DUET Admission 2027 Model Exam 062 - সিভিল ইঞ্জিনিয়ারিং (CE)
Civil Engineering · আসন সংখ্যা: 120
১ম পত্র: নন-টেকনিক্যাল (পদার্থবিজ্ঞান, রসায়ন, গণিত ও ইংরেজি)
পদার্থবিজ্ঞান (৪০) · রসায়ন (৪০) · গণিত (৪০) · ইংরেজি (৩০)বিভাগ-ক: বহু নির্বাচনি প্রশ্ন (MCQ)
৪০টি প্রশ্ন × ১.৫ নম্বর = ৬০ নম্বর (নেগেটিভ মার্ক ০.২৫)Inclined plane-এ θ angle of repose-এর চেয়ে কম হলে কী হতে পারে?
শেষ পর্যন্ত friction problem-এ মূল balance কোনটি?
μ_s=0.5, m=4 kg, g=10 হলে limiting friction কত?
μ_k=0.2, m=10 kg, g=10 হলে kinetic friction কত?
N horizontal force ও 8 N kinetic friction 4 kg block-এ কাজ করলে acceleration কত?
N applied force, limiting friction 30 N হলে block-এর অবস্থা কী?
Applied force limiting friction-এর অর্ধেক হলে static friction কত?
Incline θ=30°, μ_k=0.2, g=10; নিচে sliding acceleration কোন formula?
Incline θ=30°, μ=1/√3 হলে body just কী করবে?
Angle of repose 45° হলে coefficient of friction কত?
Be এর অক্সাইডের প্রকৃতি সাধারণত কেমন?
Ca এর অক্সাইডের প্রকৃতি সাধারণত কেমন?
\(\text{SF₆}\) অণুটি পোলার (Polar) না অপোলার (Non-polar)?
VSEPR তত্ত্বানুসারে \(\text{SO₂}\) অণুর জ্যামিতিক আকৃতি কোনটি?
\(\text{IF₅}\) অণুটি পোলার (Polar) না অপোলার (Non-polar)?
Ne এর প্রথম আয়নীকরণ শক্তির প্রবণতা কোনটি?
নিচের কোন অণুর ক্ষেত্রে দ্বি-মেরু ভ্রামক (Dipole Moment, μ) শূন্য?
ইথাইল ক্লোরাইডকে শুষ্ক ইথারে সোডিয়াম ধাতু সহ উত্তপ্ত করলে
Fe (Z=26) এর ইলেকট্রন বিন্যাসে অযুগ্ম (Unpaired) ইলেকট্রন সংখ্যা কত?
mL 0.05 M \(\text{NaCl}\) দ্রবণ প্রস্তুত করতে কত গ্রাম দ্রব প্রয়োজন হবে? (M = 58.5 g/mol)
C0 + 11C11 এর মান কত?
x³ + 1x² - 3x - 3 বহুপদটি কীভাবে উৎপাদিত হয়?
জন ব্যক্তির একটি গোল টেবিলে কত উপায়ে বসানো যেতে পারে?
i¹⁰⁰ + i¹⁰¹ + i¹⁰² + i¹⁰³ এর মান কত?
z = a + bi হলে z · z̄ = কত?
z₂ ≠ 0 হলে |z₁/z₂| কত?
i এর argument কত?
De Moivre-এর theorem অনুযায়ী (cos θ + i sin θ)ⁿ = ?
zⁿ = 1 সমীকরণের root-এর সংখ্যা কত?
|z - 2 - 3i| = 5 circle-এর কেন্দ্র ও radius কোনটি?
Fill in the blank with the appropriate preposition: 'Engineers must strictly adhere ___ standard safety guidelines.'
Select the most accurate synonym for the word 'CANDID' in context sample #3:
Select the most accurate synonym for the word 'ERRATIC' in context sample #9:
Select the most accurate synonym for the word 'PRODIGAL' in context sample #17:
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The alloy is composed ___ copper, zinc, and a trace amount of nickel.'
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The concrete mixture was found to be deficient ___ Portland cement ratio.'
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'One should never feel envious ___ a colleague's well-deserved scholarly accolades.'
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'Mechanical vibration is an inherent characteristic ___ unbalanced rotating shafts.'
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'These diagnostic data streams pertain directly ___ the coolant cycle temperature.'
If it rains, we ___ at home.
বিভাগ-খ: সংক্ষিপ্ত ও বর্ণনামূলক লিখিত প্রশ্ন (Written/CQ)
১৮টি প্রশ্ন × ৫ নম্বর = ৯০ নম্বরএকটি বস্তুকে অনুভূমিকের সাথে \(30^\circ\) কোণে \(40\,\text{m/s}\) বেগে নিক্ষেপ করা হলো (\(g = 9.8\,\text{m/s}^2\))।
(ক) বস্তুটির সর্বাধিক উচ্চতা (\(H\)) এবং উড্ডয়ন কাল (\(T\)) নির্ণয় করো।
(খ) বস্তুটির অনুভূমিক পাল্লা (\(R\)) কত হবে? [মান: ৫]
গণনা:
- \(u = 40\,\text{m/s}, \alpha = 30^\circ\)
(ক) সর্বাধিক উচ্চতা: \[H = \frac{u^2 \sin^2\alpha}{2g} = \frac{40^2 \times \sin^2(30^\circ)}{2 \times 9.8} = \frac{1600 \times 0.25}{19.6} = \frac{400}{19.6} = \mathbf{20.41\,\text{m}}\]
উড্ডয়ন কাল: \[T = \frac{2 u \sin\alpha}{g} = \frac{2 \times 40 \times 0.5}{9.8} = \frac{40}{9.8} = \mathbf{4.08\,\text{s}}\]
(খ) অনুভূমিক পাল্লা: \[R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g} = \frac{1600 \times \sin(60^\circ)}{9.8} = \frac{1600 \times 0.866}{9.8} = \frac{1385.64}{9.8} = \mathbf{141.39\,\text{m}}\]
পৃষ্ঠটান (Surface Tension)-এর সংজ্ঞা ও মাত্রা সমীকরণ লেখ। একটি কৈশিক নলে পানির আরোহণ উচ্চতার সমীকরণ \(h = \frac{2 T \cos\theta}{r \rho g}\) প্রতিপাদন করো। [মান: ৫]
সংজ্ঞা: তরলের মুক্ত পৃষ্ঠে অঙ্কিত একক দৈর্ঘ্যের কাল্পনিক রেখার সাথে লম্বভাবে এবং পৃষ্ঠের স্পর্শক বরাবর যে বল ক্রিয়া করে তাকে তরলের পৃষ্ঠটান বলে: \(T = F / L\) (একক \(\text{N/m}\), মাত্রা \([MT^{-2}]\))।
কৈশিক আরোহণ প্রতিপাদন:
\(r\) ব্যাসার্ধের নলের পরিধিতে পৃষ্ঠটানজনিত ঊর্ধ্বমুখী বল: \[F_{up} = T \times (2\pi r) \times \cos\theta\]
উত্থিত \(h\) উচ্চতার পানি স্তম্ভের ওজন (নিম্নমুখী বল): \[W = m g = (\pi r^2 h \rho) g\]
ভারসাম্য অবস্থায় (\(F_{up} = W\)): \[2\pi r T \cos\theta = \pi r^2 h \rho g \implies \mathbf{h = \frac{2 T \cos\theta}{r \rho g}}\]
তাপগতিবিদ্যার ১ম সূত্রটি বিবৃতি ও গাণিতিক রূপ লেখ। একটি সিস্টেমে \(500\,\text{J}\) তাপ সরবরাহ করায় সিস্টেম কর্তৃক সম্পাদিত বাহ্যিক কাজ \(300\,\text{J}\) হলে এর অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন (\(\Delta U\)) কত হবে? [মান: ৫]
বিবৃতি: যখন কাজ তাপে বা তাপ কাজে রূপান্তরিত হয়, তখন কাজ ও তাপ পরস্পর সমানুপাতিক (\(W \propto Q\))।
গাণিতিক রূপ: \(\Delta Q = \Delta U + \Delta W\)।
গণনা:
- \(\Delta Q = +500\,\text{J}\) (গৃহীত তাপ)
- \(\Delta W = +300\,\text{J}\) (সম্পাদিত কাজ)
\[\Delta U = \Delta Q - \Delta W = 500 - 300 = \mathbf{+200\,\text{J}}\]
অভ্যন্তরীণ শক্তি \(200\,\text{J}\) বৃদ্ধি পায়।
দ্য ব্রগলি (de Broglie) তরঙ্গদৈর্ঘ্যের সমীকরণ \(\lambda = \frac{h}{p}\) প্রতিপাদন করো। \(100\,\text{V}\) বিভব পার্থক্যের মধ্য দিয়ে ত্বরান্বিত একটি ইলেকট্রনের দ্য ব্রগলি তরঙ্গদৈর্ঘ্য কত? (\(h = 6.63 \times 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}, m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\text{kg}, e = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}\)) [মান: ৫]
প্রতিপাদন: আইনস্টাইনের সমীকরণ \(E = m c^2 = h \nu = h \frac{c}{\lambda} \implies \lambda = \frac{h}{m c} = \frac{h}{p}\)।
ইলেকট্রনের তরঙ্গদৈর্ঘ্য:
গতিশক্তি \(K = e V = \frac{p^2}{2m} \implies p = \sqrt{2 m e V}\)।
\[\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m e V}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times (9.11 \times 10^{-31}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times 100}}\]
\[\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2.9152 \times 10^{-47}}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{5.40 \times 10^{-24}} = 1.228 \times 10^{-10}\,\text{m} = \mathbf{0.123\,\text{nm (1.23 \AA)}}\]
ভূ-পৃষ্ঠ হতে কত উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) এর মান ভূ-পৃষ্ঠের মানের 64% হবে? (পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(R = 6400 ext{ km}\))
প্রদত্ত: \(g_h = 0.64 g\), পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \(R = 6400 ext{ km}\)।
উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের সূত্র: \[g_h = g \left( rac{R}{R + h}
ight)^2 \implies 0.64 = \left( rac{R}{R + h}
ight)^2\]
উভয়পক্ষে বর্গমূল নিয়ে: \[0.8 = rac{R}{R + h} \implies 0.8(R + h) = R \implies 0.8h = 0.2R\]
\[h = rac{0.2}{0.8} R = rac{1}{4} R = rac{6400}{4} = 1600 ext{ km}\]
মহাকর্ষ বল ও দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতিক সম্পর্ক প্রয়োগ।
ফ্যারাডের তড়িৎ বিশ্লেষণের ১ম সূত্রটি লেখ। কপার সালফেট দ্রবণে \(2\,\text{A}\) কারেন্ট \(30\) মিনিট ধরে চালনা করলে ক্যাথোডে কত গ্রাম তামা জমা হবে? (\(\text{Cu}\)-এর তড়িৎ রাসায়নিক তুল্যাঙ্ক \(Z = 0.000329\,\text{g/C}\)) [মান: ৫]
১ম সূত্র: তড়িৎ বিশ্লেষণের সময় কোনো তড়িৎদ্বারে সঞ্চিত বা দ্রবীভূত পদার্থের ভর প্রবাহিত তড়িৎ আধানের সমানুপাতিক (\(W \propto Q \implies W = Z I t\))।
গণনা:
- \(I = 2\,\text{A}\)
- \(t = 30 \times 60 = 1800\,\text{s}\)
- \(Z = 0.000329\,\text{g/C}\)
\[W = Z \cdot I \cdot t = 0.000329 \times 2 \times 1800 = 0.000329 \times 3600 = \mathbf{1.1844\,\text{g}}\]
অতএব ক্যাথোডে \(1.184\,\text{g}\) তামা জমা হবে।
লা-শাতেলিয়ারের নীতিটি বিবৃত করো। হেবার-বশ পদ্ধতিতে অ্যামোনিয়া সংশ্লেষণের সাম্যাবস্থায়:
\[\text{N}_2(g) + 3\text{H}_2(g) \rightleftharpoons 2\text{NH}_3(g), \quad \Delta H = -92.4\,\text{kJ/mol}\]
তাপমাত্রা ও চাপের প্রভাব ব্যাখ্যা করো। সর্বোচ্চ উৎপাদনের অনুকূল শর্ত কী? [মান: ৫]
নীতি: কোনো উভমুখী বিক্রিয়া সাম্যাবস্থায় থাকাকালে তাপমাত্রা, চাপ বা ঘনমাত্রার মতো নিয়ামক পরিবর্তন করলে সাম্যের অবস্থান এমনভাবে পরিবর্তিত হয় যাতে নিয়ামক পরিবর্তনের ফলাফল প্রশমিত হয়।
প্রভাব:
১. তাপমাত্রার প্রভাব: যেহেতু বিক্রিয়াটি তাপোৎপাদী (\(\Delta H < 0\)), তাপমাত্রা বৃদ্ধি করলে লা-শাতেলিয়ার নীতি অনুসারে বিক্রিয়া পেছনের দিকে সরে যাবে (অ্যামোনিয়া উৎপাদন কমবে)। তাই কম তাপমাত্রা অনুকূল (তবে গতি ঠিক রাখতে সর্বোত্তম তাপমাত্রা \(450^\circ-500^\circ\text{C}\))।
২. চাপের প্রভাব: বামে মোট ৪ মোল গ্যাস এবং ডানে ২ মোল গ্যাস। চাপ বাড়ালে বিক্রিয়া বেশি মোল থেকে কম মোলের দিকে (সম্মুখপানে) ধাবিত হবে।
অনুকূল শর্ত: \(200\,\text{atm}\) উচ্চ চাপ, \(450^\circ-500^\circ\text{C}\) তাপমাত্রা এবং আয়রন (Fe) প্রভাবক।
মারকনিকভের (Markownikoff's) নিয়মটি বিবৃত করো এবং প্রোপিনের (\(\text{CH}_3-\text{CH}=\text{CH}_2\)) সাথে \(\text{HBr}\)-এর বিক্রিয়াটিতে প্রধান উৎপাদ কোনটি হবে তা বিক্রিয়াসহ ব্যাখ্যা করো। [মান: ৫]
মারকনিকভের নিয়ম: অসম অসম্পৃক্ত হাইড্রোকার্বনের সাথে অসম বিকারক অণুর সংযোজন বিক্রিয়ায় বিকারকের ঋণাত্মক অংশটি দ্বিবন্ধনযুক্ত কার্বনদ্বয়ের যেটিতে কম সংখ্যক হাইড্রোজেন পরমাণু রয়েছে তার সাথে যুক্ত হয়।
প্রোপিন + HBr বিক্রিয়া:
\[\text{CH}_3-\text{CH}=\text{CH}_2 + \text{HBr} \longrightarrow \text{CH}_3-\text{CH}(\text{Br})-\text{CH}_3 \quad (80\%\text{ 2-Bromopropane})\]
- প্রোপিনের মাঝের কার্বনে মাত্র ১টি হাইড্রোজেন থাকায় ঋণাত্মক ব্রোমাইড (\(\text{Br}^-\)) আয়ন সেখানে যুক্ত হয়ে প্রধান উৎপাদ 2-ব্রোমোপ্রোপেন তৈরি করে।
আম্লিক মাধ্যমে পটাশিয়াম পারম্যাঙ্গানেট (\(\text{KMnO}_4\)) দ্বারা অক্সালিক অ্যাসিড (\(\text{H}_2\text{C}_2\text{O}_4\)) এর জারণ-বিজারণ বিক্রিয়াটি আয়ন-ইলেকট্রন পদ্ধতিতে সমতাবিধান করো।
বিক্রিয়ার সমতাবিধান ধাপসমূহ:
১. বিজারণ অর্ধ-বিক্রিয়া:
\[\text{MnO}_4^- + 8\text{H}^+ + 5e^- \longrightarrow \text{Mn}^{2+} + 4\text{H}_2\text{O} \quad \times 2\]
২. জারণ অর্ধ-বিক্রিয়া:
\[\text{C}_2\text{O}_4^{2-} \longrightarrow 2\text{CO}_2 + 2e^- \quad \times 5\]
৩. ইলেকট্রন সমতা করে যোগ:
\[2\text{MnO}_4^- + 16\text{H}^+ + 5\text{C}_2\text{O}_4^{2-} \longrightarrow 2\text{Mn}^{2+} + 10\text{CO}_2 + 8\text{H}_2\text{O}\]
আণবিক রূপ:
\[2\text{KMnO}_4 + 5\text{H}_2\text{C}_2\text{O}_4 + 3\text{H}_2\text{SO}_4 \longrightarrow \text{K}_2\text{SO}_4 + 2\text{MnSO}_4 + 10\text{CO}_2 + 8\text{H}_2\text{O}\]
আয়ন-ইলেকট্রন পদ্ধতিতে জারণ সংখ্যা পরিবর্তন ও ইলেকট্রন বিনিময় সমীকরণ।
প্রোপিনের (\(\text{CH}_3-\text{CH}=\text{CH}_2\)) সাথে \(\text{HBr}\) এর সংযোজন বিক্রিয়াটি (ক) পারঅক্সাইডের অনুপস্থিতিতে (মারকভনিকভ নিয়ম) এবং (খ) জৈব পারঅক্সাইডের উপস্থিতিতে (খারাশ প্রভাব) সমীকরণসহ কৌশল ব্যাখ্যা করো।
(ক) পারঅক্সাইডের অনুপস্থিতিতে (Markovnikov's Rule):
অপ্রতিসম অ্যালকিনে অসম বিকারক যুক্ত হলে ঋণাত্মক অংশ (\(\text{Br}^-\)) কম হাইড্রোজেনযুক্ত কার্বনে যুক্ত হয়।
\[\text{CH}_3-\text{CH}=\text{CH}_2 + \text{HBr} \longrightarrow \text{CH}_3-\text{CH(Br)}-\text{CH}_3 \quad (2\text{-ব্রোমোপ্রোপেন, মূখ্য})\]
কৌশল: অধিক স্থিতিশীল ২° কার্বোক্যাটায়ন (\(\text{CH}_3-\text{CH}^+-\text{CH}_3\)) গঠনের মাধ্যমে বিক্রিয়াটি ঘটে।
(খ) পারঅক্সাইডের উপস্থিতিতে (Anti-Markovnikov / Kharasch Effect):
মুক্তমূলক (Free Radical) মেকানিজমে \(\text{Br}^\bullet\) অধিক হাইড্রোজেনযুক্ত প্রান্তে যুক্ত হয়ে অধিক স্থিতিশীল ২° মুক্তমূলক গঠন করে।
\[\text{CH}_3-\text{CH}=\text{CH}_2 + \text{HBr} \xrightarrow{\text{Peroxide}} \text{CH}_3-\text{CH}_2-\text{CH}_2\text{Br} \quad (1\text{-ব্রোমোপ্রোপেন, মূখ্য})\]
মারকভনিকভ ও বিপরীত মারকভনিকভ সংযোজন কৌশল ও কার্বোক্যাটায়ন/মুক্তমূলকের স্থায়িত্ব।
যদি \(2x^2 - 5x + 2 = 0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হয়, তবে এমন একটি নতুন দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করো যার মূলদ্বয় হবে \(\frac{1}{\alpha}\) এবং \(\frac{1}{\beta}\)। [মান: ৫]
প্রদত্ত সমীকরণ: \(2x^2 - 5x + 2 = 0\)।
মূলদ্বয়ের যোগফল: \(\alpha + \beta = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}\)
মূলদ্বয়ের গুণফল: \(\alpha \beta = \frac{2}{2} = 1\)
নতুন সমীকরণের মূলদ্বয়:
১. নতুন মূলদ্বয়ের যোগফল: \[S = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{5/2}{1} = \frac{5}{2}\]
২. নতুন মূলদ্বয়ের গুণফল: \[P = \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha \beta} = \frac{1}{1} = 1\]
নতুন দ্বিঘাত সমীকরণ: \[x^2 - S x + P = 0 \implies x^2 - \frac{5}{2}x + 1 = 0 \implies \mathbf{2x^2 - 5x + 2 = 0}\]
মান নির্ণয় করো: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}\] [মান: ৫]
সমাধান: \(x = 0\) বসালে রাশিটি \(\frac{0}{0}\) অনির্ণেয় আকার পায়। এল-হসপিটাল নীতি প্রয়োগ করে:
১ম অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x} \quad \left(\frac{0}{0} \text{ আকার}\right)\]
২য় অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x} \quad \left(\frac{0}{0} \text{ আকার}\right)\]
৩য় অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{e^0 + e^0}{\cos 0} = \frac{1 + 1}{1} = \mathbf{2}\]
নির্দিষ্ট সমাকলন (Definite Integration) ব্যবহার করে \(y = x^2\) পরাবৃত্ত এবং \(y = x\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো। [মান: ৫]
ছেদবিন্দু নির্ণয়:
\(x^2 = x \implies x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0 \implies x = 0, 1\)।
সীমা: \(x = 0\) থেকে \(x = 1\) পর্যন্ত রেখাটি (\(y = x\)) বক্ররেখার (\(y = x^2\)) উপরে অবস্থিত।
ক্ষেত্রফল সূত্র:
\[A = \int_{0}^{1} (y_1 - y_2) \, dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}\]
\[A = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - 0 = \frac{3 - 2}{6} = \mathbf{\frac{1}{6}\text{ বর্গ একক}}\]
পরাবৃত্ত \(y^2 = 4x\) এবং সরলরেখা \(y = 2x\) দ্বারা সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
প্রদত্ত বক্ররেখা: \(y^2 = 4x\) এবং সরলরেখা \(y = 2x\)।
ছেদবিন্দু নির্ণয়: \[ (2x)^2 = 4x \implies 4x^2 - 4x = 0 \implies 4x(x - 1) = 0 \implies x = 0, 1 \]
যখন \(x = 0\), \(y = 0\); যখন \(x = 1\), \(y = 2\)। অর্থাৎ ছেদবিন্দু \((0,0)\) এবং \((1,2)\)।
সীমাবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল: \[A = \int_0^1 (y_{\text{upper}} - y_{\text{lower}}) \, dx = \int_0^1 (2\sqrt{x} - 2x) \, dx\]
\[A = \left[ 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \left[ \frac{4}{3}x^{3/2} - x^2 \right]_0^1\]
\[A = \frac{4}{3}(1) - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3} \text{ বর্গ একক}\]
ছেদবিন্দু নির্ধারণ ও নির্দিষ্ট যোগজের সাহায্যে দুটি বক্ররেখার মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফল।
প্রমাণ করো যে: \[\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{16}\]
বামপক্ষ: \[LHS = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ\]
আমরা জানি \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\):
\[LHS = \frac{1}{2} [\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ] = \frac{1}{4} [2 \cos 40^\circ \cos 20^\circ] \cos 80^\circ\]
সূত্র \(2 \cos A \cos B = \cos(A + B) + \cos(A - B)\) প্রয়োগ করে:
\[= \frac{1}{4} [\cos 60^\circ + \cos 20^\circ] \cos 80^\circ = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2} + \cos 20^\circ \right] \cos 80^\circ\]
\[= \frac{1}{8} \cos 80^\circ + \frac{1}{4} \cos 80^\circ \cos 20^\circ = \frac{1}{8} \cos 80^\circ + \frac{1}{8} [2 \cos 80^\circ \cos 20^\circ]\]
\[= \frac{1}{8} \cos 80^\circ + \frac{1}{8} [\cos 100^\circ + \cos 60^\circ] = \frac{1}{8} \cos 80^\circ + \frac{1}{8} \cos(180^\circ - 80^\circ) + \frac{1}{8} \left(\frac{1}{2}\right)\]
\[= \frac{1}{8} \cos 80^\circ - \frac{1}{8} \cos 80^\circ + \frac{1}{16} = \frac{1}{16} = RHS \quad \text{[প্রমাণিত]}\]
ত্রিকোণমিতিক রূপান্তর সূত্রাবলীর ধারাক্রমিক প্রয়োগ ও প্রমাণ।
নিচের বাক্যগুলোর ব্যাকরণগত ভুল সংশোধন করে সঠিক বাক্য লেখ:
(i) He gave me many advices.
(ii) The sceneries of Cox's Bazar are very charming.
(iii) He is senior than me in service.
(iv) Neither of the two boys have attended the lecture.
(v) One should do his duty sincerely. [মান: ৫]
সংশোধিত বাক্যসমূহ:
(i) Correct: He gave me much advice. (বা He gave me many pieces of advice. 'Advice' আনকাউন্টেবল নাউন)।
(ii) Correct: The scenery of Cox's Bazar is very charming. ('Scenery' সর্বদা সিঙ্গুলার)।
(iii) Correct: He is senior to me in service. (Senior, junior, superior, inferior এর পর 'to' বসে)।
(iv) Correct: Neither of the two boys has attended the lecture. ('Neither of' এর পর সিঙ্গুলার ভার্ব বসে)।
(v) Correct: One should do one's duty sincerely. (Subject 'One' হলে possessive রূপ 'one's' হয়)।
নির্দেশনা অনুযায়ী বাক্যগুলো রূপান্তর করো:
(i) No other metal is as useful as iron. (Make it Superlative)
(ii) He is too weak to carry the heavy load. (Make it Complex)
(iii) As soon as the bell rang, the students entered the examination hall. (Make it Negative using 'No sooner had')
(iv) Every mother loves her child. (Make it Negative)
(v) Man is mortal. (Make it Interrogative) [মান: ৫]
উত্তরসমূহ:
(i) Superlative: Iron is the most useful metal.
(ii) Complex: He is so weak that he cannot carry the heavy load.
(iii) Negative: No sooner had the bell rung than the students entered the examination hall.
(iv) Negative: There is no mother but loves her child.
(v) Interrogative: Isn't man mortal?
Change the speech of the following sentences into Indirect:
(i) The instructor said to the students, "Why did you not connect the ammeter in series?"
(ii) The engineer said, "Do not touch the high-voltage busbar."
(iii) He said, "The earth moves round the sun."
(iv) The manager said to me, "Can you complete the PCB layout by tomorrow?"
(v) The student said, "Alas! I have forgotten my scientific calculator." [মান: ৫]
Indirect Speech:
(i) The instructor asked the students why they had not connected the ammeter in series.
(ii) The engineer warned / forbade them not to touch the high-voltage busbar (বা forbade them to touch the high-voltage busbar).
(iii) He said that the earth moves round the sun. (Universal truth remains unchanged).
(iv) The manager asked me if I could complete the PCB layout by the next day.
(v) The student exclaimed with sorrow that he had forgotten his scientific calculator.
২য় পত্র: টেকনিক্যাল (বিভাগীয় বিষয়)
সিভিল ইঞ্জিনিয়ারিং (স্পেশালাইজড ইঞ্জিনিয়ারিং)বিভাগ-ক: বহু নির্বাচনি প্রশ্ন (Technical MCQ)
৪০টি প্রশ্ন × ১.৫ নম্বর = ৬০ নম্বর (নেগেটিভ মার্ক ০.২৫)সম্পূর্ণ সম্পৃক্ত মাটিতে (Fully Saturated Soil) সম্পৃক্তি মাত্রা (Degree of Saturation, S) এর মান কত?
মাটির প্লাস্টিসিটি ইনডেক্স (Plasticity Index, PI) নির্ণয়ের সঠিক সূত্র কোনটি?
ডিমেনশনাল ডায়নামিকসে ডার্সির সূত্র (Darcy's Law) অনুসারে মাটিতে পানির নিঃসরণ বেগ (v) কিসের সমানুপাতিক?
টারজাঘির একক বিয়ারিং ক্ষমতা সমীকরণে স্ট্রিপ ফুটিংয়ের (Strip Footing) জন্য আলটিমেট ভারবহন ক্ষমতা (q_ult) কোনটি?
হাইওয়েতে অনুভূমিক বাঁকে কেন্দ্রাতিগ বল (Centrifugal Force) প্রশমিত করতে রাস্তার বাইরের ধার ভেতরের ধার অপেক্ষা উঁচুকরণকে কী বলে?
সড়কের পৃষ্ঠ হতে বৃষ্টির পানি নিষ্কাশনের সুবিধার্থে রাস্তার কেন্দ্রের অংশকে দুই পাশের চেয়ে সামান্য উঁচুকরণকে কী বলা হয়?
বিশুদ্ধ পানির 5-দিনের বায়োকেমিক্যাল অক্সিজেন ডিমান্ড (BOD₅) সাধারণত কত হওয়া উচিত?
পানীয় জল শোধনাগারে রোগ সৃষ্টিকারী ক্ষতিকর জীবাণু ধ্বংসের জন্য ক্লোরিনেশন প্রক্রিয়াকে কী বলা হয়?
আরসিসি ডিজাইনে টেনসাইল রডের নূন্যতম রিইনফোর্সমেন্ট রেশিও (ρ_min) নির্ধারণের মূল উদ্দেশ্য কী?
আরসিসি বিমে আন্ডার-রিইনফোর্সড (Under-Reinforced) ডিজাইনে ব্যর্থতার প্রকৃতি কেমন হয়?
আরসিসি বিমে ডায়াগোনাল টেনশন ফাটল (Diagonal Tension Crack) সাধারণত কোন অঞ্চলে দেখা যায়?
একটি দ্বিমুখী স্ল্যাবের (Two-Way Slab) দীর্ঘতম স্প্যান (L) ও সংক্ষিপ্ত স্প্যানের (S) অনুপাত (L/S) কত হতে হয়?
কলামে টাই বার (Ties) বা ল্যাটারাল স্পাইরাল ব্যবহারের প্রধান কাঠামোগত উদ্দেশ্য কোনটি?
প্রজেক্ট ম্যানেজমেন্টে ক্রিটিক্যাল পাথ (Critical Path Method, CPM) বলতে নিচের কোনটিকে বোঝায়?
স্টিলে কার্বনের শতকরা পরিমাণ বৃদ্ধি করলে স্টিলের যান্ত্রিক বৈশিষ্ট্যে কোন পরিবর্তন ঘটে?
মৃদু ইস্পাতের (Mild Steel) জন্য আদর্শ ইয়ং মডুলাস (Modulus of Elasticity, E) এর মান কত?
সাধারণ ইটের আদর্শ পরিমাপ (Standard Modular Size of Brick in Bangladesh, মসলা ছাড়া) কোনটি?
কাঠামোগত ট্রাসে (Truss) মেম্বারসমূহের সংযোগস্থলকে সাধারণত কী প্রকৃতির জয়েন্ট বিবেচনা করা হয়?
কংক্রিট ঢালাইয়ের পর পানির সংস্পর্শে শক্তিবৃদ্ধি প্রক্রিয়ার জন্য প্রয়োজনীয় আর্দ্রকরণ প্রক্রিয়াকে কী বলে?
সাধারণ পোর্টল্যান্ড সিমেন্টের (OPC) প্রাথমিক জমাটবদ্ধ কাল (Initial Setting Time) ন্যূনতম কত?
কংক্রিটের স্ট্যান্ডার্ড কিউব টেস্টের (Compressive Strength) আদর্শ সাইজ কোনটি?
কংক্রিট তৈরিতে পানির সাথে সিমেন্টের ওজন অনুপাত (Water-Cement Ratio) বৃদ্ধি করলে কোনটি ঘটে?
বালির সূক্ষ্মতা গুণাঙ্ক (Fineness Modulus, FM) 2.6 হতে 2.9 হলে উক্ত বালিকে কোন শ্রেণীর অন্তর্ভুক্ত করা হয়?
সিমেন্টের সাউন্ডনেস (Soundness) বা আয়তন স্থায়িত্ব পরীক্ষার জন্য কোন যন্ত্রটি ব্যবহৃত হয়?
লেভেলিংয়ে ব্যাকসাইট (Backsight, BS) পাঠ সর্বদা কোন বিন্দুতে নেওয়া হয়?
লেভেলিং যন্ত্রের উচ্চতা পদ্ধতিতে যন্ত্রের অক্ষের উচ্চতা (Height of Instrument, HI) নির্ণয়ের সমীকরণ কোনটি?
পৃথিবীর বক্রতার (Curvature) জন্য লেভেলিং পাঠে প্রয়োজনীয় সংশোধন (Curvature Correction, C_c) এর মান কত?
একটি কন্ট্যুর ম্যাপে কন্ট্যুর রেখাসমূহ খুব কাছাকাছি ঘন সন্নিবিষ্ট থাকলে তা ভূমির কোন প্রকৃতি নির্দেশ করে?
হুকের সূত্র (Hooke's Law) স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে পীড়ন ও বিকৃতির কোন সম্পর্ক নির্দেশ করে?
পয়সনের অনুপাত (Poisson's Ratio, ν) বলতে নিচের কোন দুই বিকৃতির অনুপাতকে বোঝায়?
সমভাবে বিস্তৃত লোড (UDL) বিশিষ্ট সাধারণভাবে স্থাপিত বিমের বেন্ডিং মোমেন্ট ডায়াগ্রামের (BMD) আকার কেমন হয়?
বিমের যে বিন্দুতে বেন্ডিং মোমেন্টের মান শূন্য হয় এবং বক্রতার দিক ধনাত্মক হতে ঋণাত্মকে পরিবর্তিত হয় তাকে কী বলে?
ফ্লেক্সারাল সূত্র (Bending Stress Formula) অনুসারে বিমের প্রস্থচ্ছেদে বেন্ডিং স্ট্রেসের সঠিক সমীকরণ কোনটি?
বৃত্তাকার শ্যাফটের টরশন সূত্রে পোলার সেকশন মডুলাস (Z_p) এর মান d ব্যাসের শ্যাফটের জন্য কত?
ইউলারের সূত্র অনুসারে উভয় প্রান্ত ফিক্সড (Fixed-Fixed) কলামের কার্যকরী দৈর্ঘ্য (Effective Length, L_e) কত?
তরলে নিমজ্জিত সমতল উল্লম্ব পৃষ্ঠে কার্যকর মোট হাইড্রোস্ট্যাটিক বল (Total Pressure, F) এর সূত্র কোনটি?
পাইপে প্রবাহিত পানির হেড লস (Head Loss) নির্ণয়ে ডার্সি-ওয়েইসব্যাক (Darcy-Weisbach) সূত্র কোনটি?
ম্যানিংয়ের সূত্রে উন্মুক্ত খালের হাইড্রোলিক ব্যাসার্ধ (Hydraulic Radius, R) এর সংজ্ঞা কোনটি?
একটি উন্মুক্ত খালে ফ্রউড সংখ্যা (Froude Number, Fr) > 1.0 হলে উক্ত প্রবাহকে কী বলা হয়?
মৃত্তিকা বলবিদ্যায় মাটির শূন্যস্থান অনুপাত (Void Ratio, e) এবং রন্ধ্রতার (Porosity, n) সঠিক সম্পর্ক কোনটি?
বিভাগ-খ: টেকনিক্যাল লিখিত প্রশ্ন (Technical Written/CQ)
১৮টি প্রশ্ন × ৫ নম্বর = ৯০ নম্বরপূর্ণ বৃত্ত বিয়ারিং (WCB) এবং হ্রাসকৃত বিয়ারিং (RB)-এর মধ্যে পার্থক্য কী? নিচের WCB মানগুলোকে সমতুল্য কোয়াড্রেন্টাল/হ্রাসকৃত বিয়ারিংয়ে (RB) রূপান্তর করো:
(i) \(45^\circ 30'\)
(ii) \(130^\circ 15'\)
(iii) \(240^\circ 00'\)
(iv) \(315^\circ 45'\) [মান: ৫]
পার্থক্য: WCB উত্তর দিক থেকে ক্লকওয়াইজ \(0^\circ - 360^\circ\) মাপা হয়; RB উত্তর বা দক্ষিণ থেকে পূর্ব বা পশ্চিমে \(0^\circ - 90^\circ\) মাপা হয় (যেমন: N\(\theta\)E)।
রূপান্তর:
(i) \(45^\circ 30'\) (১ম চতুর্ভাগ) \(\rightarrow\) N \(45^\circ 30'\) E
(ii) \(130^\circ 15'\) (২য় চতুর্ভাগ) \(\rightarrow 180^\circ - 130^\circ 15' =\) S \(49^\circ 45'\) E
(iii) \(240^\circ 00'\) (৩য় চতুর্ভাগ) \(\rightarrow 240^\circ - 180^\circ =\) S \(60^\circ 00'\) W
(iv) \(315^\circ 45'\) (৪র্থ চতুর্ভাগ) \(\rightarrow 360^\circ - 315^\circ 45' =\) N \(44^\circ 15'\) W
একটি সিম্পল সার্কুলার কার্ভের ব্যাসার্ধ \(R = 300\,\text{m}\) এবং ডিফ্লেকশন কোণ \(\Delta = 60^\circ\)।
(ক) ট্যাঞ্জেন্ট দৈর্ঘ্য (\(T\)) নির্ণয় করো।
(খ) কার্ভের দৈর্ঘ্য (\(L\)) এবং অ্যাপেক্স দূরত্ব (\(E\)) কত? [মান: ৫]
গণনা:
(ক) ট্যাঞ্জেন্ট দৈর্ঘ্য: \[T = R \tan(\Delta / 2) = 300 \times \tan(30^\circ) = 300 \times 0.57735 = \mathbf{173.205\,\text{m}}\]
(খ) কার্ভের দৈর্ঘ্য: \[L = \frac{\pi R \Delta}{180^\circ} = \frac{3.1416 \times 300 \times 60}{180} = \pi \times 100 = \mathbf{314.16\,\text{m}}\]
অ্যাপেক্স দূরত্ব: \[E = R [\sec(\Delta / 2) - 1] = 300 \times [\sec(30^\circ) - 1] = 300 \times [1.1547 - 1] = 300 \times 0.1547 = \mathbf{46.41\,\text{m}}\]
একটি \(6\,\text{m}\) দীর্ঘ সাধারণভাবে সমর্থিত (Simply Supported) বিমের কেন্দ্রবিন্দুতে একটি \(12\,\text{kN}\) একক বিন্দু লোড (Point Load) প্রয়োগ করা আছে।
(ক) সাপোর্ট রিঅ্যাকশনদ্বয় নির্ণয় করো।
(খ) শেয়ার ফোর্স ডায়াগ্রাম (SFD) এবং বেন্ডিং মোমেন্ট ডায়াগ্রাম (BMD) অঙ্কন করো এবং সর্বোচ্চ মোমেন্টের মান দেখাও। [মান: ৫]
গণনা:
(ক) প্রতিসাম্যের কারণে সাপোর্ট রিঅ্যাকশন: \[R_A = R_B = \frac{12}{2} = \mathbf{6\,\text{kN}}\]
(খ) SFD:
- \(x = 0\) থেকে \(3\,\text{m}\) (বাম অংশ): \(SF = +6\,\text{kN}\) (সোজা অনুভূমিক রেখা)
- \(x = 3\,\text{m}\)-এ: \(SF = 6 - 12 = -6\,\text{kN}\)
- \(x = 3\,\text{m}\) থেকে \(6\,\text{m}\): \(SF = -6\,\text{kN}\)
BMD:
- প্রান্তে মোমেন্ট \(M_A = M_B = 0\)।
- কেন্দ্রবিন্দুতে সর্বোচ্চ বেন্ডিং মোমেন্ট: \[M_{max} = \frac{W L}{4} = \frac{12 \times 6}{4} = \mathbf{18\,\text{kN}\cdot\text{m}}\]
মোমেন্ট ডায়াগ্রাম দুই প্রান্তে সরলরৈখিকভাবে শূন্য থেকে কেন্দ্রে \(18\,\text{kN}\cdot\text{m}\) পর্যন্ত উঠবে (ত্রিভুজাকার)।
বিমের বেন্ডিং পীড়নের সমীকরণ \(\frac{M}{I} = \frac{\sigma}{y} = \frac{E}{R}\) বিবৃত করো। \(200\,\text{mm} \times 300\,\text{mm}\) আকারের একটি আয়তাকার বিমের সেকশন মডুলাস (\(Z\)) এবং জড়তার ভ্রামক (\(I_x\)) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
ফ্লেক্সার সমীকরণ: বিমে খাঁটি বেন্ডিংয়ের ক্ষেত্রে বেন্ডিং মোমেন্ট \(M\), জড়তার ভ্রামক \(I\), নিরপেক্ষ অক্ষ থেকে দূরত্ব \(y\), বেন্ডিং স্ট্রেস \(\sigma\), ইলাস্টিক মডুলাস \(E\) এবং বক্রতার ব্যাসার্ধ \(R\)-এর অনুপাত সমান।
গণনা (\(b = 200\,\text{mm}, d = 300\,\text{mm}\)):
১. জড়তার ভ্রামক (Neutral axis-এর সাপেক্ষে): \[I_x = \frac{b d^3}{12} = \frac{200 \times (300)^3}{12} = \frac{200 \times 2.7 \times 10^7}{12} = \mathbf{4.5 \times 10^8\,\text{mm}^4}\]
২. সেকশন মডুলাস: \[Z = \frac{b d^2}{6} = \frac{200 \times (300)^2}{6} = \frac{200 \times 90000}{6} = \mathbf{3.0 \times 10^6\,\text{mm}^3}\]
একটি আয়তাকার প্রস্থচ্ছেদের বিমে শেয়ার পীড়নের সমীকরণ \(\tau = \frac{V Q}{I b}\) ব্যাখ্যা করো। প্রমাণ করো যে আয়তাকার বিমে সর্বোচ্চ শিয়ার পীড়ন গড় শিয়ার পীড়নের ১.৫ গুণ (\(\tau_{max} = 1.5 \tau_{avg}\))। [মান: ৫]
প্রমাণ:
আয়তাকার সেকশন (\(b \times d\)):
গড় শিয়ার পীড়ন: \(\tau_{avg} = \frac{V}{b \cdot d}\)
নিরপেক্ষ অক্ষ থেকে \(y\) দূরত্বে শিয়ার পীড়ন: \[ au = \frac{V}{2 I} \left( \frac{d^2}{4} - y^2 \right)\]
সর্বোচ্চ পীড়ন ঘটে নিরপেক্ষ অক্ষে (\(y = 0\)):
\[ au_{max} = \frac{V}{2 I} \cdot \frac{d^2}{4} = \frac{V d^2}{8 \left( \frac{b d^3}{12} \right)} = \frac{12 V d^2}{8 b d^3} = \frac{3}{2} \frac{V}{b d} = \mathbf{1.5 \tau_{avg}}\] (প্রমাণিত)
RCC বিমে খাড়া স্টিরাপ (Vertical Stirrups) ব্যবহারের উদ্দেশ্য কী? ACI কোড অনুযায়ী স্টিরাপ স্পেসিং (\(s\))-এর সূত্র \(s = \frac{A_v f_y d}{V_s}\) ব্যাখ্যা করো এবং সর্বোচ্চ অনুমোদিত স্পেসিংয়ের সীমাবদ্ধতা লেখ। [মান: ৫]
উদ্দেশ্য: বিমের প্রান্তে অতিরিক্ত শেয়ার ফোর্সের কারণে সৃষ্ট \(45^\circ\) কোণের ডায়াগোনাল টেনশন ক্র্যাক (Diagonal tension crack) প্রতিরোধ করা।
সূত্র ব্যাখ্যা:
- \(A_v\): স্টিরাপের দুই পায়ের মোট ক্ষেত্রফল
- \(f_y\): স্টিলের ইল্ড স্ট্রেন্থ
- \(d\): বিমের কার্যকর গভীরতা
- \(V_s\): স্টিরাপ কর্তৃক বহনযোগ্য অতিরিক্ত শেয়ার বল (\(V_s = V_u - \phi V_c\))
সর্বোচ্চ স্পেসিং সীমাবদ্ধতা:
\(s_{max} \le \frac{d}{2}\) অথবা \(24\,\text{inches} (600\,\text{mm})\)। যদি \(V_s > 0.33\sqrt{f_c'} b_w d\) হয় তবে \(s_{max} \le d/4\)।
কংক্রিট ও স্টিলের মধ্যে বন্ড (Bond) কী? ডেভেলপমেন্ট দৈর্ঘ্য (Development Length, \(L_d\))-এর প্রয়োজনীয়তা কী? যদি পর্যাপ্ত ডেভেলপমেন্ট দৈর্ঘ্য না দেওয়া হয় তবে কী ঘটবে? [মান: ৫]
বন্ডের ধারণা: স্টিল ও কংক্রিটের ইন্টারফেসে সৃষ্ট আঠালো ঘর্ষণ বল (Adhesion and friction) যার মাধ্যমে দুটি উপাদান একসাথে একক কাঠামো হিসেবে আচরণ করে।
ডেভেলপমেন্ট লেন্থ: স্টিলের সম্পূর্ণ ইল্ড স্ট্রেস (\(f_y\)) কংক্রিটে নিরাপদে স্থানান্তরিত করার জন্য কংক্রিটের ভেতরে রডকে ন্যূনতম যে দৈর্ঘ্য পর্যন্ত প্রবেশ করাতে হয়, তাকে ডেভেলপমেন্ট দৈর্ঘ্য বলে।
পর্যাপ্ত না হলে পরিণতি: লোড বাড়লে রড কংক্রিট থেকে পিছলে (Bond failure / Pull-out) বেরিয়ে আসবে এবং বিম বা জয়েন্ট সম্পূর্ণ ব্যর্থ হবে।
বার্নোলির উপপাদ্য (Bernoulli's Theorem) বিবৃত করো এবং এর শর্তাবলী লেখ। ভেনচুরিমিটারের (Venturimeter) মধ্য দিয়ে পানি প্রবাহের ডিসচার্জের সূত্র \(Q = \frac{C_d a_1 a_2}{\sqrt{a_1^2 - a_2^2}} \sqrt{2gh}\) ব্যাখ্যা করো। [মান: ৫]
বিবৃতি: কোনো অবিচ্ছিন্ন, ঘর্ষণহীন ও অসংকোচনীয় তরলের ধারারেখ প্রবাহে প্রতিটি বিন্দুতে প্রেসার হেড, ভেলোসিটি হেড এবং ডেটাম হেডের সমষ্টি সর্বদা ধ্রুবক থাকে: \[ rac{P}{\gamma} + \frac{v^2}{2g} + z = \text{Constant}\]
শর্তসমূহ: তরল আদর্শ, অসংকোচনীয়, ঘর্ষণহীন (অসান্দ্র) এবং প্রবাহ স্থির (Steady) হতে হবে।
ভেনচুরিমিটার সমীকরণ:
- \(a_1\): ইনলেট পাইপের প্রস্থচ্ছেদ
- \(a_2\): সরু থ্রোটের (Throat) প্রস্থচ্ছেদ
- \(h\): ইনলেট ও থ্রোটের মধ্যকার প্রেসার হেড পার্থক্য (\(\frac{P_1 - P_2}{\gamma}\))
- \(C_d\): ডিসচার্জ সহগ (\(0.96 - 0.98\))
পাইপে ঘর্ষণজনিত হেড লস নির্ণয়ের ডার্সি-ওয়েসবাখ সমীকরণ \(h_f = \frac{4 f L v^2}{2 g d}\) ব্যাখ্যা করো। একটি \(200\,\text{m}\) দীর্ঘ ও \(0.1\,\text{m}\) ব্যাসের পাইপে পানির গতিবেগ \(2\,\text{m/s}\) এবং ঘর্ষণ সহগ \(f = 0.005\) হলে হেড লস কত? [মান: ৫]
গণনা:
- \(L = 200\,\text{m}\)
- \(d = 0.1\,\text{m}\)
- \(v = 2\,\text{m/s}\)
- \(f = 0.005\)
- \(g = 9.81\,\text{m/s}^2\)
\[h_f = \frac{4 \times 0.005 \times 200 \times (2)^2}{2 \times 9.81 \times 0.1} = \frac{4 \times 0.005 \times 200 \times 4}{1.962} = \frac{16}{1.962} = \mathbf{8.155\,\text{m}}\]
অতএব পাইপে ঘর্ষণজনিত হেড লস \(8.155\,\text{m}\)।
রেনল্ডস সংখ্যা (Reynolds Number, \(R_e\))-এর সংজ্ঞা ও সমীকরণ দাও। পাইপের মধ্য দিয়ে প্রবাহের ক্ষেত্রে ল্যামিনার (Laminar) ও টার্বুলেন্ট (Turbulent) প্রবাহের জন্য \(R_e\)-এর সীমারেখা কত? [মান: ৫]
সংজ্ঞা: তরল প্রবাহে জড়তা বল (Inertia force) এবং সান্দ্রতা বলের (Viscous force) অনুপাতকে রেনল্ডস সংখ্যা বলে: \[R_e = \frac{\rho v d}{\mu} = \frac{v d}{\nu}\]
- \(\rho\): তরলের ঘনত্ব, \(v\): প্রবাহের বেগ, \(d\): পাইপের ব্যাস, \(\mu\): ডাইনামিক সান্দ্রতা, \(\nu\): কাইনেমেটিক সান্দ্রতা।
প্রবাহের সীমারেখা:
১. Laminar Flow: \(R_e < 2000\) (তরলের কণাগুলো সমান্তরাল স্তরে স্তরে প্রবাহিত হয়)।
২. Transition: \(2000 \le R_e \le 4000\)
৩. Turbulent Flow: \(R_e > 4000\) (কণাগুলোর গতি এলোমেলো ও বিশৃঙ্খল হয়)।
মাটির ভয়েড রেশিও (\(e\)) এবং পোরোসিটি (\(n\))-এর সংজ্ঞা দাও। প্রমাণ করো যে \(n = \frac{e}{1 + e}\) এবং \(e = \frac{n}{1 - n}\)। যদি কোনো মাটির \(e = 0.80\) হয়, তবে তার পোরোসিটি কত? [মান: ৫]
সংজ্ঞা:
- \(e = V_v / V_s\) (ভয়েডের আয়তন ও কঠিন অংশের আয়তনের অনুপাত)
- \(n = V_v / V\) (ভয়েডের আয়তন ও মাটির মোট আয়তনের অনুপাত)
প্রতিপাদন:
মোট আয়তন \(V = V_s + V_v\)।
\[n = \frac{V_v}{V} = \frac{V_v}{V_s + V_v} = \frac{V_v / V_s}{1 + V_v / V_s} = \mathbf{\frac{e}{1 + e}}\]
পুনর্বিন্যাস করে: \[n (1 + e) = e \implies n + n e = e \implies e(1 - n) = n \implies \mathbf{e = \frac{n}{1 - n}}\]
গণনা (\(e = 0.80\)): \[n = \frac{0.80}{1 + 0.80} = \frac{0.80}{1.80} = 0.444 = \mathbf{44.44\%}\]
মাটির শিয়ার স্ট্রেন্থের জন্য মোহর-কুলম্ব সমীকরণ \(\tau_f = c + \sigma \tan\phi\) ব্যাখ্যা করো। কোহেশনহীন বালুকা মাটির (Sand) এবং বিশুদ্ধ কাদার (Clay) জন্য সমীকরণটি কেমন হবে? [মান: ৫]
সমীকরণ ব্যাখ্যা:
- \(\tau_f\): মাটির সর্বোচ্চ শিয়ার প্রতিরোধ ক্ষমতা
- \(c\): সংযুক্তি বা সংশক্তি (Cohesion)
- \(\sigma\): শিয়ার তলের উপর লম্ব বা নরমাল স্ট্রেস (Normal stress)
- \(\phi\): অভ্যন্তরীণ ঘর্ষণ কোণ (Angle of internal friction)
বিশেষ ক্ষেত্রে রূপ:
১. বালুকা মাটি (Pure Sand, \(c = 0\)): \[\mathbf{\tau_f = \sigma \tan\phi}\] (সম্পূর্ণ ঘর্ষণ নির্ভর)
২. সম্পৃক্ত বিশুদ্ধ কাদা (Pure Clay under undrained condition, \(\phi = 0\)): \[\mathbf{\tau_f = c_u}\] (সম্পূর্ণ কোহেশন নির্ভর)
একটি সারফেস ওয়াটার ট্রিটমেন্ট প্ল্যান্টের (Water Treatment Plant) প্রধান ধাপগুলোর নাম লিখে একটি ফ্লোচার্ট আঁকো। অ্যালুম (Alum) কোয়াগুল্যান্টের কাজ কী? [মান: ৫]
ট্রিটমেন্ট প্ল্যান্ট ফ্লোচার্ট:
নদীর পানি \(\rightarrow\) স্ক্রিনিং (Screening) \(\rightarrow\) কোয়াগুলেশন ও ফ্লকুলেশন (Alum যোগ করে) \(\rightarrow\) সেডিমেন্টেশন বা থিতানো (Sedimentation) \(\rightarrow\) দ্রুত বালুকা ফিল্ট্রেশন (Rapid Sand Filtration) \(\rightarrow\) ক্লোরিনেশন বা জীবাণুমুক্তকরণ (Disinfection) \(\rightarrow\) নিরাপদ পানির রিজার্ভার \(\rightarrow\) সরবরাহ নেটওয়ার্ক।
অ্যালুমের কাজ: পানির ভাসমান অতি-সূক্ষ্ম ঋণাত্মক চার্জযুক্ত ঘোলাটে কলয়েডাল কণাগুলোর চার্জ প্রশমিত করে বড় ফ্লক (Floc) তৈরি করা, যাতে দ্রুত নিচে তলানি পড়ে।
একটি 6 m স্প্যানের সাধারণভাবে স্থাপিত বিমের বাম প্রান্ত হতে 2 m দূরত্বে একটি 21 kN বিন্দু লোড এবং সম্পূর্ণ স্প্যান জুড়ে 5 kN/m সমভাবে বিস্তৃত লোড (UDL) কার্যকর রয়েছে। সাপোর্ট প্রতিক্রিয়া নির্ণয় করো এবং শিয়ার ফোর্স ডায়াগ্রাম (SFD) ও বেন্ডিং মোমেন্ট ডায়াগ্রাম (BMD) অঙ্কন করো। [মান: ৫]
১. সাপোর্ট রিঅ্যাকশন:
\(\sum M_A = 0 \implies R_B imes 6 - 21 imes 2 - (5 imes 6) imes rac{6}{2} = 0\)
\[R_B = 29.0 ext{ kN}, \quad R_A = 22.0 ext{ kN}\]
২. ক্রিটিক্যাল সেকশনে মোমেন্ট:
যে বিন্দুতে শিয়ার ফোর্স শূন্য হয় সেখানে সর্বোচ্চ বেন্ডিং মোমেন্ট সংঘটিত হয়। ডায়াগ্রামের গুরুত্বপূর্ণ বিন্দুসমূহ যথানিয়মে চিহ্নিত করা হলো।
বিমের ভারসাম্য সমীকরণ, সাপোর্ট প্রতিক্রিয়া ও এসএফডি-বিএমডি অঙ্কন।
একটি নিরেট বৃত্তাকার শ্যাফটের ব্যাস 65 mm। শ্যাফটটিতে 2.7 kN·m টর্ক প্রয়োগ করলে শ্যাফটের বহিঃপৃষ্ঠে সৃষ্ট সর্বোচ্চ শিয়ার পীড়ন (Maximum Shear Stress) কত হবে? [মান: ৫]
১. পোলার মোমেন্ট অব ইনার্শিয়া:
\[J = rac{\pi d^4}{32} = rac{\pi imes 65^4}{32} = 1752481.0 ext{ mm}^4\]
২. সর্বোচ্চ শিয়ার স্ট্রেস:
\[ au_{max} = rac{T \cdot r}{J} = rac{2.7 imes 10^6 imes 32.5}{1752481.0} = 50.07 ext{ MPa}\]
টর্শন ফর্মুলা ও পোলার মোমেন্ট অব ইনার্শিয়া প্রয়োগ।
একটি 520 m দীর্ঘ এবং 0.2 m ব্যাসের কাস্ট আয়রন পাইপের মধ্য দিয়ে 1.6 m/s বেগে পানি প্রবাহিত হচ্ছে। ঘর্ষণ গুণাঙ্ক \(f = 0.02\) হলে ডার্সি-ওয়েইসবাক সমীকরণ ব্যবহার করে পাইপটিতে ঘর্ষণজনিত হেড লস (Head loss due to friction, \(h_f\)) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
ডার্সি-ওয়েইসবাক সমীকরণ:
\[h_f = rac{f L v^2}{2 g d}\]
\[h_f = rac{0.02 imes 520 imes 1.6^2}{2 imes 9.81 imes 0.2} = rac{26.624}{3.924} = 6.78 ext{ m}\]
পাইপ প্রবাহে ফ্রিকশন হেড লস সমীকরণ।
ধ্রুবক হেড পারমিয়ামিটার (Constant Head Permeability Test) পরীক্ষায় নমুনার দৈর্ঘ্য \(L = 15.0\) cm এবং ব্যাস 10 cm। 31 cm ধ্রুবক হেড পার্থক্যে 120 সেকেন্ডে 205 cm³ পানি সংগৃহীত হলে মাটির ব্যাপ্তিযোগ্যতা গুণাঙ্ক (Coefficient of Permeability, \(k\)) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
ডার্সির সূত্রানুসারে ব্যাপ্তিযোগ্যতা:
প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল: \[A = rac{\pi imes 10^2}{4} = 78.54 ext{ cm}^2\]
\[k = rac{Q \cdot L}{A \cdot h \cdot t} = rac{205 imes 15.0}{78.54 imes 31 imes 120} = 0.01052 ext{ cm/s}\]
কনস্ট্যান্ট হেড টেস্ট ও ডার্সির সূত্র প্রয়োগ।
একটি দ্বিমুখী দুই-লেনের সড়কে ডিজাইন বেগ \(V = 75\) km/h। চালকের প্রতিক্রিয়া সময় 2.5 সেকেন্ড এবং অনুদৈর্ঘ্য ঘর্ষণ সহগ \(f = 0.35\) হলে সড়কটির প্রয়োজনীয় নিরাপদ থামা দৃষ্টি দূরত্ব (Stopping Sight Distance, SSD) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
SSD সমীকরণ:
বেগ \(v = rac{75}{3.6} = 20.83\) m/s।
১. ল্যাগ দূরত্ব (প্রতিক্রিয়া সময়ের দূরত্ব): \[d_1 = v \cdot t = 20.83 imes 2.5 = 52.08 ext{ m}\]
২. ব্রেকিং দূরত্ব: \[d_2 = rac{v^2}{2 g f} = rac{20.83^2}{2 imes 9.81 imes 0.35} = 63.2 ext{ m}\]
মোট SSD \(= d_1 + d_2 = 52.08 + 63.2 = 115.28 ext{ m}\]
হাইওয়ে জ্যামিতিক নকশা ও নিরাপদ দৃষ্টি দূরত্ব নির্ধারণ।