 12(1) - 18 = -6 < 0 \implies\) গুরুমান বিদ্যমান।
গুরুমান: \(f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) + 5 = 2 - 9 + 12 + 5 = \mathbf{10}\)।
- \(x = 2\) বিন্দুতে: \(f''(2) = 12(2) - 18 = +6 > 0 \implies\) লঘুমান বিদ্যমান।
লঘুমান: \(f(2) = 2(8) - 9(4) + 12(2) + 5 = 16 - 36 + 24 + 5 = \mathbf{9}\)।
ডি ময়াভরের উপপাদ্য (De Moivre's Theorem) বিবৃত করো। উপপাদ্যের সাহায্যে এককের তিনটি ঘনমূল (Cube roots of unity) নির্ণয় করো এবং দেখাও যে জটিল মূলদ্বয়ের একটি অপরটির বর্গ। [মান: ৫]
উপপাদ্য: যেকোনো মূলদ সংখ্যা \(n\)-এর জন্য: \((\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\)।
এককের ঘনমূল:
\(1 = \cos(2k\pi) + i\sin(2k\pi)\), যেখানে \(k = 0, 1, 2\)।
\(1^{1/3} = \cos\frac{2k\pi}{3} + i\sin\frac{2k\pi}{3}\)।
- \(k = 0 \implies 1\)
- \(k = 1 \implies \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \omega\)
- \(k = 2 \implies \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} = \omega^2\)
বর্গ প্রমাণ:
\[\omega^2 = \left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} - 2 \left(\frac{1}{2}\right)\left(i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{[প্রমাণিত]}\]
সমাধান করো: \[\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = x^3\] (যেখানে \(x > 0\))
এটি একটি প্রথম ক্রমের রৈখিক অন্তরক সমীকরণ (First Order Linear Differential Equation) যা \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\) আকারের।
এখানে, \(P(x) = \frac{2}{x}\) এবং \(Q(x) = x^3\)।
সমাকলন গুণক (Integrating Factor, IF):
\[\text{IF} = e^{\int P(x)dx} = e^{\int \frac{2}{x}dx} = e^{2\ln x} = e^{\ln(x^2)} = x^2\]
সমীকরণের সাধারণ সমাধান: \[y \cdot (\text{IF}) = \int Q(x) \cdot (\text{IF}) \, dx + C\]
\[y \cdot x^2 = \int x^3 \cdot x^2 \, dx + C = \int x^5 \, dx + C = \frac{x^6}{6} + C\]
\[y = \frac{x^4}{6} + \frac{C}{x^2}\]
রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাকলন গুণক ও সাধারণ সমাধান পদ্ধতি।
যদি \(\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}\), \(\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}\) এবং \(\vec{c} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}\) হয়, তবে ভেক্টর তিনটি দ্বারা গঠিত সামান্তরিকীয় ঘনবস্তুর (Parallelepiped) আয়তন নির্ণয় করো এবং ভেক্টর তিনটি এক-তলীয় (Coplanar) কি না যাচাই করো।
তিনটি ভেক্টর দ্বারা গঠিত ঘনবস্তুর আয়তন হলো স্কেলার ত্রি-গুণন (Scalar Triple Product): \[V = |[\vec{a} \; \vec{b} \; \vec{c}]| = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|\]
নির্ণায়কের সাহায্যে: \[\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}\]
\[= 2(4 - (-1)) - (-1)(2 - (-3)) + 3(1 - 6) = 2(5) + 1(5) + 3(-5) = 10 + 5 - 15 = 0\]
অতএব, ঘনবস্তুর আয়তন \(V = 0\) ঘন একক।
সিদ্ধান্ত: যেহেতু স্কেলার ত্রি-গুণনের মান শূন্য (\(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0\)), সুতরাং ভেক্টর তিনটি এক-তলীয় (Coplanar)।
ভেক্টর বীজগণিতে স্কেলার ত্রি-গুণন ও এক-তলীয় শর্ত নির্ধারণ।
নিচের অনুচ্ছেদটি বাংলায় অনুবাদ করো (বা ইংরেজিতে অনুবাদ করো):
"কারিগরি শিক্ষা একটি দেশের অর্থনৈতিক সমৃদ্ধির মূল চালিকাশক্তি। দক্ষ ডিপ্লোমা প্রকৌশলীরা বাংলাদেশের শিল্প কারখানা এবং অবকাঠামো উন্নয়নে অনন্য অবদান রাখছেন।" [মান: ৫]
English Translation:
"Technical education is the prime driving force of a country's economic prosperity. Skilled diploma engineers are making outstanding contributions to the industrialization and infrastructure development of Bangladesh."
Write a short technical paragraph (around 80-100 words) on: "The Importance of Renewable Energy in Bangladesh". Focus on solar power, energy security, and environmental benefits. [মান: ৫]
Sample Response:
Renewable energy is vital for ensuring long-term energy security and sustainable industrial growth in Bangladesh. Given the depleting reserves of domestic natural gas and the volatile prices of imported fossil fuels, transitioning to green energy has become an imperative. Solar power offers immense potential due to the country's geographical location with abundant year-round sunlight. Rooftop solar in industrial zones and solar irrigation pumps in rural areas significantly reduce grid pressure and carbon emissions. Expanding wind and biomass power alongside solar energy will diversify the energy mix, foster energy independence, and mitigate the severe impacts of climate change in Bangladesh.
Translate the following passage into English:
প্রকৌশলবিদ্যা কেবল তাত্ত্বিক জ্ঞানের মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়, বরং এটি বাস্তব জীবনের জটিল সমস্যার সৃজনশীল সমাধান প্রদান করে। বর্তমান তথ্যপ্রযুক্তির যুগে কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা ও নবায়নযোগ্য শক্তি জাতীয় অর্থনৈতিক প্রবৃদ্ধির মূল চালিকাশক্তি হিসেবে আবির্ভূত হয়েছে। বাংলাদেশের মতো উন্নয়নশীল দেশের জন্য দক্ষ প্রকৌশলী তৈরি করা একটি অপরিহার্য অগ্রাধিকার।
Model Translation:
"Engineering is not merely confined to theoretical knowledge; rather, it provides creative solutions to the complex problems of real life. In the present era of information technology, artificial intelligence and renewable energy have emerged as the primary driving forces of national economic growth. For a developing country like Bangladesh, producing skilled engineers is an indispensable priority."
Evaluates academic vocabulary, compound-complex sentence structure, and idiomatic precision in English translation.
২য় পত্র: টেকনিক্যাল (বিভাগীয় বিষয়)
সিভিল ইঞ্জিনিয়ারিং (স্পেশালাইজড ইঞ্জিনিয়ারিং)বিভাগ-ক: বহু নির্বাচনি প্রশ্ন (Technical MCQ)
৪০টি প্রশ্ন × ১.৫ নম্বর = ৬০ নম্বর (নেগেটিভ মার্ক ০.২৫)কংক্রিট তৈরিতে পানির সাথে সিমেন্টের ওজন অনুপাত (Water-Cement Ratio) বৃদ্ধি করলে কোনটি ঘটে?
Abrams' Law অনুসারে W/C অনুপাত বাড়লে ওয়ার্ক্যাবিলিটি বাড়ে তবে অতিরিক্ত পানি শুকিয়ে যাওয়ার পর সূক্ষ্ম ছিদ্র সৃষ্টির কারণে কংক্রিটের কম্প্রেসিভ শক্তি উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস পায়।
বালির সূক্ষ্মতা গুণাঙ্ক (Fineness Modulus, FM) 2.6 হতে 2.9 হলে উক্ত বালিকে কোন শ্রেণীর অন্তর্ভুক্ত করা হয়?
ASTM ও BNBC অনুযায়ী: FM 2.2-2.6 মধ্যম বালি, FM 2.6-2.9 মোটা বালি এবং FM 2.9 এর বেশি অতিরিক্ত মোটা বালি হিসেবে গণ্য হয়।
সিমেন্টের সাউন্ডনেস (Soundness) বা আয়তন স্থায়িত্ব পরীক্ষার জন্য কোন যন্ত্রটি ব্যবহৃত হয়?
মুক্ত চুন (Free Lime) ও ম্যাগনেশিয়ার কারণে সিমেন্টের অতিরিক্ত প্রসারণ রোধ ও সাউন্ডনেস যাচাইয়ে লে-শাতেলিয়ার অ্যাপারেটাস ও অটোকেভ টেস্ট ব্যবহৃত হয়। ভিকাট নিডল দিয়ে জমাটবদ্ধ কাল নির্ণয় করা হয়।
লেভেলিংয়ে ব্যাকসাইট (Backsight, BS) পাঠ সর্বদা কোন বিন্দুতে নেওয়া হয়?
যন্ত্র স্থাপনের পর প্রথম যে পাঠটি জানা আরএল (RL) বিশিষ্ট বেঞ্চমার্কে বা চেঞ্জ পয়েন্টে নেওয়া হয় তাকে ব্যাকসাইট বলে।
লেভেলিং যন্ত্রের উচ্চতা পদ্ধতিতে যন্ত্রের অক্ষের উচ্চতা (Height of Instrument, HI) নির্ণয়ের সমীকরণ কোনটি?
কলাইমেশন বা হাইট অব ইনস্ট্রুমেন্ট পদ্ধতিতে: \[HI = RL_{ ext{BM}} + BS\] এবং যেকোনো স্টেশনের \[RL = HI - IS ext{ বা } HI - FS\]।
পৃথিবীর বক্রতার (Curvature) জন্য লেভেলিং পাঠে প্রয়োজনীয় সংশোধন (Curvature Correction, C_c) এর মান কত?
পৃথিবীর বক্রতার কারণে দৃশ্যমান রেখা প্রকৃত অনুভূমিক তলের উপরে অবস্থান করায় স্টাফ পাঠ বেশি আসে। ফলে সংশোধন ঋণাত্মক হয়: \[C_c = - rac{d^2}{2R} pprox -0.0785 d^2 ext{ m}\], যেখানে d কিমি এককে দূরত্ব।
একটি কন্ট্যুর ম্যাপে কন্ট্যুর রেখাসমূহ খুব কাছাকাছি ঘন সন্নিবিষ্ট থাকলে তা ভূমির কোন প্রকৃতি নির্দেশ করে?
কন্ট্যুর রেখাগুলোর মধ্যবর্তী অনুভূমিক দূরত্ব (Horizontal Equivalent) যত কম হয়, ভূমির ঢাল তত বেশি বা খাড়া নির্দেশিত হয়।
হুকের সূত্র (Hooke's Law) স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে পীড়ন ও বিকৃতির কোন সম্পর্ক নির্দেশ করে?
স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে হুকের সূত্র: \[\sigma = E \cdot arepsilon\], যেখানে E হলো ইয়ং এর স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক (Young's Modulus)।
পয়সনের অনুপাত (Poisson's Ratio, ν) বলতে নিচের কোন দুই বিকৃতির অনুপাতকে বোঝায়?
অক্ষীয় বল প্রয়োগের ফলে অক্ষীয় প্রসারণের সাথে লম্ব অভিমুখে সংকোচনের অনুপাতই পয়সনের অনুপাত: \[ u = - rac{ arepsilon_{ ext{lateral}}}{ arepsilon_{ ext{axial}}}\]। স্টিলের ক্ষেত্রে এর মান প্রায় 0.28-0.30।
সমভাবে বিস্তৃত লোড (UDL) বিশিষ্ট সাধারণভাবে স্থাপিত বিমের বেন্ডিং মোমেন্ট ডায়াগ্রামের (BMD) আকার কেমন হয়?
লোড সমীকরণ ধ্রুবক (0 ডিগ্রি), শিয়ার ফোর্স 1ম মাত্রার রৈখিক এবং বেন্ডিং মোমেন্ট সমীকরণ ২য় মাত্রার বহুপদী হওয়ায় প্যারাবলিক বক্ররেখা সৃষ্টি হয়।
বিমের যে বিন্দুতে বেন্ডিং মোমেন্টের মান শূন্য হয় এবং বক্রতার দিক ধনাত্মক হতে ঋণাত্মকে পরিবর্তিত হয় তাকে কী বলে?
ওভারহ্যাংগিং বা অবিচ্ছিন্ন বিমে যেখানে স্যাগিং হতে হগিং মোমেন্টে রূপান্তর ঘটে এবং মোমেন্ট ডায়াগ্রাম শূন্য অক্ষ অতিক্রম করে তাকে পয়েন্ট অব কন্ট্রাফ্লেক্সার বলে।
ফ্লেক্সারাল সূত্র (Bending Stress Formula) অনুসারে বিমের প্রস্থচ্ছেদে বেন্ডিং স্ট্রেসের সঠিক সমীকরণ কোনটি?
বিশুদ্ধ বেন্ডিং সমীকরণ: \[ rac{M}{I} = rac{\sigma}{y} = rac{E}{R} \implies \sigma = rac{M y}{I}\], যেখানে y নিরপেক্ষ অক্ষ হতে দূরত্ব এবং I জড়তার ভ্রামক।
বৃত্তাকার শ্যাফটের টরশন সূত্রে পোলার সেকশন মডুলাস (Z_p) এর মান d ব্যাসের শ্যাফটের জন্য কত?
পোলার মোমেন্ট অব ইনার্শিয়া \[J = rac{\pi d^4}{32}\]। সর্বোচ্চ ব্যাসার্ধ \[r = rac{d}{2}\]। সুতরাং \[Z_p = rac{J}{r} = rac{\pi d^3}{16}\]।
ইউলারের সূত্র অনুসারে উভয় প্রান্ত ফিক্সড (Fixed-Fixed) কলামের কার্যকরী দৈর্ঘ্য (Effective Length, L_e) কত?
উভয় প্রান্ত সম্পূর্ণ দৃঢ়ভাবে আবদ্ধ থাকলে ইনফ্লেকশন বিন্দুর মধ্যকার কার্যকরী দৈর্ঘ্য মূল দৈর্ঘ্যের অর্ধেক হয় (L_e = 0.5 L বা L/2)।
তরলে নিমজ্জিত সমতল উল্লম্ব পৃষ্ঠে কার্যকর মোট হাইড্রোস্ট্যাটিক বল (Total Pressure, F) এর সূত্র কোনটি?
হাইড্রোস্ট্যাটিক বল ক্ষেত্রফলের সেন্ট্রয়েডের গভীরতায় চাপের সমান: \[F = P_{ ext{avg}} imes A = ( ho g ar{h}) A = w A ar{h}\]।
পাইপে প্রবাহিত পানির হেড লস (Head Loss) নির্ণয়ে ডার্সি-ওয়েইসব্যাক (Darcy-Weisbach) সূত্র কোনটি?
ডার্সি-ওয়েইসব্যাক সূত্রানুযায়ী পাইপে ঘর্ষণজনিত হেড লস: \[h_f = rac{f L v^2}{2 g D}\], যেখানে f ডার্সি ঘর্ষণ সহগ এবং v প্রবাহ বেগ।
ম্যানিংয়ের সূত্রে উন্মুক্ত খালের হাইড্রোলিক ব্যাসার্ধ (Hydraulic Radius, R) এর সংজ্ঞা কোনটি?
হাইড্রোলিক ব্যাসার্ধ হলো প্রবাহ ক্ষেত্রফল এবং পানির সংস্পর্শে থাকা চ্যানেলের তলার পরিসীমার অনুপাত: \[R = rac{A}{P}\]।
একটি উন্মুক্ত খালে ফ্রউড সংখ্যা (Froude Number, Fr) > 1.0 হলে উক্ত প্রবাহকে কী বলা হয়?
Fr = v / √(g y_h); Fr < 1 হলে সাবক্রিটিক্যাল বা শান্ত প্রবাহ, Fr = 1 হলে সংকট প্রবাহ এবং Fr > 1 হলে অতিসংকট বা সুপারক্রিটিক্যাল প্রবাহ।
মৃত্তিকা বলবিদ্যায় মাটির শূন্যস্থান অনুপাত (Void Ratio, e) এবং রন্ধ্রতার (Porosity, n) সঠিক সম্পর্ক কোনটি?
মৃত্তিকার দশা চিত্রে: \[e = rac{V_v}{V_s} = rac{n}{1 - n}\] এবং \[n = rac{V_v}{V} = rac{e}{1 + e}\]।
সম্পূর্ণ সম্পৃক্ত মাটিতে (Fully Saturated Soil) সম্পৃক্তি মাত্রা (Degree of Saturation, S) এর মান কত?
ডিগ্রি অব স্যাচুরেশন: \[S = rac{V_w}{V_v} imes 100\%\]। সমস্ত রন্ধ্রে পানি পূর্ণ থাকলে V_w = V_v হওয়ায় S = 100%।
মাটির প্লাস্টিসিটি ইনডেক্স (Plasticity Index, PI) নির্ণয়ের সঠিক সূত্র কোনটি?
অ্যাটারবার্গ লিমিট অনুসারে প্লাস্টিসিটি সূচক হলো তরল সীমা (Liquid Limit, LL) এবং প্লাস্টিক সীমার (Plastic Limit, PL) ব্যবধান: \[PI = LL - PL\]।
ডিমেনশনাল ডায়নামিকসে ডার্সির সূত্র (Darcy's Law) অনুসারে মাটিতে পানির নিঃসরণ বেগ (v) কিসের সমানুপাতিক?
ল্যামিনার প্রবাহে ডার্সির সূত্র: \[v = k \cdot i\], যেখানে k হলো মাটির পারমিয়্যাবিলিটি সহগ এবং i হলো হাইড্রোলিক গ্রেডিয়েন্ট (h/L)।
টারজাঘির একক বিয়ারিং ক্ষমতা সমীকরণে স্ট্রিপ ফুটিংয়ের (Strip Footing) জন্য আলটিমেট ভারবহন ক্ষমতা (q_ult) কোনটি?
Karl Terzaghi-র ক্লাসিকাল অগভীর ভিত্তির সমীকরণ: \[q_u = c N_c + \gamma D_f N_q + 0.5 \gamma B N_\gamma\]। বর্গাকার হলে প্রথম পদে 1.3 এবং শেষ পদে 0.4 গুণ হয়।
হাইওয়েতে অনুভূমিক বাঁকে কেন্দ্রাতিগ বল (Centrifugal Force) প্রশমিত করতে রাস্তার বাইরের ধার ভেতরের ধার অপেক্ষা উঁচুকরণকে কী বলে?
যানবাহন উল্টে যাওয়া বা স্কিডিং রোধ করতে বাঁকে বাইরের কিনারা উঁচুকরণকে সুপার-এলিভেশন বলে, যার সূত্র: \[e + f = rac{v^2}{127 R}\]।
সড়কের পৃষ্ঠ হতে বৃষ্টির পানি নিষ্কাশনের সুবিধার্থে রাস্তার কেন্দ্রের অংশকে দুই পাশের চেয়ে সামান্য উঁচুকরণকে কী বলা হয়?
রাস্তার পৃষ্ঠ থেকে দ্রুত বৃষ্টির পানি পার্শ্ব ড্রেনে সরিয়ে ফুটপাথকে সুরক্ষিত রাখতে ট্রান্সভার্স ঢাল বা ক্যাম্বার প্রদান করা হয়।
বিশুদ্ধ পানির 5-দিনের বায়োকেমিক্যাল অক্সিজেন ডিমান্ড (BOD₅) সাধারণত কত হওয়া উচিত?
বিশুদ্ধ ও পানযোগ্য প্রাকৃতিক পানির BOD₅ মান 1-2 ppm (বা mg/L) এর কম থাকে। মান যত বাড়ে পানি তত জৈব দূষণে দূষিত।
পানীয় জল শোধনাগারে রোগ সৃষ্টিকারী ক্ষতিকর জীবাণু ধ্বংসের জন্য ক্লোরিনেশন প্রক্রিয়াকে কী বলা হয়?
পানির প্যাথোজেনিক ব্যাকটেরিয়া ধ্বংস করতে ক্লোরিন, ওজোন বা অতিবেগুনি রশ্মি প্রয়োগকে ডিসইনফেকশন বা জীবাণুমুক্তকরণ বলে।
আরসিসি ডিজাইনে টেনসাইল রডের নূন্যতম রিইনফোর্সমেন্ট রেশিও (ρ_min) নির্ধারণের মূল উদ্দেশ্য কী?
কংক্রিট টেনশনে ফেটে যাওয়ার সাথে সাথে যাতে সম্পূর্ণ বিম ধসে না পড়ে রড লোড বহন করে প্লাস্টিক ডিফর্মেশন দেখাতে পারে এজন্য \[ ho_{\min} = rac{1.4}{f_y}\] নিশ্চিত করা হয়।
আরসিসি বিমে আন্ডার-রিইনফোর্সড (Under-Reinforced) ডিজাইনে ব্যর্থতার প্রকৃতি কেমন হয়?
আন্ডার-রিইনফোর্সড বিমে কংক্রিট ভাঙার পূর্বেই স্টিল ইল্ডিং সীমায় পৌঁছে প্রসারিত হয়, ফলে বিমে বড় ধরনের ডিফ্লেকশন ও ফাটলের মাধ্যমে আগাম সতর্কবার্তা পাওয়া যায়।
আরসিসি বিমে ডায়াগোনাল টেনশন ফাটল (Diagonal Tension Crack) সাধারণত কোন অঞ্চলে দেখা যায়?
সাপোর্টের সন্নিকটে সর্বোচ্চ শিয়ার বল এবং বেন্ডিং পীড়নের লব্ধির ফলে 45 ডিগ্রি কোণে ডায়াগোনাল টেনশন সৃষ্টি হয়, যা প্রতিরোধে খাড়া স্টিরাপ (Stirrups) দেওয়া হয়।
একটি দ্বিমুখী স্ল্যাবের (Two-Way Slab) দীর্ঘতম স্প্যান (L) ও সংক্ষিপ্ত স্প্যানের (S) অনুপাত (L/S) কত হতে হয়?
স্ল্যাবের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 2.0 এর কম হলে লোড উভয় দিকে বণ্টিত হয় এবং তাকে টু-ওয়ে স্ল্যাব বলে। অনুপাত 2.0 বা বেশি হলে ওয়ান-ওয়ে স্ল্যাব।
কলামে টাই বার (Ties) বা ল্যাটারাল স্পাইরাল ব্যবহারের প্রধান কাঠামোগত উদ্দেশ্য কোনটি?
টাই বার প্রধান ভার্টিক্যাল রডগুলোকে তাদের নির্ধারিত অবস্থানে দৃঢ়ভাবে ধরে রাখে এবং উচ্চ কম্প্রেসিভ লোডে রডের বাইরের দিকে বাঁকা বা বাকলিং হওয়া প্রতিহত করে।
প্রজেক্ট ম্যানেজমেন্টে ক্রিটিক্যাল পাথ (Critical Path Method, CPM) বলতে নিচের কোনটিকে বোঝায়?
ক্রিটিক্যাল পাথ হলো প্রজেক্ট নেটওয়ার্কের সবচেয়ে দীর্ঘ অবিচ্ছিন্ন পথ যা সমাপ্ত করতে সর্বোচ্চ সময় লাগে। এই পাথের কোনো কাজের বিলম্ব হলে সমগ্র প্রকল্প বিলম্বিত হয় (Total Float = 0)।
স্টিলে কার্বনের শতকরা পরিমাণ বৃদ্ধি করলে স্টিলের যান্ত্রিক বৈশিষ্ট্যে কোন পরিবর্তন ঘটে?
কার্বন বৃদ্ধি করলে পার্লাইট ও সিমেন্টাইট স্তর গঠনের ফলে উপাদান শক্ত ও মজবুত হয় কিন্তু এটি সহজে নমনীয় হতে পারে না অর্থাৎ ভঙ্গুরতা বাড়ে ও ডাকটিলিটি কমে।
মৃদু ইস্পাতের (Mild Steel) জন্য আদর্শ ইয়ং মডুলাস (Modulus of Elasticity, E) এর মান কত?
কাঠামোগত স্টিলের ক্ষেত্রে স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক প্রায় 200 GPa বা 29,000 ksi। কংক্রিটের ক্ষেত্রে এটি প্রায় 20-30 GPa।
সাধারণ ইটের আদর্শ পরিমাপ (Standard Modular Size of Brick in Bangladesh, মসলা ছাড়া) কোনটি?
BDS 208 ও PWD শিডিউল অনুযায়ী ঐতিহ্যবাহী বাংলাদেশী ইটের সাইজ 9.5 ইঞ্চি × 4.5 ইঞ্চি × 2.75 ইঞ্চি।
কাঠামোগত ট্রাসে (Truss) মেম্বারসমূহের সংযোগস্থলকে সাধারণত কী প্রকৃতির জয়েন্ট বিবেচনা করা হয়?
আইডিয়াল ট্রাস তত্ত্বে প্রতিটি নোড বা জয়েন্টকে ঘর্ষণহীন পিন ধরা হয় যাতে মেম্বারে কেবল অক্ষীয় টানা (Tension) বা চাপ (Compression) বল কাজ করে এবং বেন্ডিং মোমেন্ট শূন্য থাকে।
কংক্রিট ঢালাইয়ের পর পানির সংস্পর্শে শক্তিবৃদ্ধি প্রক্রিয়ার জন্য প্রয়োজনীয় আর্দ্রকরণ প্রক্রিয়াকে কী বলে?
সিমেন্টের পূর্ণ হাইড্রেশনের মাধ্যমে কাঙ্ক্ষিত শক্তি অর্জন এবং শুষ্ক সংকোচনজনিত ফাটল রোধে কমপক্ষে ৭-২৮ দিন ভিজিয়ে রাখাকে কিউরিং বলে।
সাধারণ পোর্টল্যান্ড সিমেন্টের (OPC) প্রাথমিক জমাটবদ্ধ কাল (Initial Setting Time) ন্যূনতম কত?
BDS ও ASTM C150 মান অনুযায়ী সাধারণ পোর্টল্যান্ড সিমেন্টের প্রাথমিক জমাটবদ্ধ কাল ন্যূনতম 30 মিনিট এবং চূড়ান্ত কাল সর্বোচ্চ 600 মিনিট (10 ঘণ্টা)।
কংক্রিটের স্ট্যান্ডার্ড কিউব টেস্টের (Compressive Strength) আদর্শ সাইজ কোনটি?
BS ও ASTM মান অনুযায়ী কংক্রিটের স্ট্যান্ডার্ড কিউব সাইজ 150 mm এবং সিলিন্ডারের সাইজ 150 mm ব্যাস × 300 mm উচ্চতা।
বিভাগ-খ: টেকনিক্যাল লিখিত প্রশ্ন (Technical Written/CQ)
১৮টি প্রশ্ন × ৫ নম্বর = ৯০ নম্বরপূর্ণ বৃত্ত বিয়ারিং (WCB) এবং হ্রাসকৃত বিয়ারিং (RB)-এর মধ্যে পার্থক্য কী? নিচের WCB মানগুলোকে সমতুল্য কোয়াড্রেন্টাল/হ্রাসকৃত বিয়ারিংয়ে (RB) রূপান্তর করো:
(i) \(45^\circ 30'\)
(ii) \(130^\circ 15'\)
(iii) \(240^\circ 00'\)
(iv) \(315^\circ 45'\) [মান: ৫]
পার্থক্য: WCB উত্তর দিক থেকে ক্লকওয়াইজ \(0^\circ - 360^\circ\) মাপা হয়; RB উত্তর বা দক্ষিণ থেকে পূর্ব বা পশ্চিমে \(0^\circ - 90^\circ\) মাপা হয় (যেমন: N\(\theta\)E)।
রূপান্তর:
(i) \(45^\circ 30'\) (১ম চতুর্ভাগ) \(\rightarrow\) N \(45^\circ 30'\) E
(ii) \(130^\circ 15'\) (২য় চতুর্ভাগ) \(\rightarrow 180^\circ - 130^\circ 15' =\) S \(49^\circ 45'\) E
(iii) \(240^\circ 00'\) (৩য় চতুর্ভাগ) \(\rightarrow 240^\circ - 180^\circ =\) S \(60^\circ 00'\) W
(iv) \(315^\circ 45'\) (৪র্থ চতুর্ভাগ) \(\rightarrow 360^\circ - 315^\circ 45' =\) N \(44^\circ 15'\) W
একটি সিম্পল সার্কুলার কার্ভের ব্যাসার্ধ \(R = 300\,\text{m}\) এবং ডিফ্লেকশন কোণ \(\Delta = 60^\circ\)।
(ক) ট্যাঞ্জেন্ট দৈর্ঘ্য (\(T\)) নির্ণয় করো।
(খ) কার্ভের দৈর্ঘ্য (\(L\)) এবং অ্যাপেক্স দূরত্ব (\(E\)) কত? [মান: ৫]
গণনা:
(ক) ট্যাঞ্জেন্ট দৈর্ঘ্য: \[T = R \tan(\Delta / 2) = 300 \times \tan(30^\circ) = 300 \times 0.57735 = \mathbf{173.205\,\text{m}}\]
(খ) কার্ভের দৈর্ঘ্য: \[L = \frac{\pi R \Delta}{180^\circ} = \frac{3.1416 \times 300 \times 60}{180} = \pi \times 100 = \mathbf{314.16\,\text{m}}\]
অ্যাপেক্স দূরত্ব: \[E = R [\sec(\Delta / 2) - 1] = 300 \times [\sec(30^\circ) - 1] = 300 \times [1.1547 - 1] = 300 \times 0.1547 = \mathbf{46.41\,\text{m}}\]
একটি \(6\,\text{m}\) দীর্ঘ সাধারণভাবে সমর্থিত (Simply Supported) বিমের কেন্দ্রবিন্দুতে একটি \(12\,\text{kN}\) একক বিন্দু লোড (Point Load) প্রয়োগ করা আছে।
(ক) সাপোর্ট রিঅ্যাকশনদ্বয় নির্ণয় করো।
(খ) শেয়ার ফোর্স ডায়াগ্রাম (SFD) এবং বেন্ডিং মোমেন্ট ডায়াগ্রাম (BMD) অঙ্কন করো এবং সর্বোচ্চ মোমেন্টের মান দেখাও। [মান: ৫]
গণনা:
(ক) প্রতিসাম্যের কারণে সাপোর্ট রিঅ্যাকশন: \[R_A = R_B = \frac{12}{2} = \mathbf{6\,\text{kN}}\]
(খ) SFD:
- \(x = 0\) থেকে \(3\,\text{m}\) (বাম অংশ): \(SF = +6\,\text{kN}\) (সোজা অনুভূমিক রেখা)
- \(x = 3\,\text{m}\)-এ: \(SF = 6 - 12 = -6\,\text{kN}\)
- \(x = 3\,\text{m}\) থেকে \(6\,\text{m}\): \(SF = -6\,\text{kN}\)
BMD:
- প্রান্তে মোমেন্ট \(M_A = M_B = 0\)।
- কেন্দ্রবিন্দুতে সর্বোচ্চ বেন্ডিং মোমেন্ট: \[M_{max} = \frac{W L}{4} = \frac{12 \times 6}{4} = \mathbf{18\,\text{kN}\cdot\text{m}}\]
মোমেন্ট ডায়াগ্রাম দুই প্রান্তে সরলরৈখিকভাবে শূন্য থেকে কেন্দ্রে \(18\,\text{kN}\cdot\text{m}\) পর্যন্ত উঠবে (ত্রিভুজাকার)।
বিমের বেন্ডিং পীড়নের সমীকরণ \(\frac{M}{I} = \frac{\sigma}{y} = \frac{E}{R}\) বিবৃত করো। \(200\,\text{mm} \times 300\,\text{mm}\) আকারের একটি আয়তাকার বিমের সেকশন মডুলাস (\(Z\)) এবং জড়তার ভ্রামক (\(I_x\)) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
ফ্লেক্সার সমীকরণ: বিমে খাঁটি বেন্ডিংয়ের ক্ষেত্রে বেন্ডিং মোমেন্ট \(M\), জড়তার ভ্রামক \(I\), নিরপেক্ষ অক্ষ থেকে দূরত্ব \(y\), বেন্ডিং স্ট্রেস \(\sigma\), ইলাস্টিক মডুলাস \(E\) এবং বক্রতার ব্যাসার্ধ \(R\)-এর অনুপাত সমান।
গণনা (\(b = 200\,\text{mm}, d = 300\,\text{mm}\)):
১. জড়তার ভ্রামক (Neutral axis-এর সাপেক্ষে): \[I_x = \frac{b d^3}{12} = \frac{200 \times (300)^3}{12} = \frac{200 \times 2.7 \times 10^7}{12} = \mathbf{4.5 \times 10^8\,\text{mm}^4}\]
২. সেকশন মডুলাস: \[Z = \frac{b d^2}{6} = \frac{200 \times (300)^2}{6} = \frac{200 \times 90000}{6} = \mathbf{3.0 \times 10^6\,\text{mm}^3}\]
একটি আয়তাকার প্রস্থচ্ছেদের বিমে শেয়ার পীড়নের সমীকরণ \(\tau = \frac{V Q}{I b}\) ব্যাখ্যা করো। প্রমাণ করো যে আয়তাকার বিমে সর্বোচ্চ শিয়ার পীড়ন গড় শিয়ার পীড়নের ১.৫ গুণ (\(\tau_{max} = 1.5 \tau_{avg}\))। [মান: ৫]
প্রমাণ:
আয়তাকার সেকশন (\(b \times d\)):
গড় শিয়ার পীড়ন: \(\tau_{avg} = \frac{V}{b \cdot d}\)
নিরপেক্ষ অক্ষ থেকে \(y\) দূরত্বে শিয়ার পীড়ন: \[ au = \frac{V}{2 I} \left( \frac{d^2}{4} - y^2 \right)\]
সর্বোচ্চ পীড়ন ঘটে নিরপেক্ষ অক্ষে (\(y = 0\)):
\[ au_{max} = \frac{V}{2 I} \cdot \frac{d^2}{4} = \frac{V d^2}{8 \left( \frac{b d^3}{12} \right)} = \frac{12 V d^2}{8 b d^3} = \frac{3}{2} \frac{V}{b d} = \mathbf{1.5 \tau_{avg}}\] (প্রমাণিত)
RCC বিমে খাড়া স্টিরাপ (Vertical Stirrups) ব্যবহারের উদ্দেশ্য কী? ACI কোড অনুযায়ী স্টিরাপ স্পেসিং (\(s\))-এর সূত্র \(s = \frac{A_v f_y d}{V_s}\) ব্যাখ্যা করো এবং সর্বোচ্চ অনুমোদিত স্পেসিংয়ের সীমাবদ্ধতা লেখ। [মান: ৫]
উদ্দেশ্য: বিমের প্রান্তে অতিরিক্ত শেয়ার ফোর্সের কারণে সৃষ্ট \(45^\circ\) কোণের ডায়াগোনাল টেনশন ক্র্যাক (Diagonal tension crack) প্রতিরোধ করা।
সূত্র ব্যাখ্যা:
- \(A_v\): স্টিরাপের দুই পায়ের মোট ক্ষেত্রফল
- \(f_y\): স্টিলের ইল্ড স্ট্রেন্থ
- \(d\): বিমের কার্যকর গভীরতা
- \(V_s\): স্টিরাপ কর্তৃক বহনযোগ্য অতিরিক্ত শেয়ার বল (\(V_s = V_u - \phi V_c\))
সর্বোচ্চ স্পেসিং সীমাবদ্ধতা:
\(s_{max} \le \frac{d}{2}\) অথবা \(24\,\text{inches} (600\,\text{mm})\)। যদি \(V_s > 0.33\sqrt{f_c'} b_w d\) হয় তবে \(s_{max} \le d/4\)।
কংক্রিট ও স্টিলের মধ্যে বন্ড (Bond) কী? ডেভেলপমেন্ট দৈর্ঘ্য (Development Length, \(L_d\))-এর প্রয়োজনীয়তা কী? যদি পর্যাপ্ত ডেভেলপমেন্ট দৈর্ঘ্য না দেওয়া হয় তবে কী ঘটবে? [মান: ৫]
বন্ডের ধারণা: স্টিল ও কংক্রিটের ইন্টারফেসে সৃষ্ট আঠালো ঘর্ষণ বল (Adhesion and friction) যার মাধ্যমে দুটি উপাদান একসাথে একক কাঠামো হিসেবে আচরণ করে।
ডেভেলপমেন্ট লেন্থ: স্টিলের সম্পূর্ণ ইল্ড স্ট্রেস (\(f_y\)) কংক্রিটে নিরাপদে স্থানান্তরিত করার জন্য কংক্রিটের ভেতরে রডকে ন্যূনতম যে দৈর্ঘ্য পর্যন্ত প্রবেশ করাতে হয়, তাকে ডেভেলপমেন্ট দৈর্ঘ্য বলে।
পর্যাপ্ত না হলে পরিণতি: লোড বাড়লে রড কংক্রিট থেকে পিছলে (Bond failure / Pull-out) বেরিয়ে আসবে এবং বিম বা জয়েন্ট সম্পূর্ণ ব্যর্থ হবে।
বার্নোলির উপপাদ্য (Bernoulli's Theorem) বিবৃত করো এবং এর শর্তাবলী লেখ। ভেনচুরিমিটারের (Venturimeter) মধ্য দিয়ে পানি প্রবাহের ডিসচার্জের সূত্র \(Q = \frac{C_d a_1 a_2}{\sqrt{a_1^2 - a_2^2}} \sqrt{2gh}\) ব্যাখ্যা করো। [মান: ৫]
বিবৃতি: কোনো অবিচ্ছিন্ন, ঘর্ষণহীন ও অসংকোচনীয় তরলের ধারারেখ প্রবাহে প্রতিটি বিন্দুতে প্রেসার হেড, ভেলোসিটি হেড এবং ডেটাম হেডের সমষ্টি সর্বদা ধ্রুবক থাকে: \[ rac{P}{\gamma} + \frac{v^2}{2g} + z = \text{Constant}\]
শর্তসমূহ: তরল আদর্শ, অসংকোচনীয়, ঘর্ষণহীন (অসান্দ্র) এবং প্রবাহ স্থির (Steady) হতে হবে।
ভেনচুরিমিটার সমীকরণ:
- \(a_1\): ইনলেট পাইপের প্রস্থচ্ছেদ
- \(a_2\): সরু থ্রোটের (Throat) প্রস্থচ্ছেদ
- \(h\): ইনলেট ও থ্রোটের মধ্যকার প্রেসার হেড পার্থক্য (\(\frac{P_1 - P_2}{\gamma}\))
- \(C_d\): ডিসচার্জ সহগ (\(0.96 - 0.98\))
পাইপে ঘর্ষণজনিত হেড লস নির্ণয়ের ডার্সি-ওয়েসবাখ সমীকরণ \(h_f = \frac{4 f L v^2}{2 g d}\) ব্যাখ্যা করো। একটি \(200\,\text{m}\) দীর্ঘ ও \(0.1\,\text{m}\) ব্যাসের পাইপে পানির গতিবেগ \(2\,\text{m/s}\) এবং ঘর্ষণ সহগ \(f = 0.005\) হলে হেড লস কত? [মান: ৫]
গণনা:
- \(L = 200\,\text{m}\)
- \(d = 0.1\,\text{m}\)
- \(v = 2\,\text{m/s}\)
- \(f = 0.005\)
- \(g = 9.81\,\text{m/s}^2\)
\[h_f = \frac{4 \times 0.005 \times 200 \times (2)^2}{2 \times 9.81 \times 0.1} = \frac{4 \times 0.005 \times 200 \times 4}{1.962} = \frac{16}{1.962} = \mathbf{8.155\,\text{m}}\]
অতএব পাইপে ঘর্ষণজনিত হেড লস \(8.155\,\text{m}\)।
রেনল্ডস সংখ্যা (Reynolds Number, \(R_e\))-এর সংজ্ঞা ও সমীকরণ দাও। পাইপের মধ্য দিয়ে প্রবাহের ক্ষেত্রে ল্যামিনার (Laminar) ও টার্বুলেন্ট (Turbulent) প্রবাহের জন্য \(R_e\)-এর সীমারেখা কত? [মান: ৫]
সংজ্ঞা: তরল প্রবাহে জড়তা বল (Inertia force) এবং সান্দ্রতা বলের (Viscous force) অনুপাতকে রেনল্ডস সংখ্যা বলে: \[R_e = \frac{\rho v d}{\mu} = \frac{v d}{\nu}\]
- \(\rho\): তরলের ঘনত্ব, \(v\): প্রবাহের বেগ, \(d\): পাইপের ব্যাস, \(\mu\): ডাইনামিক সান্দ্রতা, \(\nu\): কাইনেমেটিক সান্দ্রতা।
প্রবাহের সীমারেখা:
১. Laminar Flow: \(R_e < 2000\) (তরলের কণাগুলো সমান্তরাল স্তরে স্তরে প্রবাহিত হয়)।
২. Transition: \(2000 \le R_e \le 4000\)
৩. Turbulent Flow: \(R_e > 4000\) (কণাগুলোর গতি এলোমেলো ও বিশৃঙ্খল হয়)।
মাটির ভয়েড রেশিও (\(e\)) এবং পোরোসিটি (\(n\))-এর সংজ্ঞা দাও। প্রমাণ করো যে \(n = \frac{e}{1 + e}\) এবং \(e = \frac{n}{1 - n}\)। যদি কোনো মাটির \(e = 0.80\) হয়, তবে তার পোরোসিটি কত? [মান: ৫]
সংজ্ঞা:
- \(e = V_v / V_s\) (ভয়েডের আয়তন ও কঠিন অংশের আয়তনের অনুপাত)
- \(n = V_v / V\) (ভয়েডের আয়তন ও মাটির মোট আয়তনের অনুপাত)
প্রতিপাদন:
মোট আয়তন \(V = V_s + V_v\)।
\[n = \frac{V_v}{V} = \frac{V_v}{V_s + V_v} = \frac{V_v / V_s}{1 + V_v / V_s} = \mathbf{\frac{e}{1 + e}}\]
পুনর্বিন্যাস করে: \[n (1 + e) = e \implies n + n e = e \implies e(1 - n) = n \implies \mathbf{e = \frac{n}{1 - n}}\]
গণনা (\(e = 0.80\)): \[n = \frac{0.80}{1 + 0.80} = \frac{0.80}{1.80} = 0.444 = \mathbf{44.44\%}\]
মাটির শিয়ার স্ট্রেন্থের জন্য মোহর-কুলম্ব সমীকরণ \(\tau_f = c + \sigma \tan\phi\) ব্যাখ্যা করো। কোহেশনহীন বালুকা মাটির (Sand) এবং বিশুদ্ধ কাদার (Clay) জন্য সমীকরণটি কেমন হবে? [মান: ৫]
সমীকরণ ব্যাখ্যা:
- \(\tau_f\): মাটির সর্বোচ্চ শিয়ার প্রতিরোধ ক্ষমতা
- \(c\): সংযুক্তি বা সংশক্তি (Cohesion)
- \(\sigma\): শিয়ার তলের উপর লম্ব বা নরমাল স্ট্রেস (Normal stress)
- \(\phi\): অভ্যন্তরীণ ঘর্ষণ কোণ (Angle of internal friction)
বিশেষ ক্ষেত্রে রূপ:
১. বালুকা মাটি (Pure Sand, \(c = 0\)): \[\mathbf{\tau_f = \sigma \tan\phi}\] (সম্পূর্ণ ঘর্ষণ নির্ভর)
২. সম্পৃক্ত বিশুদ্ধ কাদা (Pure Clay under undrained condition, \(\phi = 0\)): \[\mathbf{\tau_f = c_u}\] (সম্পূর্ণ কোহেশন নির্ভর)
একটি সারফেস ওয়াটার ট্রিটমেন্ট প্ল্যান্টের (Water Treatment Plant) প্রধান ধাপগুলোর নাম লিখে একটি ফ্লোচার্ট আঁকো। অ্যালুম (Alum) কোয়াগুল্যান্টের কাজ কী? [মান: ৫]
ট্রিটমেন্ট প্ল্যান্ট ফ্লোচার্ট:
নদীর পানি \(\rightarrow\) স্ক্রিনিং (Screening) \(\rightarrow\) কোয়াগুলেশন ও ফ্লকুলেশন (Alum যোগ করে) \(\rightarrow\) সেডিমেন্টেশন বা থিতানো (Sedimentation) \(\rightarrow\) দ্রুত বালুকা ফিল্ট্রেশন (Rapid Sand Filtration) \(\rightarrow\) ক্লোরিনেশন বা জীবাণুমুক্তকরণ (Disinfection) \(\rightarrow\) নিরাপদ পানির রিজার্ভার \(\rightarrow\) সরবরাহ নেটওয়ার্ক।
অ্যালুমের কাজ: পানির ভাসমান অতি-সূক্ষ্ম ঋণাত্মক চার্জযুক্ত ঘোলাটে কলয়েডাল কণাগুলোর চার্জ প্রশমিত করে বড় ফ্লক (Floc) তৈরি করা, যাতে দ্রুত নিচে তলানি পড়ে।
একটি 6 m স্প্যানের সাধারণভাবে স্থাপিত বিমের বাম প্রান্ত হতে 2 m দূরত্বে একটি 21 kN বিন্দু লোড এবং সম্পূর্ণ স্প্যান জুড়ে 5 kN/m সমভাবে বিস্তৃত লোড (UDL) কার্যকর রয়েছে। সাপোর্ট প্রতিক্রিয়া নির্ণয় করো এবং শিয়ার ফোর্স ডায়াগ্রাম (SFD) ও বেন্ডিং মোমেন্ট ডায়াগ্রাম (BMD) অঙ্কন করো। [মান: ৫]
১. সাপোর্ট রিঅ্যাকশন:
\(\sum M_A = 0 \implies R_B imes 6 - 21 imes 2 - (5 imes 6) imes rac{6}{2} = 0\)
\[R_B = 29.0 ext{ kN}, \quad R_A = 22.0 ext{ kN}\]
২. ক্রিটিক্যাল সেকশনে মোমেন্ট:
যে বিন্দুতে শিয়ার ফোর্স শূন্য হয় সেখানে সর্বোচ্চ বেন্ডিং মোমেন্ট সংঘটিত হয়। ডায়াগ্রামের গুরুত্বপূর্ণ বিন্দুসমূহ যথানিয়মে চিহ্নিত করা হলো।
বিমের ভারসাম্য সমীকরণ, সাপোর্ট প্রতিক্রিয়া ও এসএফডি-বিএমডি অঙ্কন।
একটি নিরেট বৃত্তাকার শ্যাফটের ব্যাস 65 mm। শ্যাফটটিতে 2.7 kN·m টর্ক প্রয়োগ করলে শ্যাফটের বহিঃপৃষ্ঠে সৃষ্ট সর্বোচ্চ শিয়ার পীড়ন (Maximum Shear Stress) কত হবে? [মান: ৫]
১. পোলার মোমেন্ট অব ইনার্শিয়া:
\[J = rac{\pi d^4}{32} = rac{\pi imes 65^4}{32} = 1752481.0 ext{ mm}^4\]
২. সর্বোচ্চ শিয়ার স্ট্রেস:
\[ au_{max} = rac{T \cdot r}{J} = rac{2.7 imes 10^6 imes 32.5}{1752481.0} = 50.07 ext{ MPa}\]
টর্শন ফর্মুলা ও পোলার মোমেন্ট অব ইনার্শিয়া প্রয়োগ।
একটি 520 m দীর্ঘ এবং 0.2 m ব্যাসের কাস্ট আয়রন পাইপের মধ্য দিয়ে 1.6 m/s বেগে পানি প্রবাহিত হচ্ছে। ঘর্ষণ গুণাঙ্ক \(f = 0.02\) হলে ডার্সি-ওয়েইসবাক সমীকরণ ব্যবহার করে পাইপটিতে ঘর্ষণজনিত হেড লস (Head loss due to friction, \(h_f\)) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
ডার্সি-ওয়েইসবাক সমীকরণ:
\[h_f = rac{f L v^2}{2 g d}\]
\[h_f = rac{0.02 imes 520 imes 1.6^2}{2 imes 9.81 imes 0.2} = rac{26.624}{3.924} = 6.78 ext{ m}\]
পাইপ প্রবাহে ফ্রিকশন হেড লস সমীকরণ।
ধ্রুবক হেড পারমিয়ামিটার (Constant Head Permeability Test) পরীক্ষায় নমুনার দৈর্ঘ্য \(L = 15.0\) cm এবং ব্যাস 10 cm। 31 cm ধ্রুবক হেড পার্থক্যে 120 সেকেন্ডে 205 cm³ পানি সংগৃহীত হলে মাটির ব্যাপ্তিযোগ্যতা গুণাঙ্ক (Coefficient of Permeability, \(k\)) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
ডার্সির সূত্রানুসারে ব্যাপ্তিযোগ্যতা:
প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল: \[A = rac{\pi imes 10^2}{4} = 78.54 ext{ cm}^2\]
\[k = rac{Q \cdot L}{A \cdot h \cdot t} = rac{205 imes 15.0}{78.54 imes 31 imes 120} = 0.01052 ext{ cm/s}\]
কনস্ট্যান্ট হেড টেস্ট ও ডার্সির সূত্র প্রয়োগ।
একটি দ্বিমুখী দুই-লেনের সড়কে ডিজাইন বেগ \(V = 75\) km/h। চালকের প্রতিক্রিয়া সময় 2.5 সেকেন্ড এবং অনুদৈর্ঘ্য ঘর্ষণ সহগ \(f = 0.35\) হলে সড়কটির প্রয়োজনীয় নিরাপদ থামা দৃষ্টি দূরত্ব (Stopping Sight Distance, SSD) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
SSD সমীকরণ:
বেগ \(v = rac{75}{3.6} = 20.83\) m/s।
১. ল্যাগ দূরত্ব (প্রতিক্রিয়া সময়ের দূরত্ব): \[d_1 = v \cdot t = 20.83 imes 2.5 = 52.08 ext{ m}\]
২. ব্রেকিং দূরত্ব: \[d_2 = rac{v^2}{2 g f} = rac{20.83^2}{2 imes 9.81 imes 0.35} = 63.2 ext{ m}\]
মোট SSD \(= d_1 + d_2 = 52.08 + 63.2 = 115.28 ext{ m}\]
হাইওয়ে জ্যামিতিক নকশা ও নিরাপদ দৃষ্টি দূরত্ব নির্ধারণ।