DUET Admission 2027 Model Exam 006 - সিভিল ইঞ্জিনিয়ারিং (CE)
Civil Engineering · আসন সংখ্যা: 120
১ম পত্র: নন-টেকনিক্যাল (পদার্থবিজ্ঞান, রসায়ন, গণিত ও ইংরেজি)
পদার্থবিজ্ঞান (৪০) · রসায়ন (৪০) · গণিত (৪০) · ইংরেজি (৩০)বিভাগ-ক: বহু নির্বাচনি প্রশ্ন (MCQ)
৪০টি প্রশ্ন × ১.৫ নম্বর = ৬০ নম্বর (নেগেটিভ মার্ক ০.২৫)Angular displacement 4π rad হলে revolution সংখ্যা কত?
একটি wheel 3 revolution ঘুরলে angular displacement কত?
একটি wheel 120 rpm-এ ঘুরলে frequency কত?
rpm-এর angular velocity কত?
rpm-এর frequency কত?
Rolling without slipping-এ condition কী?
Rolling wheel-এর angular velocity দ্বিগুণ হলে একই radius-এ translational speed কী?
Rolling without slipping-এ contact point-এর instantaneous velocity কী?
Rolling wheel-এর top point-এর speed centre-এর speed-এর তুলনায় কী?
Rolling wheel-এর bottom contact point-এ translational ও rotational velocities কীভাবে থাকে?
\(2SO₂(g) + O₂(g) ⇌ 2SO₃(g) + 198 kJ\) বিক্রিয়াটির জন্য \(K_p\) ও \(K_c\) এর সঠিক সম্পর্ক কোনটি?
প্রমাণ অবস্থায় বিশুদ্ধ মৌলিক পদার্থের গঠন এনথালপি (ΔH°f) এর মান কত ধরা হয়?
\(\text{NH₃}\) অণুর কেন্দ্রীয় পরমাণুতে মোট বন্ধনজোড় (Bond Pair) ইলেকট্রন কতটি?
VSEPR তত্ত্বানুসারে \(\text{BF₃}\) অণুর জ্যামিতিক আকৃতি কোনটি?
\(\text{BeCl₂}\) অণুর কেন্দ্রীয় পরমাণুতে মোট বন্ধনজোড় (Bond Pair) ইলেকট্রন কতটি?
C এর প্রথম আয়নীকরণ শক্তির প্রবণতা কোনটি?
P এর প্রথম আয়নীকরণ শক্তির প্রবণতা কোনটি?
Cl মৌলটির বিশিষ্ট রাসায়নিক বৈশিষ্ট্য কোনটি?
Sc মৌলটির বিশিষ্ট রাসায়নিক বৈশিষ্ট্য কোনটি?
বেনজিনে নাইট্রেশন বিক্রিয়ায় আক্রমণকারী ইলেকট্রোফাইল (Electrophile) কোনটি?
i এর argument কত?
De Moivre-এর theorem অনুযায়ী (cos θ + i sin θ)ⁿ = ?
zⁿ = 1 সমীকরণের root-এর সংখ্যা কত?
|z - 2 - 3i| = 5 circle-এর কেন্দ্র ও radius কোনটি?
C3 এর মান নির্ণয় করুন।
x² - 6x - 30 = 0 সমীকরণের উৎপাদকী রূপ কী?
এককের কাল্পনিক ঘনমূল ω হলে (1 - ω + ω²)(1 + ω - ω²) এর মান কত?
বৃত্ত x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0 এর কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ কত?
z + z̄ (z = a + bi) কী ধরনের সংখ্যা?
z = 5 - 12i হলে |z| কত?
What is the precise meaning of the idiom/phrase 'Through thick and thin' in usage #8?
Select the most accurate synonym for the word 'PLACATE' in context sample #16:
Select the most accurate synonym for the word 'ENIGMA' in context sample #25:
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The revolutionary antiviral medication cured the patient ___ the chronic infection.'
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The young inventor was naturally endowed ___ exceptional mechanical intuition.'
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The tensile resilience of substandard iron is markedly inferior ___ structural grade steel.'
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The chief examiner was known never to be partial ___ any particular candidate.'
I ___ my homework now.
Neither the principal nor the teachers ___ present today.
Complete the sentence using the correct conditional structure:
'Had the structural engineer #1 noticed the microcrack earlier, the foundation ___ from shifting.'
বিভাগ-খ: সংক্ষিপ্ত ও বর্ণনামূলক লিখিত প্রশ্ন (Written/CQ)
১৮টি প্রশ্ন × ৫ নম্বর = ৯০ নম্বরদুটি ভেক্টর \(\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}\) এবং \(\vec{B} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}\)।
(ক) ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণন (\(\vec{A} \cdot \vec{B}\)) এবং মধ্যবর্তী কোণ (\(\theta\)) নির্ণয় করো।
(খ) ভেক্টরদ্বয়ের ক্রস গুণন (\(\vec{A} \times \vec{B}\)) দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত? [মান: ৫]
গণনা:
(ক) ডট গুণন: \[ ec{A} \cdot \vec{B} = (2)(1) + (3)(-2) + (-1)(2) = 2 - 6 - 2 = \mathbf{-6}\]
মানসমূহ: \(|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{14} \approx 3.742\)
\(|\vec{B}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\)
কোণ: \[\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|} = \frac{-6}{3 \times \sqrt{14}} = \frac{-2}{\sqrt{14}} \approx -0.5345 \implies \mathbf{\theta \approx 122.31^\circ}\]
(খ) ক্রস গুণন: \[ ec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 2) - \hat{j}(4 + 1) + \hat{k}(-4 - 3) = 4\hat{i} - 5\hat{j} - 7\hat{k}\]
ক্ষেত্রফল = \(|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 25 + 49} = \sqrt{90} = \mathbf{9.487\text{ বর্গ একক}}\)।
হুকের সূত্রটি লেখ। একটি \(2\,\text{m}\) দীর্ঘ ও \(1\,\text{mm}^2\) প্রস্থচ্ছেদের তারে \(100\,\text{N}\) ভার চাপালে এর দৈর্ঘ্য \(1\,\text{mm}\) বৃদ্ধি পায়।
(ক) তারের উপাদানের ইয়ং-এর গুণাঙ্ক (\(Y\)) কত?
(খ) প্রসারিত তারে সঞ্চিত স্থিতিশক্তি (Elastic Potential Energy) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
হুকের সূত্র: স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে বস্তুর পীড়ন তার বিকৃতির সমানুপাতিক (\(\text{পীড়ন} \propto \text{বিকৃতি}\))।
গণনা:
- \(L = 2\,\text{m}, A = 1\,\text{mm}^2 = 10^{-6}\,\text{m}^2, F = 100\,\text{N}, \Delta L = 1\,\text{mm} = 10^{-3}\,\text{m}\)
(ক) ইয়ং-এর গুণাঙ্ক: \[Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L} = \frac{100 \times 2}{10^{-6} \times 10^{-3}} = \frac{200}{10^{-9}} = \mathbf{2 \times 10^{11}\,\text{N/m}^2\text{ (200 GPa)}}\]
(খ) সঞ্চিত স্থিতিশক্তি: \[U = \frac{1}{2} F \cdot \Delta L = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-3} = \mathbf{0.05\,\text{J}}\]
ডপলার প্রভাব (Doppler Effect) বিবৃত করো। একটি ট্রেনের বাঁশির প্রকৃত কম্পাঙ্ক \(400\,\text{Hz}\)। ট্রেনটি \(20\,\text{m/s}\) বেগে একজন স্থির পর্যবেক্ষকের দিকে এগিয়ে আসলে পর্যবেক্ষক কর্তৃক অনুভূত আপাত কম্পাঙ্ক কত হবে? (বাতাসে শব্দের বেগ \(v = 340\,\text{m/s}\)) [মান: ৫]
ডপলার প্রভাব: উৎস ও পর্যবেক্ষকের আপেক্ষিক গতির কারণে তরঙ্গের আপাত কম্পাঙ্কের পরিবর্তনকে ডপলার প্রভাব বলে।
গণনা: উৎস পর্যবেক্ষকের দিকে গতিশীল (\(v_s = 20\,\text{m/s}, v_o = 0\)):
\[f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 400 \left( \frac{340}{340 - 20} \right) = 400 \left( \frac{340}{320} \right) = 400 \times 1.0625 = \mathbf{425\,\text{Hz}}\]
একটি ডিফ্র্যাকশন গ্রেটিংয়ে প্রতি সেন্টিমিটারে 5000 টি দাগ কাটা আছে। \(600\,\text{nm}\) তরঙ্গদৈর্ঘ্যের আলোর জন্য প্রথম ক্রমের (First order) অপবর্তন কোণ (\(\theta\)) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
গ্রেটিং সমীকরণ (\(d \sin\theta = n \lambda\)):
গ্রেটিং ধ্রুবক: \[d = \frac{1}{N} = \frac{1\,\text{cm}}{5000} = \frac{10^{-2}\,\text{m}}{5000} = 2 \times 10^{-6}\,\text{m}\]
১ম ক্রম (\(n = 1\)), \(\lambda = 600 \times 10^{-9}\,\text{m}\):
\[\sin\theta = \frac{n \lambda}{d} = \frac{1 \times 600 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-6}} = 0.30\]
\[\mathbf{\theta = \sin^{-1}(0.30) \approx 17.46^\circ}\]
একটি সরল দোলকের ববের ভর 150 g এবং কার্যকরী দৈর্ঘ্য 1 m। ববটিকে সাম্যাবস্থান হতে 60° কোণে টেনে ছেড়ে দেওয়া হলো। সাম্যাবস্থান অতিক্রমকালে ববের বেগ এবং সুতার টান নির্ণয় করো। (g = 9.8 m/s²)
প্রদত্ত: দৈর্ঘ্য \(L = 1 ext{ m}\), কোণ \( heta = 60^\circ\), ভর \(m = 0.15 ext{ kg}\)।
সাম্যাবস্থান হতে উলম্ব উচ্চতা: \[h = L(1 - \cos 60^\circ) = 1(1 - 0.5) = 0.5 ext{ m}\]
শক্তির নিত্যতা নীতি অনুযায়ী: \[ rac{1}{2}mv^2 = mgh \implies v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 imes 9.8 imes 0.5} = \sqrt{9.8} pprox 3.13 ext{ m/s}\]
সাম্যাবস্থানে সুতার টান: \[T = mg + rac{mv^2}{L} = m\left(g + rac{v^2}{L}
ight) = 0.15\left(9.8 + rac{9.8}{1}
ight) = 0.15 imes 19.6 = 2.94 ext{ N}\]
সরল দোলকের যান্ত্রিক শক্তির রূপান্তর ও বৃত্তাকার গতির কেন্দ্রমুখী বল সমন্বয়।
ফ্যারাডের তড়িৎ বিশ্লেষণের ১ম সূত্রটি বিবৃত ও প্রতিপাদন করো (\(W = Z I t\))। কপার সালফেট দ্রবণে \(5\,\text{A}\) কারেন্ট \(30\,\text{minutes}\) চালনা করলে ক্যাথোডে কত গ্রাম তামা জমা হবে? (\(\text{Cu} = 63.5, 1\,\text{F} = 96500\,\text{C}\)) [মান: ৫]
১ম সূত্র: তড়িৎ বিশ্লেষণের সময় কোনো তড়িৎদ্বারে সঞ্চিত বা দ্রবীভূত পদার্থের ভর (\(W\)) প্রবাহিত মোট তড়িৎ আধানের (\(Q\)) সমানুপাতিক: \[W \propto Q \implies W = Z \cdot Q = \mathbf{Z I t}\]
(এখানে \(Z = \frac{\text{Molar mass}}{n \cdot F}\) হলো তড়িৎ-রাসায়নিক তুল্যাঙ্ক)।
গণনা (\(\text{Cu}^{2+} + 2e^- \rightarrow \text{Cu}\), ফলে \(n = 2\)):
- \(I = 5\,\text{A}\)
- \(t = 30 \times 60 = 1800\,\text{s}\)
- \(Q = I \cdot t = 5 \times 1800 = 9000\,\text{C}\)
\[Z = \frac{63.5}{2 \times 96500} = \frac{63.5}{193000} \approx 3.29 \times 10^{-4}\,\text{g/C}\]
সঞ্চিত তামার ভর: \[W = Z \cdot Q = (3.29 \times 10^{-4}) \times 9000 = \mathbf{2.961\,\text{g}}\]
মোলারিটি (Molarity) বলতে কী বোঝায়? \(250\,\text{mL}\) দ্রবণে \(10.6\,\text{g}\) সোডিয়াম কার্বনেট (\(\text{Na}_2\text{CO}_3\)) দ্রবীভূত থাকলে দ্রবণের মোলারিটি কত হবে? (\(\text{Na} = 23, \text{C} = 12, \text{O} = 16\)) [মান: ৫]
সংজ্ঞা: নির্দিষ্ট তাপমাত্রায় প্রতি লিটার (১০০০ মিলি) দ্রবণে দ্রবীভূত দ্রবের মোল সংখ্যাকে ঐ দ্রবণের মোলারিটি বলে (একক: \(\text{mol/L}\) বা M)।
গণনা:
\(\text{Na}_2\text{CO}_3\)-এর মোলার ভর: \[M_w = (23 \times 2) + 12 + (16 \times 3) = 46 + 12 + 48 = 106\,\text{g/mol}\]
মোলারিটির সূত্র: \[M = \frac{1000 \times w}{M_w \times V\,(\text{mL})}\]
- \(w = 10.6\,\text{g}, V = 250\,\text{mL}, M_w = 106\,\text{g/mol}\)
\[M = \frac{1000 \times 10.6}{106 \times 250} = \frac{10600}{26500} = \mathbf{0.40\,\text{M}}\]
অতএব দ্রবণের মোলার ঘনমাত্রা \(0.40\,\text{M}\)।
বাফার দ্রবণ কী? হেন্ডারসন-হ্যাসেলবালখ সমীকরণটি লেখ। \(0.1\,\text{M}\) অ্যাসিটিক অ্যাসিড এবং \(0.1\,\text{M}\) সোডিয়াম অ্যাসিটেট দ্রবণের মিশ্রণে গঠিত বাফার দ্রবণের pH কত? (\(K_a = 1.8 \times 10^{-5}\)) [মান: ৫]
বাফার দ্রবণ: যে দ্রবণে সামান্য এসিড বা ক্ষার যোগ করলেও দ্রবণের pH মান প্রায় অপরিবর্তিত থাকে।
হেন্ডারসন সমীকরণ: \[\text{pH} = \text{p}K_a + \log\frac{[\text{Salt}]}{[\text{Acid}]}\]
গণনা:
\(\text{p}K_a = -\log(1.8 \times 10^{-5}) = 4.745\)
\[\text{pH} = 4.745 + \log\frac{0.1}{0.1} = 4.745 + \log(1) = 4.745 + 0 = \mathbf{4.745}\]
\(25\,\text{mL}\) অজানা ঘনমাত্রার হাইড্রোক্লোরিক অ্যাসিড (\(\text{HCl}\)) দ্রবণকে প্রশমিত করতে \(0.15\,\text{M}\) সোডিয়াম কার্বনেট (\(\text{Na}_2\text{CO}_3\)) দ্রবণের \(20\,\text{mL}\) প্রয়োজন হলো। \(\text{HCl}\) দ্রবণের মোলারিটি এবং প্রতি লিটারে গ্রাম এককে ঘনমাত্রা নির্ণয় করো। [মান: ৫]
বিক্রিয়া সমীকরণ:
\[\text{Na}_2\text{CO}_3 + 2\text{HCl} \longrightarrow 2\text{NaCl} + \text{H}_2\text{O} + \text{CO}_2\]
এখানে, এসিডের মোল সংখ্যা \(n_A = 2\) এবং ক্ষারের মোল সংখ্যা \(n_B = 1\)।
টাইট্রেশন সূত্র:
\[\frac{V_A M_A}{n_A} = \frac{V_B M_B}{n_B} \implies \frac{25 \times M_A}{2} = \frac{20 \times 0.15}{1}\]
\[25 \times M_A = 2 \times 3.0 = 6.0 \implies M_A = \frac{6.0}{25} = \mathbf{0.24\,\text{M}}\]
গ্রাম/লিটার ঘনমাত্রা (\(S = M \times M_w\)):
\(\text{HCl}\)-এর আণবিক ভর = \(1 + 35.5 = 36.5\,\text{g/mol}\)।
\[S = 0.24 \times 36.5 = \mathbf{8.76\,\text{g/L}}\]
\(\text{SF}_6\) এবং \(\text{PCl}_5\) অণুদ্বয়ের সংকরায়ন (Hybridization), মুক্তজোড় ইলেকট্রন সংখ্যা এবং জ্যামিতিক আকৃতি বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করো।
১. \(\text{SF}_6\) অণু:
সালফারের যোজনী স্তরে ৬টি ইলেকট্রন এবং ৬টি ফ্লোরিন পরমাণুর সাথে ৬টি বন্ধন গঠন করে।
স্টেরিক সংখ্যা \(SN = 6 + 0 = 6\)। সংকরায়ন: \(sp^3d^2\)।
মুক্তজোড় ইলেকট্রন: 0টি। বন্ধন কোণ: 90°।
জ্যামিতিক আকৃতি: অষ্টতলকীয় (Octahedral)।
২. \(\text{PCl}_5\) অণু:
ফসফরাসের যোজনী স্তরে ৫টি ইলেকট্রন এবং ৫টি ক্লোরিনের সাথে ৫টি বন্ধন গঠন করে।
স্টেরিক সংখ্যা \(SN = 5 + 0 = 5\)। সংকরায়ন: \(sp^3d\)।
মুক্তজোড় ইলেকট্রন: 0টি। বন্ধন কোণ: 120° (নিরক্ষীয়) ও 90° (অক্ষীয়)।
জ্যামিতিক আকৃতি: ত্রিকোণাকার দ্বিপিরামিডীয় (Trigonal Bipyramidal)।
VSEPR তত্ত্ব ও সংকরায়ন কাঠামোর পূর্ণাঙ্গ বিশ্লেষণ।
ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে সমাধান করো (Cramer's Rule অথবা ইনভার্স পদ্ধতি):
\[2x + y = 7\]
\[3x - 2y = 7\]
ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়কের মান কত? [মান: ৫]
ম্যাট্রিক্স সমীকরণ: \[A X = B \implies \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 7 \end{bmatrix}\]
নির্ণায়কের মান: \[D = |A| = (2)(-2) - (1)(3) = -4 - 3 = -7 \neq 0\]
Cramer's Rule:
\[D_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 7 & -2 \end{vmatrix} = (7)(-2) - (1)(7) = -14 - 7 = -21\]
\[D_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} = (2)(7) - (7)(3) = 14 - 21 = -7\]
সমাধান: \[x = \frac{D_x}{D} = \frac{-21}{-7} = \mathbf{3}\]
\[y = \frac{D_y}{D} = \frac{-7}{-7} = \mathbf{1}\]
ক্র্যামারের নিয়ম (Cramer's Rule) ব্যবহার করে নিচের সমীকরণ জোট সমাধান করো:
\[x + y + z = 6\]
\[2x - y + z = 3\]
\[x + 2y - z = 2\] [মান: ৫]
নির্ণায়ক গঠন ও গণনা:
\[D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(1 - 2) - 1(-2 - 1) + 1(4 - (-1)) = -1 + 3 + 5 = 7\]
\[D_x = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 6(1 - 2) - 1(-3 - 2) + 1(6 - (-2)) = -6 + 5 + 8 = 7 \implies x = \frac{D_x}{D} = \frac{7}{7} = \mathbf{1}\]
\[D_y = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(-3 - 2) - 6(-2 - 1) + 1(4 - 3) = -5 + 18 + 1 = 14 \implies y = \frac{D_y}{D} = \frac{14}{7} = \mathbf{2}\]
\[D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 1(-2 - 6) - 1(4 - 3) + 6(4 - (-1)) = -8 - 1 + 30 = 21 \implies z = \frac{D_z}{D} = \frac{21}{7} = \mathbf{3}\]
নির্ণেয় সমাধান: \(\mathbf{(x, y, z) = (1, 2, 3)}\)।
\(y^2 = 8x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু (Vertex), উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (Focus), উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য (Latus Rectum) এবং নিয়ামক রেখার (Directrix) সমীকরণ নির্ণয় করো। [মান: ৫]
আদর্শ সমীকরণের সাথে তুলনা:
\(y^2 = 4ax\) এর সাথে তুলনা করে পাই: \(4a = 8 \implies a = 2\)।
১. শীর্ষবিন্দু: \((0, 0)\)
২. উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক: \((a, 0) = \mathbf{(2, 0)}\)
৩. উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: \(|4a| = |8| = \mathbf{8\text{ একক}}\)
৪. নিয়ামক রেখার সমীকরণ: \(x = -a \implies x = -2 \implies \mathbf{x + 2 = 0}\)।
L'Hôpital's Rule প্রয়োগ করে মান নির্ণয় করো: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}\]
প্রদত্ত সীমাস্থ মান \(x = 0\) বসিয়ে পাই: \[\frac{e^0 - e^0 - 0}{0 - \sin 0} = \frac{0}{0} \quad \text{(অসংজ্ঞায়িত রূপ)}\]
লব ও হরকে পৃথকভাবে \(x\) এর সাপেক্ষে পর পর ব্যবকলন (L'Hôpital's Rule) করে পাই:
১ম অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x} = \frac{1 + 1 - 2}{1 - 1} = \frac{0}{0}\]
২য় অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}\]
৩য় অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{e^0 + e^0}{\cos 0} = \frac{1 + 1}{1} = 2\]
সুতরাং নির্ণেয় মান: 2।
অনির্ণেয় আকার ও লাপ্লাস/লা-হস্পিটাল নিয়মের ধারাবাহিক ব্যবকলন প্রয়োগ।
উপবৃত্ত \(9x^2 + 16y^2 = 144\) এর (ক) উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity), (খ) উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক (Foci), এবং (গ) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণকে আদর্শ রূপ \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) এ প্রকাশ করে পাই:
\[\frac{9x^2}{144} + \frac{16y^2}{144} = 1 \implies \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\]
এখানে \(a^2 = 16 \implies a = 4\) এবং \(b^2 = 9 \implies b = 3\)। যেহেতু \(a > b\):
(ক) উৎকেন্দ্রিকতা (e): \[e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}\]
(খ) উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক: \[(\pm ae, 0) = \left(\pm 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}, 0\right) = (\pm \sqrt{7}, 0)\]
(গ) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: \[\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{4} = \frac{18}{4} = 4.5\text{ একক}\]
কণিক অধ্যায়ে উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ হতে বৈশিষ্ট্যাবলী বিশ্লেষণ।
নিচের বাক্যগুলোর ব্যাকরণগত ভুল সংশোধন করে সঠিক বাক্য লেখ:
(i) He gave me many advices.
(ii) The sceneries of Cox's Bazar are very charming.
(iii) He is senior than me in service.
(iv) The patient had died before the doctor came.
(v) Either of the two pens are good. [মান: ৫]
সংশোধিত বাক্যসমূহ:
(i) Correct: He gave me much advice. (বা He gave me many pieces of advice. 'Advice' হলো আনকাউন্টেবল নাউন)।
(ii) Correct: The scenery of Cox's Bazar is very charming. ('Scenery' সর্বদা সিঙ্গুলার)।
(iii) Correct: He is senior to me in service. (Senior, junior, superior, inferior এর পর 'to' বসে, 'than' নয়)।
(iv) Correct: The patient had died before the doctor came. (সঠিক বাক্য, অথবা The doctor came after the patient had died)।
(v) Correct: Either of the two pens is good. ('Either of' এর পর সিঙ্গুলার ভার্ব বসে)।
ব্র্যাকেটের ভার্বগুলোর সঠিক রূপ ব্যবহার করে বাক্যগুলো সম্পূর্ণ করো:
(i) If he (study) regularly, he would pass the DUET admission test.
(ii) It is high time we (start) the project.
(iii) The teacher entered the room while the students (make) a noise.
(iv) I look forward to (hear) from you soon.
(v) Had I possessed enough funds, I (establish) a software firm. [মান: ৫]
উত্তরসমূহ:
(i) studied (Second Conditional: If + Past Indefinite, would + base verb).
(ii) started ('It is high time' এর পর Past Indefinite tense হয়)।
(iii) were making ('While' এর পর Past Continuous tense হয়)।
(iv) hearing ('Look forward to' এর পর verb+ing বসে)।
(v) would have established (Third Conditional: Had + Subject + V3, Subject + would have + V3)।
Fill in the blanks with appropriate prepositions:
(i) The performance of an alternator depends ______ its excitation system.
(ii) Diploma engineers should adhere ______ safety regulations in the substation.
(iii) He is very proficient ______ Python programming.
(iv) The supervisor inquired ______ the cause of the boiler failure.
(v) This material is superior ______ conventional steel in corrosion resistance. [মান: ৫]
Answers:
(i) on / upon (depends on).
(ii) to (adhere to).
(iii) in / at (proficient in/at).
(iv) into / about (inquired into/about).
(v) to (superior to).
২য় পত্র: টেকনিক্যাল (বিভাগীয় বিষয়)
সিভিল ইঞ্জিনিয়ারিং (স্পেশালাইজড ইঞ্জিনিয়ারিং)বিভাগ-ক: বহু নির্বাচনি প্রশ্ন (Technical MCQ)
৪০টি প্রশ্ন × ১.৫ নম্বর = ৬০ নম্বর (নেগেটিভ মার্ক ০.২৫)লেভেলিংয়ে ব্যাকসাইট (Backsight, BS) পাঠ সর্বদা কোন বিন্দুতে নেওয়া হয়?
লেভেলিং যন্ত্রের উচ্চতা পদ্ধতিতে যন্ত্রের অক্ষের উচ্চতা (Height of Instrument, HI) নির্ণয়ের সমীকরণ কোনটি?
পৃথিবীর বক্রতার (Curvature) জন্য লেভেলিং পাঠে প্রয়োজনীয় সংশোধন (Curvature Correction, C_c) এর মান কত?
একটি কন্ট্যুর ম্যাপে কন্ট্যুর রেখাসমূহ খুব কাছাকাছি ঘন সন্নিবিষ্ট থাকলে তা ভূমির কোন প্রকৃতি নির্দেশ করে?
হুকের সূত্র (Hooke's Law) স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে পীড়ন ও বিকৃতির কোন সম্পর্ক নির্দেশ করে?
পয়সনের অনুপাত (Poisson's Ratio, ν) বলতে নিচের কোন দুই বিকৃতির অনুপাতকে বোঝায়?
সমভাবে বিস্তৃত লোড (UDL) বিশিষ্ট সাধারণভাবে স্থাপিত বিমের বেন্ডিং মোমেন্ট ডায়াগ্রামের (BMD) আকার কেমন হয়?
বিমের যে বিন্দুতে বেন্ডিং মোমেন্টের মান শূন্য হয় এবং বক্রতার দিক ধনাত্মক হতে ঋণাত্মকে পরিবর্তিত হয় তাকে কী বলে?
ফ্লেক্সারাল সূত্র (Bending Stress Formula) অনুসারে বিমের প্রস্থচ্ছেদে বেন্ডিং স্ট্রেসের সঠিক সমীকরণ কোনটি?
বৃত্তাকার শ্যাফটের টরশন সূত্রে পোলার সেকশন মডুলাস (Z_p) এর মান d ব্যাসের শ্যাফটের জন্য কত?
ইউলারের সূত্র অনুসারে উভয় প্রান্ত ফিক্সড (Fixed-Fixed) কলামের কার্যকরী দৈর্ঘ্য (Effective Length, L_e) কত?
তরলে নিমজ্জিত সমতল উল্লম্ব পৃষ্ঠে কার্যকর মোট হাইড্রোস্ট্যাটিক বল (Total Pressure, F) এর সূত্র কোনটি?
পাইপে প্রবাহিত পানির হেড লস (Head Loss) নির্ণয়ে ডার্সি-ওয়েইসব্যাক (Darcy-Weisbach) সূত্র কোনটি?
ম্যানিংয়ের সূত্রে উন্মুক্ত খালের হাইড্রোলিক ব্যাসার্ধ (Hydraulic Radius, R) এর সংজ্ঞা কোনটি?
একটি উন্মুক্ত খালে ফ্রউড সংখ্যা (Froude Number, Fr) > 1.0 হলে উক্ত প্রবাহকে কী বলা হয়?
মৃত্তিকা বলবিদ্যায় মাটির শূন্যস্থান অনুপাত (Void Ratio, e) এবং রন্ধ্রতার (Porosity, n) সঠিক সম্পর্ক কোনটি?
সম্পূর্ণ সম্পৃক্ত মাটিতে (Fully Saturated Soil) সম্পৃক্তি মাত্রা (Degree of Saturation, S) এর মান কত?
মাটির প্লাস্টিসিটি ইনডেক্স (Plasticity Index, PI) নির্ণয়ের সঠিক সূত্র কোনটি?
ডিমেনশনাল ডায়নামিকসে ডার্সির সূত্র (Darcy's Law) অনুসারে মাটিতে পানির নিঃসরণ বেগ (v) কিসের সমানুপাতিক?
টারজাঘির একক বিয়ারিং ক্ষমতা সমীকরণে স্ট্রিপ ফুটিংয়ের (Strip Footing) জন্য আলটিমেট ভারবহন ক্ষমতা (q_ult) কোনটি?
হাইওয়েতে অনুভূমিক বাঁকে কেন্দ্রাতিগ বল (Centrifugal Force) প্রশমিত করতে রাস্তার বাইরের ধার ভেতরের ধার অপেক্ষা উঁচুকরণকে কী বলে?
সড়কের পৃষ্ঠ হতে বৃষ্টির পানি নিষ্কাশনের সুবিধার্থে রাস্তার কেন্দ্রের অংশকে দুই পাশের চেয়ে সামান্য উঁচুকরণকে কী বলা হয়?
বিশুদ্ধ পানির 5-দিনের বায়োকেমিক্যাল অক্সিজেন ডিমান্ড (BOD₅) সাধারণত কত হওয়া উচিত?
পানীয় জল শোধনাগারে রোগ সৃষ্টিকারী ক্ষতিকর জীবাণু ধ্বংসের জন্য ক্লোরিনেশন প্রক্রিয়াকে কী বলা হয়?
আরসিসি ডিজাইনে টেনসাইল রডের নূন্যতম রিইনফোর্সমেন্ট রেশিও (ρ_min) নির্ধারণের মূল উদ্দেশ্য কী?
আরসিসি বিমে আন্ডার-রিইনফোর্সড (Under-Reinforced) ডিজাইনে ব্যর্থতার প্রকৃতি কেমন হয়?
আরসিসি বিমে ডায়াগোনাল টেনশন ফাটল (Diagonal Tension Crack) সাধারণত কোন অঞ্চলে দেখা যায়?
একটি দ্বিমুখী স্ল্যাবের (Two-Way Slab) দীর্ঘতম স্প্যান (L) ও সংক্ষিপ্ত স্প্যানের (S) অনুপাত (L/S) কত হতে হয়?
কলামে টাই বার (Ties) বা ল্যাটারাল স্পাইরাল ব্যবহারের প্রধান কাঠামোগত উদ্দেশ্য কোনটি?
প্রজেক্ট ম্যানেজমেন্টে ক্রিটিক্যাল পাথ (Critical Path Method, CPM) বলতে নিচের কোনটিকে বোঝায়?
স্টিলে কার্বনের শতকরা পরিমাণ বৃদ্ধি করলে স্টিলের যান্ত্রিক বৈশিষ্ট্যে কোন পরিবর্তন ঘটে?
মৃদু ইস্পাতের (Mild Steel) জন্য আদর্শ ইয়ং মডুলাস (Modulus of Elasticity, E) এর মান কত?
সাধারণ ইটের আদর্শ পরিমাপ (Standard Modular Size of Brick in Bangladesh, মসলা ছাড়া) কোনটি?
কাঠামোগত ট্রাসে (Truss) মেম্বারসমূহের সংযোগস্থলকে সাধারণত কী প্রকৃতির জয়েন্ট বিবেচনা করা হয়?
কংক্রিট ঢালাইয়ের পর পানির সংস্পর্শে শক্তিবৃদ্ধি প্রক্রিয়ার জন্য প্রয়োজনীয় আর্দ্রকরণ প্রক্রিয়াকে কী বলে?
সাধারণ পোর্টল্যান্ড সিমেন্টের (OPC) প্রাথমিক জমাটবদ্ধ কাল (Initial Setting Time) ন্যূনতম কত?
কংক্রিটের স্ট্যান্ডার্ড কিউব টেস্টের (Compressive Strength) আদর্শ সাইজ কোনটি?
কংক্রিট তৈরিতে পানির সাথে সিমেন্টের ওজন অনুপাত (Water-Cement Ratio) বৃদ্ধি করলে কোনটি ঘটে?
বালির সূক্ষ্মতা গুণাঙ্ক (Fineness Modulus, FM) 2.6 হতে 2.9 হলে উক্ত বালিকে কোন শ্রেণীর অন্তর্ভুক্ত করা হয়?
সিমেন্টের সাউন্ডনেস (Soundness) বা আয়তন স্থায়িত্ব পরীক্ষার জন্য কোন যন্ত্রটি ব্যবহৃত হয়?
বিভাগ-খ: টেকনিক্যাল লিখিত প্রশ্ন (Technical Written/CQ)
১৮টি প্রশ্ন × ৫ নম্বর = ৯০ নম্বরকলিমেশন বা হাইট অব ইনস্ট্রুমেন্ট (HI) পদ্ধতিতে লেভেলিংয়ের কাজের নিয়মাবলী ছক আকারে বর্ণনা করো। বেঞ্চমার্কের RL দেওয়া থাকলে কীভাবে স্টেশন পয়েন্টের RL বের করা হয় এবং গাণিতিক শুদ্ধতা পরীক্ষা (Arithmetic Check) কী? [মান: ৫]
HI পদ্ধতি সূত্রাবলী:
১. যন্ত্রের উচ্চতা: \(\text{HI} = \text{RL of BM} + \text{BS (Back Sight)}\)
২. যেকোনো স্টেশনের RL: \(\text{RL} = \text{HI} - \text{IS (Intermediate Sight)}\) অথবা \(\text{HI} - \text{FS (Fore Sight)}\)
গাণিতিক শুদ্ধতা পরীক্ষা (Arithmetic Check):
\[\sum \text{BS} - \sum \text{FS} = \text{Last RL} - \text{First RL}\]
এই দুটি মান পরস্পর সমান হলে লেভেল বইয়ের হিসাব নির্ভুল হয়েছে প্রমাণিত হয়।
থিওডোলাইট ব্যবহার করে পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি (Repetition Method)-তে অনুভূমিক কোণ পরিমাপের ধাপগুলো সংক্ষেপে লেখ। এই পদ্ধতির প্রধান সুবিধা কী? [মান: ৫]
ধাপসমূহ:
১. টেলিস্কোপকে রেফারেন্স স্টেশন \(A\)-তে বাইসেক্ট করে ভার্নিয়ার \(A\)-কে \(0^\circ\) তে লক করা হয়।
২. আপার ক্ল্যাম্প আলগা করে স্টেশন \(B\)-তে বাইসেক্ট করা হয় এবং পাঠ \(\theta\) নেওয়া হয়।
৩. লোয়ার ক্ল্যাম্প আলগা করে পুনরায় \(A\)-তে তাক করা হয় (পাঠ অপরিবর্তিত রেখে)।
৪. আবার আপার ক্ল্যাম্প ঘুরিয়ে \(B\)-তে তাক করলে পাঠ দ্বিগুণ (\(2\theta\)) হয়।
৫. এভাবে \(n\) বার পুনরাবৃত্তি করে চূড়ান্ত পাঠকে \(n\) দিয়ে ভাগ করা হয়।
সুবিধা: যন্ত্রের গ্র্যাজুয়েশন ত্রুটি, ভার্নিয়ার রিডিং ত্রুটি দূর হয়ে অত্যন্ত নিখুঁত কোণ পাওয়া যায়।
একটি \(8\,\text{m}\) দীর্ঘ সাধারণভাবে সমর্থিত বিমের সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্যের উপর \(4\,\text{kN/m}\) সমভাবে বিস্তৃত লোড (UDL) ক্রিয়াশীল।
(ক) বিমের সর্বোচ্চ শেয়ার ফোর্স ও সর্বোচ্চ বেন্ডিং মোমেন্ট নির্ণয় করো।
(খ) SFD এবং BMD-এর সাধারণ রূপ বর্ণনা করো। [মান: ৫]
গণনা:
মোট লোড: \(W = w \times L = 4 \times 8 = 32\,\text{kN}\)
সাপোর্ট রিঅ্যাকশন: \(R_A = R_B = \frac{32}{2} = 16\,\text{kN}\)
(ক) সর্বোচ্চ মান:
- সর্বোচ্চ শেয়ার ফোর্স (সাপোর্টে): \[V_{max} = R_A = \mathbf{16\,\text{kN}}\]
- সর্বোচ্চ বেন্ডিং মোমেন্ট (কেন্দ্রে, যেখানে \(SF = 0\)): \[M_{max} = \frac{w L^2}{8} = \frac{4 \times 8^2}{8} = 4 \times 8 = \mathbf{32\,\text{kN}\cdot\text{m}}\]
(খ) রূপরেখা: SFD হবে একটি আনত সরলরেখা (+16 থেকে -16 পর্যন্ত) এবং BMD হবে একটি প্রতিসম ২য় ঘাতের প্যারাবোলা (Parabola)।
বৃত্তাকার শ্যাফটের টরশন সমীকরণ \(\frac{T}{J} = \frac{\tau}{r} = \frac{G \theta}{L}\) লেখ। একটি \(50\,\text{mm}\) ব্যাসের সলিড শ্যাফট সর্বাধিক কত টর্ক (\(T\)) বহন করতে পারবে যদি সর্বোচ্চ শিয়ার পীড়ন \(60\,\text{MPa}\) অতিক্রম না করে? [মান: ৫]
টরশন সমীকরণ ও সূত্র:
সলিড বৃত্তাকার শ্যাফটের পোলার সেকশন মডুলাস: \[Z_p = \frac{J}{r} = \frac{\pi}{16} d^3\]
সর্বোচ্চ টর্ক বহন ক্ষমতা: \[T = \tau_{max} \times Z_p = \tau_{max} \times \frac{\pi}{16} d^3\]
গণনা (\(d = 50\,\text{mm}, \tau_{max} = 60\,\text{N/mm}^2\)):
\[T = 60 \times \frac{\pi}{16} \times (50)^3 = 60 \times 0.19635 \times 125,000 = 1,472,625\,\text{N}\cdot\text{mm} = \mathbf{1.473\,\text{kN}\cdot\text{m}}\]
WSD (Working Stress Design) পদ্ধতিতে একটি সিঙ্গলি রিইনফোর্সড আয়তাকার বিমের নিউট্রাল অ্যাক্সিস ডেপথ (\(k d\)) নির্ণয়ের সূত্রটি এরিয়া মোমেন্টের সাহায্যে প্রতিপাদন করো। মড্যুলার রেশিও (\(n\)) কী? [মান: ৫]
প্রতিপাদন:
নিরপেক্ষ অক্ষের সাপেক্ষে কম্প্রেশন জোনের কংক্রিটের ক্ষেত্রফলের মোমেন্ট এবং টেনশন জোনের স্টিলের সমতুল্য ক্ষেত্রফলের মোমেন্ট সমান হবে:
\[b \cdot (k d) \cdot \frac{k d}{2} = n \cdot A_s \cdot (d - k d)\]
\[\frac{b (k d)^2}{2} + n A_s (k d) - n A_s d = 0\]
উভয়পক্ষকে \(b d^2\) দিয়ে ভাগ করে স্টিল রেশিও \(\rho = \frac{A_s}{b d}\) বসালে: \(\frac{k^2}{2} + n \rho k - n \rho = 0\)
\[\mathbf{k = \sqrt{(n \rho)^2 + 2 n \rho} - n \rho}\]
মড্যুলার রেশিও: স্টিল ও কংক্রিটের স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্কের অনুপাত: \(n = \frac{E_s}{E_c}\)।
একটি RCC স্ল্যাব ওয়ান-ওয়ে (One-way) নাকি টু-ওয়ে (Two-way) হবে তা কীভাবে নির্ধারিত হয়? এদের লোড ডিস্ট্রিবিউশন এবং প্রধান রড (Main reinforcement) স্থাপনের পার্থক্য লেখ। [মান: ৫]
নির্ধারণ পদ্ধতি: স্ল্যাবের দীর্ঘ বাহু (\(L_y\)) এবং খাটো বাহু (\(L_x\))-এর অনুপাতের উপর ভিত্তি করে:
- One-way Slab: \(\frac{L_y}{L_x} > 2\) (স্ল্যাবটি মূলত খাটো স্প্যান বরাবর বেন্ড হয়)।
- Two-way Slab: \(\frac{L_y}{L_x} \le 2\) (স্ল্যাবটি উভয় স্প্যান বরাবর সমানভাবে লোড শেয়ার করে বেন্ড হয়)।
রড স্থাপনের পার্থক্য:
- ওয়ান-ওয়ে স্ল্যাবে প্রধান রড কেবল খাটো স্প্যান বরাবর বসে এবং দীর্ঘ স্প্যান বরাবর তাপমাত্রা রড (Temperature bar) বসে।
- টু-ওয়ে স্ল্যাবে উভয় দিকেই প্রধান বেন্ডিং মোমেন্ট রড জালের মতো বসাতে হয়।
USD (Ultimate Strength Design) পদ্ধতিতে একটি সিঙ্গলি রিইনফোর্সড বিমের সুষম ইস্পাত অনুপাত \(\rho_b = 0.85 \beta_1 \frac{f_c'}{f_y} \frac{600}{600 + f_y}\) প্রতিপাদন করো। [মান: ৫]
প্রতিপাদন:
সুষম অবস্থায় কংক্রিট তার চরম বিকৃতি \(\epsilon_u = 0.003\) এবং স্টিল একই সাথে ইল্ড বিকৃতি \(\epsilon_y = \frac{f_y}{E_s} = \frac{f_y}{200,000}\)-এ পৌঁছায়।
লিনিয়ার বিকৃতি ডায়াগ্রাম থেকে: \[ rac{c}{d} = \frac{\epsilon_u}{\epsilon_u + \epsilon_y} = \frac{0.003}{0.003 + f_y / 200000} = \frac{600}{600 + f_y}\]
কংক্রিট কম্প্রেশন বল: \(C = 0.85 f_c' a b = 0.85 f_c' (\beta_1 c) b\)
স্টিল টেনশন বল: \(T = A_s f_y = (\rho_b b d) f_y\)
বলদ্বয় সমান করে (\(C = T\)): \[0.85 f_c' \beta_1 c b = \rho_b b d f_y \implies \rho_b = 0.85 \beta_1 \frac{f_c'}{f_y} \left(\frac{c}{d}\right)\]
\[\therefore \mathbf{\rho_b = 0.85 \beta_1 \frac{f_c'}{f_y} \frac{600}{600 + f_y}}\] (প্রমাণিত)
একটি আয়তাকার উইয়ারের (Rectangular Weir) উপর দিয়ে পানি প্রবাহের ডিসচার্জের ফ্রান্সিস সূত্র \(Q = \frac{2}{3} C_d \sqrt{2g} (L - 0.1 n H) H^{3/2}\) ব্যাখ্যা করো। প্রান্তিক সংকোচন (End Contractions) কী? [মান: ৫]
সূত্র উপাদানসমূহ:
- \(L\): উইয়ারের মোট ক্রেস্ট দৈর্ঘ্য
- \(H\): উইয়ারের ক্রেস্টের উপর পানির হেড
- \(C_d\): ডিসচার্জ কো-এফিশিয়েন্ট
- \(n\): প্রান্তিক সংকোচনের সংখ্যা (সাধারণত \(n = 2\))
End Contractions: উইয়ারের দুই পাশের খাড়া দেয়ালের ঘর্ষণের কারণে পানির চাদর (Nappe) সংকুচিত হয়ে কার্যকর দৈর্ঘ্য কমে যায়। প্রতিটি প্রান্তিক সংকোচন দৈর্ঘ্য \(0.1 H\) পরিমাণ হ্রাস করে, ফলে কার্যকর দৈর্ঘ্য হয় \((L - 0.1 n H)\)।
মুক্ত খাল বা চ্যানেলে পানির প্রবাহের জন্য ম্যানিংসের সূত্র \(v = \frac{1}{n} R^{2/3} S^{1/2}\) ব্যাখ্যা করো। হাইড্রোলিক রেডিয়াস (\(R\)) কী? [মান: ৫]
ম্যানিংসের সমীকরণ:
- \(v\): পানির গড় প্রবাহ বেগ (m/s)
- \(n\): ম্যানিংসের রুক্ষতা সহগ (Roughness coefficient)
- \(R\): হাইড্রোলিক ব্যাসার্ধ বা হাইড্রোলিক মিন ডেপথ (\(R = A / P\))
- \(S\): খালের তলদেশের ঢাল বা হাইড্রোলিক গ্রেডিয়েন্ট (Bed slope)
হাইড্রোলিক রেডিয়াস (\(R\)): খালের জলপ্রবাহের প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল (\(A\)) এবং ভেজা পরিসীমা বা ওয়েটেড পেরিমিটারের (\(P\)) অনুপাত। \(R\) যত বড় হয় ঘর্ষণ তত কম হয় এবং চ্যানেলের ডিসচার্জ ক্ষমতা বৃদ্ধি পায়।
একটি উলম্ব পানির গেটের প্রস্থ \(2\,\text{m}\) এবং উচ্চতা \(3\,\text{m}\)। পানির মুক্ত তল গেটের শীর্ষবিন্দু স্পর্শ করে আছে।
(ক) গেটের উপর মোট হাইড্রোস্ট্যাটিক চাপ বল (\(F\)) নির্ণয় করো।
(খ) সেন্টার অব প্রেসার (\(h_{cp}\))-এর গভীরতা কত? [মান: ৫]
গণনা (\(\gamma_w = 9.81\,\text{kN/m}^3\)):
- ক্ষেত্রফল: \(A = b \times h = 2 \times 3 = 6\,\text{m}^2\)
- ভরকেন্দ্রের গভীরতা: \(\bar{y} = \frac{3}{2} = 1.5\,\text{m}\)
(ক) মোট চাপ বল: \[F = \gamma_w A \bar{y} = 9.81 \times 6 \times 1.5 = \mathbf{88.29\,\text{kN}}\]
(খ) সেন্টার অব প্রেসার: \[h_{cp} = \bar{y} + \frac{I_G}{A \bar{y}} = 1.5 + \frac{\frac{b h^3}{12}}{A \bar{y}} = 1.5 + \frac{\frac{2 \times 27}{12}}{6 \times 1.5} = 1.5 + \frac{4.5}{9.0} = 1.5 + 0.5 = \mathbf{2.0\,\text{m}}\]
অ্যাটারবার্গ লিমিটের (Atterberg Limits) তিনটি অবস্থা—লিকুইড লিমিট (LL), প্লাস্টিক লিমিট (PL) এবং শ্রিঙ্কেজ লিমিট (SL) ব্যাখ্যা করো। প্লাস্টিসিটি ইনডেক্স (\(PI\)) কীভাবে বের করা হয়? [মান: ৫]
সংজ্ঞা: সূক্ষ্ম কণার মাটির জলের পরিমাণের পরিবর্তনের সাথে যে সীমানায় অবস্থার রূপান্তর ঘটে:
১. Liquid Limit (LL): যে সর্বনিম্ন আর্দ্রতায় মাটি তরলের মতো প্রবাহিত হতে শুরু করে (ক্যাসগ্রান্ডে যন্ত্রে ২৫ আঘাতে ২ মিমি খাঁজ বন্ধ হয়)।
২. Plastic Limit (PL): যে সর্বনিম্ন আর্দ্রতায় মাটিকে ৩ মিমি ব্যাসের সরু সুতায় ফাটল না ধরিয়ে পাকানো যায়।
৩. Shrinkage Limit (SL): আর্দ্রতার যে সীমার নিচে আর্দ্রতা কমালেও মাটির আয়তন আর কমে না।
প্লাস্টিসিটি ইনডেক্স: \[PI = \mathbf{LL - PL}\]
\(PI\) মাটির প্লাস্টিক আচরণের সীমা নির্দেশ করে।
টারজাঘির সাধারণ স্ট্রিপ ফুটিংয়ের আল্টিমেট বিয়ারিং ক্যাপাসিটি সমীকরণ \(q_u = c N_c + q N_q + 0.5 \gamma B N_\gamma\) ব্যাখ্যা করো। ফুটিংয়ের গভীরতা বাড়ালে কেন ভারবহন ক্ষমতা বাড়ে? [মান: ৫]
সমীকরণ উপাদানসমূহ:
- \(c N_c\): মাটির কোহেশন উপাদান
- \(q N_q = (\gamma D_f) N_q\): ফুটিংয়ের গভীরতার জন্য চারপাশের ওভারবার্ডেন ও সারচার্জ অবদান
- \(0.5 \gamma B N_\gamma\): ফুটিংয়ের প্রস্থ (\(B\)) এবং মাটির ওজনের জন্য অবদান
- \(N_c, N_q, N_\gamma\): বিয়ারিং ক্যাপাসিটি ফ্যাক্টর (যা \(\phi\)-এর উপর নির্ভরশীল)
গভীরতা বৃদ্ধির সুবিধা: সারচার্জ টার্ম \(q = \gamma D_f\) বৃদ্ধি পাওয়ায় মাটির ফেলিউর জোনের উপর ল্যাটারাল কনফাইনমেন্ট বাড়ে, ফলে ভারবহন ক্ষমতা সরাসরি বৃদ্ধি পায়।
হাইওয়েতে স্টপিং সাইট ডিসট্যান্স (SSD) বলতে কী বোঝায়? একটি গাড়ির গতি \(80\,\text{km/h}\), চালকের প্রতিক্রিয়া সময় \(2.5\,\text{s}\) এবং অনুদৈর্ঘ্য ঘর্ষণ সহগ \(f = 0.35\) হলে সমতল সড়কে SSD নির্ণয় করো। [মান: ৫]
সংজ্ঞা: কোনো চালক রাস্তায় হঠাৎ কোনো বাধা দেখে গাড়ি থামানোর জন্য তার সামনে যে ন্যূনতম নিরাপদ দৃষ্টি দূরত্বের প্রয়োজন হয়।
গণনা:
গাড়ির গতি \(v = 80\,\text{km/h} = \frac{80}{3.6} = 22.22\,\text{m/s}\)
১. ল্যাগ দূরত্ব (Reaction distance): \[d_1 = v \times t = 22.22 \times 2.5 = 55.55\,\text{m}\]
২. ব্রেকিং দূরত্ব: \[d_2 = \frac{v^2}{2 g f} = \frac{(22.22)^2}{2 \times 9.81 \times 0.35} = \frac{493.73}{6.867} = 71.90\,\text{m}\]
মোট SSD: \[SSD = d_1 + d_2 = 55.55 + 71.90 = \mathbf{127.45\,\text{m}}\]
m দীর্ঘ একটি স্টিল রডের উভয় প্রান্ত দুটি অনমনীয় সাপোর্ট দ্বারা দৃঢ়ভাবে আবদ্ধ। তাপমাত্রা 31°C বৃদ্ধি করা হলে রডটিতে সৃষ্ট তাপীয় পীড়ন (Thermal Stress) কত হবে? (\(lpha = 12 imes 10^{-6}/^\circ ext{C}, \, E = 200 ext{ GPa}\)) [মান: ৫]
তাপীয় পীড়ন সমীকরণ:
যেহেতু সাপোর্ট সম্পূর্ণ অনমনীয় এবং প্রসারণে বাধা সৃষ্টি করে, তাই সৃষ্ট স্ট্রেন \(\epsilon = lpha \Delta T\)।
\[\sigma = E \cdot lpha \Delta T = (200 imes 10^3) imes (12 imes 10^{-6}) imes 31 = 74.4 ext{ MPa}\]
পীড়নের প্রকৃতি: সংকোচনমূলক (Compressive)।
থার্মাল স্ট্রেন ও অনমনীয় সাপোর্টের প্রতিক্রিয়া বল।
একটি 3.7 m দীর্ঘ নিরেট বৃত্তাকার স্টিল কলামের উভয় প্রান্ত পিন-যুক্ত (Both ends hinged)। কলামের ব্যাস 110 mm এবং \(E = 200\) GPa হলে অয়লারের সূত্রানুসারে ক্রিপলিং বা বাকলিং লোড (Euler's Critical Load) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
১. মোমেন্ট অব ইনার্শিয়া:
\[I = rac{\pi d^4}{64} = rac{\pi imes 110^4}{64} = 7186884.1 ext{ mm}^4\]
উভয় প্রান্ত পিন-যুক্ত হওয়ায় কার্যকরী দৈর্ঘ্য \(L_e = L = 3700.0\) mm।
২. অয়লারের ক্রিটিক্যাল লোড:
\[P_{cr} = rac{\pi^2 E I}{L_e^2} = rac{\pi^2 imes 200 imes 10^3 imes 7186884.1}{(3700.0)^2 imes 10^3} = 1036.26 ext{ kN}\]
কলামের বাকলিং তত্ত্ব ও অয়লারের সূত্রাবলী।
একটি আয়তাকার ওপেন চ্যানেলের তলদেশের প্রস্থ \(b = 2.7\) m এবং পানির গভীরতা \(y = 1.3\) m। চ্যানেলের অনুদৈর্ঘ্য ঢাল \(S = 0.001\) এবং ম্যানিংয়ের খসখসে গুণাঙ্ক \(n = 0.015\) হলে চ্যানেলের ডিসচার্জ (\(Q\)) কত? [মান: ৫]
ম্যানিংয়ের সমীকরণ:
প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল: \[A = b imes y = 2.7 imes 1.3 = 3.51 ext{ m}^2\]
ভিজা পরিসীমা: \[P = b + 2y = 2.7 + 2(1.3) = 5.3 ext{ m}\]
হাইড্রোলিক ব্যাসার্ধ: \[R = rac{A}{P} = rac{3.51}{5.3} = 0.662 ext{ m}\]
ডিসচার্জ: \[Q = rac{1}{n} A R^{2/3} S^{1/2} = rac{1}{0.015} imes 3.51 imes (0.662)^{2/3} imes \sqrt{0.001} = 5.621 ext{ m}^3 ext{/s}\]
মুক্ত তল প্রবাহ, ম্যানিং সূত্র ও হাইড্রোলিক ব্যাসার্ধ।
তারজাগির সূত্রানুসারে একটি 1.6 m × 1.6 m আকারের বর্গাকার অগভীর ফুটিংয়ের চরম ভারবহন ক্ষমতা (Ultimate Bearing Capacity, \(q_{ult}\)) নির্ণয় করো। প্রদত্ত: ভিত্তির গভীরতা \(D_f = 1.3\) m, মাটির \(c = 16 ext{ kN/m}^2\), \(\gamma = 17.7 ext{ kN/m}^3\), এবং ভারবহন ক্ষমতা সহগ \(N_c = 17.7, \, N_q = 7.4, \, N_\gamma = 5.0\)। [মান: ৫]
বর্গাকার ফুটিংয়ের জন্য তারজাগির সমীকরণ:
\[q_{ult} = 1.3 c N_c + \gamma D_f N_q + 0.4 \gamma B N_\gamma\]
\[q_{ult} = (1.3 imes 16 imes 17.7) + (17.7 imes 1.3 imes 7.4) + (0.4 imes 17.7 imes 1.6 imes 5.0)\]
\[q_{ult} = 368.16 + 170.27 + 56.64 = 595.07 ext{ kN/m}^2\]
তারজাগির বিয়ারিং ক্যাপাসিটি তত্ত্ব ও অগভীর ফাউন্ডেশন ডিজাইন।
একটি বর্জ্য পানির নমুনার চূড়ান্ত প্রথম-ক্রম বিওডি \(L_0 = 310\) mg/L। ডিওক্সিজেনেশন রেট কনস্ট্যান্ট \(k = 0.23 ext{ day}^{-1}\) (base e) হলে 20°C তাপমাত্রায় নমুনাটির ৫-দিনের বিওডি (5-day BOD, \( ext{BOD}_5\)) হিসাব করো। [মান: ৫]
BOD সমীকরণ:
\[ ext{BOD}_t = L_0 (1 - e^{-k t})\]
৫ দিন পর (\(t = 5\)):
\[ ext{BOD}_5 = 310 \left(1 - e^{-0.23 imes 5}
ight) = 310 \left(1 - e^{-1.15}
ight) = 310 (1 - 0.3166) = 211.84 ext{ mg/L}\]
বর্জ্য পানির গুণমান, প্রথম-ক্রম বিক্রিয়া ও বিওডি সমীকরণ।