DUET Admission 2027 Model Exam 026 - সিভিল ইঞ্জিনিয়ারিং (CE)
Civil Engineering · আসন সংখ্যা: 120
১ম পত্র: নন-টেকনিক্যাল (পদার্থবিজ্ঞান, রসায়ন, গণিত ও ইংরেজি)
পদার্থবিজ্ঞান (৪০) · রসায়ন (৪০) · গণিত (৪০) · ইংরেজি (৩০)বিভাগ-ক: বহু নির্বাচনি প্রশ্ন (MCQ)
৪০টি প্রশ্ন × ১.৫ নম্বর = ৬০ নম্বর (নেগেটিভ মার্ক ০.২৫)N force 2 s কাজ করলে impulse কত?
একটি body-এর momentum 4 থেকে 10 kg·m/s হলে impulse কত?
একই momentum change-এ collision time দ্বিগুণ করলে average force কী?
Airbag ও helmet কোন principle ব্যবহার করে?
External impulse zero হলে centre of mass-এর momentum কী?
Two-particle system-এর COM velocity কী?
System-এর total momentum P=0 হলে COM velocity কী?
Explosion-এর পরে COM-এর motion কীভাবে থাকে, external force না থাকলে?
একটি 4 kg object দুই fragment-এ ভাগ হলে total mass কী?
Perfectly inelastic collision-এ kinetic energy কী হয়?
Al এর প্রথম আয়নীকরণ শক্তির প্রবণতা কোনটি?
N এর প্রথম আয়নীকরণ শক্তির প্রবণতা কোনটি?
S এর প্রথম আয়নীকরণ শক্তির প্রবণতা কোনটি?
Ne মৌলটির বিশিষ্ট রাসায়নিক বৈশিষ্ট্য কোনটি?
নিচের কোন আয়নটির ব্যাসার্ধ সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম?
M \(\text{NaOH}\) জলীয় দ্রবণের pH কত?
\(\text{ZnSO₄}\) দ্রবণে 0.5 A তড়িৎ প্রবাহ 15 মিনিট ধরে চালনা করলে ক্যাথোডে কত গ্রাম Zn (দস্তা) জমা হবে? (M = 65.4 g/mol, F = 96500 C)
Na এর পারমাণবিক ব্যাসার্ধ সংশ্লিষ্ট পর্যায়ের অন্যান্য মৌলের তুলনায় কেমন?
K এর প্রথম আয়নীকরণ শক্তির প্রবণতা কোনটি?
Mg এর পারমাণবিক ব্যাসার্ধ সংশ্লিষ্ট পর্যায়ের অন্যান্য মৌলের তুলনায় কেমন?
|z - 1| = |z + 1| হলে z কোথায় অবস্থিত?
arg z = 0 হলে z কেমন সংখ্যা?
C0 + 11C11 এর মান কত?
x³ + 1x² - 3x - 3 বহুপদটি কীভাবে উৎপাদিত হয়?
জন ব্যক্তির একটি গোল টেবিলে কত উপায়ে বসানো যেতে পারে?
i¹⁰⁰ + i¹⁰¹ + i¹⁰² + i¹⁰³ এর মান কত?
z = a + bi হলে z · z̄ = কত?
z₂ ≠ 0 হলে |z₁/z₂| কত?
i এর argument কত?
De Moivre-এর theorem অনুযায়ী (cos θ + i sin θ)ⁿ = ?
We ___ the match when it began to rain.
The old man ___ eat every afternoon.
Select the correct form of verb for the blank:
'The automated safety valve #1 prevented the high-pressure steam from ___ the turbine casing.'
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'Engineers must strictly adhere ___ standard safety protocols.'
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'She demonstrated a remarkable aptitude ___ structural mechanics.'
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'A truly accomplished scholar never boasts ___ his own intellectual achievements.'
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The ambient temperature of the server room was congenial ___ sustained operation.'
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The scientific crew did not despair ___ success despite repetitive initial failures.'
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'A sudden short-circuit spike can prove fatal ___ delicate microcircuit components.'
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The preliminary project proposal was visibly lacking ___ practical feasibility analysis.'
বিভাগ-খ: সংক্ষিপ্ত ও বর্ণনামূলক লিখিত প্রশ্ন (Written/CQ)
১৮টি প্রশ্ন × ৫ নম্বর = ৯০ নম্বরদুটি ভেক্টর \(\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}\) এবং \(\vec{B} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}\)।
(ক) ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণন (\(\vec{A} \cdot \vec{B}\)) এবং মধ্যবর্তী কোণ (\(\theta\)) নির্ণয় করো।
(খ) ভেক্টরদ্বয়ের ক্রস গুণন (\(\vec{A} \times \vec{B}\)) দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত? [মান: ৫]
গণনা:
(ক) ডট গুণন: \[ ec{A} \cdot \vec{B} = (2)(1) + (3)(-2) + (-1)(2) = 2 - 6 - 2 = \mathbf{-6}\]
মানসমূহ: \(|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{14} \approx 3.742\)
\(|\vec{B}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\)
কোণ: \[\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|} = \frac{-6}{3 \times \sqrt{14}} = \frac{-2}{\sqrt{14}} \approx -0.5345 \implies \mathbf{\theta \approx 122.31^\circ}\]
(খ) ক্রস গুণন: \[ ec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 2) - \hat{j}(4 + 1) + \hat{k}(-4 - 3) = 4\hat{i} - 5\hat{j} - 7\hat{k}\]
ক্ষেত্রফল = \(|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 25 + 49} = \sqrt{90} = \mathbf{9.487\text{ বর্গ একক}}\)।
হুকের সূত্রটি লেখ। একটি \(2\,\text{m}\) দীর্ঘ ও \(1\,\text{mm}^2\) প্রস্থচ্ছেদের তারে \(100\,\text{N}\) ভার চাপালে এর দৈর্ঘ্য \(1\,\text{mm}\) বৃদ্ধি পায়।
(ক) তারের উপাদানের ইয়ং-এর গুণাঙ্ক (\(Y\)) কত?
(খ) প্রসারিত তারে সঞ্চিত স্থিতিশক্তি (Elastic Potential Energy) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
হুকের সূত্র: স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে বস্তুর পীড়ন তার বিকৃতির সমানুপাতিক (\(\text{পীড়ন} \propto \text{বিকৃতি}\))।
গণনা:
- \(L = 2\,\text{m}, A = 1\,\text{mm}^2 = 10^{-6}\,\text{m}^2, F = 100\,\text{N}, \Delta L = 1\,\text{mm} = 10^{-3}\,\text{m}\)
(ক) ইয়ং-এর গুণাঙ্ক: \[Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L} = \frac{100 \times 2}{10^{-6} \times 10^{-3}} = \frac{200}{10^{-9}} = \mathbf{2 \times 10^{11}\,\text{N/m}^2\text{ (200 GPa)}}\]
(খ) সঞ্চিত স্থিতিশক্তি: \[U = \frac{1}{2} F \cdot \Delta L = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-3} = \mathbf{0.05\,\text{J}}\]
ডপলার প্রভাব (Doppler Effect) বিবৃত করো। একটি ট্রেনের বাঁশির প্রকৃত কম্পাঙ্ক \(400\,\text{Hz}\)। ট্রেনটি \(20\,\text{m/s}\) বেগে একজন স্থির পর্যবেক্ষকের দিকে এগিয়ে আসলে পর্যবেক্ষক কর্তৃক অনুভূত আপাত কম্পাঙ্ক কত হবে? (বাতাসে শব্দের বেগ \(v = 340\,\text{m/s}\)) [মান: ৫]
ডপলার প্রভাব: উৎস ও পর্যবেক্ষকের আপেক্ষিক গতির কারণে তরঙ্গের আপাত কম্পাঙ্কের পরিবর্তনকে ডপলার প্রভাব বলে।
গণনা: উৎস পর্যবেক্ষকের দিকে গতিশীল (\(v_s = 20\,\text{m/s}, v_o = 0\)):
\[f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 400 \left( \frac{340}{340 - 20} \right) = 400 \left( \frac{340}{320} \right) = 400 \times 1.0625 = \mathbf{425\,\text{Hz}}\]
একটি ডিফ্র্যাকশন গ্রেটিংয়ে প্রতি সেন্টিমিটারে 5000 টি দাগ কাটা আছে। \(600\,\text{nm}\) তরঙ্গদৈর্ঘ্যের আলোর জন্য প্রথম ক্রমের (First order) অপবর্তন কোণ (\(\theta\)) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
গ্রেটিং সমীকরণ (\(d \sin\theta = n \lambda\)):
গ্রেটিং ধ্রুবক: \[d = \frac{1}{N} = \frac{1\,\text{cm}}{5000} = \frac{10^{-2}\,\text{m}}{5000} = 2 \times 10^{-6}\,\text{m}\]
১ম ক্রম (\(n = 1\)), \(\lambda = 600 \times 10^{-9}\,\text{m}\):
\[\sin\theta = \frac{n \lambda}{d} = \frac{1 \times 600 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-6}} = 0.30\]
\[\mathbf{\theta = \sin^{-1}(0.30) \approx 17.46^\circ}\]
একটি সরল দোলকের ববের ভর 150 g এবং কার্যকরী দৈর্ঘ্য 1 m। ববটিকে সাম্যাবস্থান হতে 60° কোণে টেনে ছেড়ে দেওয়া হলো। সাম্যাবস্থান অতিক্রমকালে ববের বেগ এবং সুতার টান নির্ণয় করো। (g = 9.8 m/s²)
প্রদত্ত: দৈর্ঘ্য \(L = 1 ext{ m}\), কোণ \( heta = 60^\circ\), ভর \(m = 0.15 ext{ kg}\)।
সাম্যাবস্থান হতে উলম্ব উচ্চতা: \[h = L(1 - \cos 60^\circ) = 1(1 - 0.5) = 0.5 ext{ m}\]
শক্তির নিত্যতা নীতি অনুযায়ী: \[ rac{1}{2}mv^2 = mgh \implies v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 imes 9.8 imes 0.5} = \sqrt{9.8} pprox 3.13 ext{ m/s}\]
সাম্যাবস্থানে সুতার টান: \[T = mg + rac{mv^2}{L} = m\left(g + rac{v^2}{L}
ight) = 0.15\left(9.8 + rac{9.8}{1}
ight) = 0.15 imes 19.6 = 2.94 ext{ N}\]
সরল দোলকের যান্ত্রিক শক্তির রূপান্তর ও বৃত্তাকার গতির কেন্দ্রমুখী বল সমন্বয়।
ফ্যারাডের তড়িৎ বিশ্লেষণের ১ম সূত্রটি বিবৃত ও প্রতিপাদন করো (\(W = Z I t\))। কপার সালফেট দ্রবণে \(5\,\text{A}\) কারেন্ট \(30\,\text{minutes}\) চালনা করলে ক্যাথোডে কত গ্রাম তামা জমা হবে? (\(\text{Cu} = 63.5, 1\,\text{F} = 96500\,\text{C}\)) [মান: ৫]
১ম সূত্র: তড়িৎ বিশ্লেষণের সময় কোনো তড়িৎদ্বারে সঞ্চিত বা দ্রবীভূত পদার্থের ভর (\(W\)) প্রবাহিত মোট তড়িৎ আধানের (\(Q\)) সমানুপাতিক: \[W \propto Q \implies W = Z \cdot Q = \mathbf{Z I t}\]
(এখানে \(Z = \frac{\text{Molar mass}}{n \cdot F}\) হলো তড়িৎ-রাসায়নিক তুল্যাঙ্ক)।
গণনা (\(\text{Cu}^{2+} + 2e^- \rightarrow \text{Cu}\), ফলে \(n = 2\)):
- \(I = 5\,\text{A}\)
- \(t = 30 \times 60 = 1800\,\text{s}\)
- \(Q = I \cdot t = 5 \times 1800 = 9000\,\text{C}\)
\[Z = \frac{63.5}{2 \times 96500} = \frac{63.5}{193000} \approx 3.29 \times 10^{-4}\,\text{g/C}\]
সঞ্চিত তামার ভর: \[W = Z \cdot Q = (3.29 \times 10^{-4}) \times 9000 = \mathbf{2.961\,\text{g}}\]
মোলারিটি (Molarity) বলতে কী বোঝায়? \(250\,\text{mL}\) দ্রবণে \(10.6\,\text{g}\) সোডিয়াম কার্বনেট (\(\text{Na}_2\text{CO}_3\)) দ্রবীভূত থাকলে দ্রবণের মোলারিটি কত হবে? (\(\text{Na} = 23, \text{C} = 12, \text{O} = 16\)) [মান: ৫]
সংজ্ঞা: নির্দিষ্ট তাপমাত্রায় প্রতি লিটার (১০০০ মিলি) দ্রবণে দ্রবীভূত দ্রবের মোল সংখ্যাকে ঐ দ্রবণের মোলারিটি বলে (একক: \(\text{mol/L}\) বা M)।
গণনা:
\(\text{Na}_2\text{CO}_3\)-এর মোলার ভর: \[M_w = (23 \times 2) + 12 + (16 \times 3) = 46 + 12 + 48 = 106\,\text{g/mol}\]
মোলারিটির সূত্র: \[M = \frac{1000 \times w}{M_w \times V\,(\text{mL})}\]
- \(w = 10.6\,\text{g}, V = 250\,\text{mL}, M_w = 106\,\text{g/mol}\)
\[M = \frac{1000 \times 10.6}{106 \times 250} = \frac{10600}{26500} = \mathbf{0.40\,\text{M}}\]
অতএব দ্রবণের মোলার ঘনমাত্রা \(0.40\,\text{M}\)।
বাফার দ্রবণ কী? হেন্ডারসন-হ্যাসেলবালখ সমীকরণটি লেখ। \(0.1\,\text{M}\) অ্যাসিটিক অ্যাসিড এবং \(0.1\,\text{M}\) সোডিয়াম অ্যাসিটেট দ্রবণের মিশ্রণে গঠিত বাফার দ্রবণের pH কত? (\(K_a = 1.8 \times 10^{-5}\)) [মান: ৫]
বাফার দ্রবণ: যে দ্রবণে সামান্য এসিড বা ক্ষার যোগ করলেও দ্রবণের pH মান প্রায় অপরিবর্তিত থাকে।
হেন্ডারসন সমীকরণ: \[\text{pH} = \text{p}K_a + \log\frac{[\text{Salt}]}{[\text{Acid}]}\]
গণনা:
\(\text{p}K_a = -\log(1.8 \times 10^{-5}) = 4.745\)
\[\text{pH} = 4.745 + \log\frac{0.1}{0.1} = 4.745 + \log(1) = 4.745 + 0 = \mathbf{4.745}\]
\(25\,\text{mL}\) অজানা ঘনমাত্রার হাইড্রোক্লোরিক অ্যাসিড (\(\text{HCl}\)) দ্রবণকে প্রশমিত করতে \(0.15\,\text{M}\) সোডিয়াম কার্বনেট (\(\text{Na}_2\text{CO}_3\)) দ্রবণের \(20\,\text{mL}\) প্রয়োজন হলো। \(\text{HCl}\) দ্রবণের মোলারিটি এবং প্রতি লিটারে গ্রাম এককে ঘনমাত্রা নির্ণয় করো। [মান: ৫]
বিক্রিয়া সমীকরণ:
\[\text{Na}_2\text{CO}_3 + 2\text{HCl} \longrightarrow 2\text{NaCl} + \text{H}_2\text{O} + \text{CO}_2\]
এখানে, এসিডের মোল সংখ্যা \(n_A = 2\) এবং ক্ষারের মোল সংখ্যা \(n_B = 1\)।
টাইট্রেশন সূত্র:
\[\frac{V_A M_A}{n_A} = \frac{V_B M_B}{n_B} \implies \frac{25 \times M_A}{2} = \frac{20 \times 0.15}{1}\]
\[25 \times M_A = 2 \times 3.0 = 6.0 \implies M_A = \frac{6.0}{25} = \mathbf{0.24\,\text{M}}\]
গ্রাম/লিটার ঘনমাত্রা (\(S = M \times M_w\)):
\(\text{HCl}\)-এর আণবিক ভর = \(1 + 35.5 = 36.5\,\text{g/mol}\)।
\[S = 0.24 \times 36.5 = \mathbf{8.76\,\text{g/L}}\]
\(\text{SF}_6\) এবং \(\text{PCl}_5\) অণুদ্বয়ের সংকরায়ন (Hybridization), মুক্তজোড় ইলেকট্রন সংখ্যা এবং জ্যামিতিক আকৃতি বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করো।
১. \(\text{SF}_6\) অণু:
সালফারের যোজনী স্তরে ৬টি ইলেকট্রন এবং ৬টি ফ্লোরিন পরমাণুর সাথে ৬টি বন্ধন গঠন করে।
স্টেরিক সংখ্যা \(SN = 6 + 0 = 6\)। সংকরায়ন: \(sp^3d^2\)।
মুক্তজোড় ইলেকট্রন: 0টি। বন্ধন কোণ: 90°।
জ্যামিতিক আকৃতি: অষ্টতলকীয় (Octahedral)।
২. \(\text{PCl}_5\) অণু:
ফসফরাসের যোজনী স্তরে ৫টি ইলেকট্রন এবং ৫টি ক্লোরিনের সাথে ৫টি বন্ধন গঠন করে।
স্টেরিক সংখ্যা \(SN = 5 + 0 = 5\)। সংকরায়ন: \(sp^3d\)।
মুক্তজোড় ইলেকট্রন: 0টি। বন্ধন কোণ: 120° (নিরক্ষীয়) ও 90° (অক্ষীয়)।
জ্যামিতিক আকৃতি: ত্রিকোণাকার দ্বিপিরামিডীয় (Trigonal Bipyramidal)।
VSEPR তত্ত্ব ও সংকরায়ন কাঠামোর পূর্ণাঙ্গ বিশ্লেষণ।
ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে সমাধান করো (Cramer's Rule অথবা ইনভার্স পদ্ধতি):
\[2x + y = 7\]
\[3x - 2y = 7\]
ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়কের মান কত? [মান: ৫]
ম্যাট্রিক্স সমীকরণ: \[A X = B \implies \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 7 \end{bmatrix}\]
নির্ণায়কের মান: \[D = |A| = (2)(-2) - (1)(3) = -4 - 3 = -7 \neq 0\]
Cramer's Rule:
\[D_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 7 & -2 \end{vmatrix} = (7)(-2) - (1)(7) = -14 - 7 = -21\]
\[D_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} = (2)(7) - (7)(3) = 14 - 21 = -7\]
সমাধান: \[x = \frac{D_x}{D} = \frac{-21}{-7} = \mathbf{3}\]
\[y = \frac{D_y}{D} = \frac{-7}{-7} = \mathbf{1}\]
ক্র্যামারের নিয়ম (Cramer's Rule) ব্যবহার করে নিচের সমীকরণ জোট সমাধান করো:
\[x + y + z = 6\]
\[2x - y + z = 3\]
\[x + 2y - z = 2\] [মান: ৫]
নির্ণায়ক গঠন ও গণনা:
\[D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(1 - 2) - 1(-2 - 1) + 1(4 - (-1)) = -1 + 3 + 5 = 7\]
\[D_x = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 6(1 - 2) - 1(-3 - 2) + 1(6 - (-2)) = -6 + 5 + 8 = 7 \implies x = \frac{D_x}{D} = \frac{7}{7} = \mathbf{1}\]
\[D_y = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(-3 - 2) - 6(-2 - 1) + 1(4 - 3) = -5 + 18 + 1 = 14 \implies y = \frac{D_y}{D} = \frac{14}{7} = \mathbf{2}\]
\[D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 1(-2 - 6) - 1(4 - 3) + 6(4 - (-1)) = -8 - 1 + 30 = 21 \implies z = \frac{D_z}{D} = \frac{21}{7} = \mathbf{3}\]
নির্ণেয় সমাধান: \(\mathbf{(x, y, z) = (1, 2, 3)}\)।
\(y^2 = 8x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু (Vertex), উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (Focus), উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য (Latus Rectum) এবং নিয়ামক রেখার (Directrix) সমীকরণ নির্ণয় করো। [মান: ৫]
আদর্শ সমীকরণের সাথে তুলনা:
\(y^2 = 4ax\) এর সাথে তুলনা করে পাই: \(4a = 8 \implies a = 2\)।
১. শীর্ষবিন্দু: \((0, 0)\)
২. উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক: \((a, 0) = \mathbf{(2, 0)}\)
৩. উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: \(|4a| = |8| = \mathbf{8\text{ একক}}\)
৪. নিয়ামক রেখার সমীকরণ: \(x = -a \implies x = -2 \implies \mathbf{x + 2 = 0}\)।
L'Hôpital's Rule প্রয়োগ করে মান নির্ণয় করো: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}\]
প্রদত্ত সীমাস্থ মান \(x = 0\) বসিয়ে পাই: \[\frac{e^0 - e^0 - 0}{0 - \sin 0} = \frac{0}{0} \quad \text{(অসংজ্ঞায়িত রূপ)}\]
লব ও হরকে পৃথকভাবে \(x\) এর সাপেক্ষে পর পর ব্যবকলন (L'Hôpital's Rule) করে পাই:
১ম অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x} = \frac{1 + 1 - 2}{1 - 1} = \frac{0}{0}\]
২য় অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}\]
৩য় অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{e^0 + e^0}{\cos 0} = \frac{1 + 1}{1} = 2\]
সুতরাং নির্ণেয় মান: 2।
অনির্ণেয় আকার ও লাপ্লাস/লা-হস্পিটাল নিয়মের ধারাবাহিক ব্যবকলন প্রয়োগ।
উপবৃত্ত \(9x^2 + 16y^2 = 144\) এর (ক) উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity), (খ) উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক (Foci), এবং (গ) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণকে আদর্শ রূপ \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) এ প্রকাশ করে পাই:
\[\frac{9x^2}{144} + \frac{16y^2}{144} = 1 \implies \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\]
এখানে \(a^2 = 16 \implies a = 4\) এবং \(b^2 = 9 \implies b = 3\)। যেহেতু \(a > b\):
(ক) উৎকেন্দ্রিকতা (e): \[e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}\]
(খ) উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক: \[(\pm ae, 0) = \left(\pm 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}, 0\right) = (\pm \sqrt{7}, 0)\]
(গ) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: \[\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{4} = \frac{18}{4} = 4.5\text{ একক}\]
কণিক অধ্যায়ে উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ হতে বৈশিষ্ট্যাবলী বিশ্লেষণ।
নিচের বাক্যগুলোর ব্যাকরণগত ভুল সংশোধন করে সঠিক বাক্য লেখ:
(i) He gave me many advices.
(ii) The sceneries of Cox's Bazar are very charming.
(iii) He is senior than me in service.
(iv) The patient had died before the doctor came.
(v) Either of the two pens are good. [মান: ৫]
সংশোধিত বাক্যসমূহ:
(i) Correct: He gave me much advice. (বা He gave me many pieces of advice. 'Advice' হলো আনকাউন্টেবল নাউন)।
(ii) Correct: The scenery of Cox's Bazar is very charming. ('Scenery' সর্বদা সিঙ্গুলার)।
(iii) Correct: He is senior to me in service. (Senior, junior, superior, inferior এর পর 'to' বসে, 'than' নয়)।
(iv) Correct: The patient had died before the doctor came. (সঠিক বাক্য, অথবা The doctor came after the patient had died)।
(v) Correct: Either of the two pens is good. ('Either of' এর পর সিঙ্গুলার ভার্ব বসে)।
ব্র্যাকেটের ভার্বগুলোর সঠিক রূপ ব্যবহার করে বাক্যগুলো সম্পূর্ণ করো:
(i) If he (study) regularly, he would pass the DUET admission test.
(ii) It is high time we (start) the project.
(iii) The teacher entered the room while the students (make) a noise.
(iv) I look forward to (hear) from you soon.
(v) Had I possessed enough funds, I (establish) a software firm. [মান: ৫]
উত্তরসমূহ:
(i) studied (Second Conditional: If + Past Indefinite, would + base verb).
(ii) started ('It is high time' এর পর Past Indefinite tense হয়)।
(iii) were making ('While' এর পর Past Continuous tense হয়)।
(iv) hearing ('Look forward to' এর পর verb+ing বসে)।
(v) would have established (Third Conditional: Had + Subject + V3, Subject + would have + V3)।
Fill in the blanks with appropriate prepositions:
(i) The performance of an alternator depends ______ its excitation system.
(ii) Diploma engineers should adhere ______ safety regulations in the substation.
(iii) He is very proficient ______ Python programming.
(iv) The supervisor inquired ______ the cause of the boiler failure.
(v) This material is superior ______ conventional steel in corrosion resistance. [মান: ৫]
Answers:
(i) on / upon (depends on).
(ii) to (adhere to).
(iii) in / at (proficient in/at).
(iv) into / about (inquired into/about).
(v) to (superior to).
২য় পত্র: টেকনিক্যাল (বিভাগীয় বিষয়)
সিভিল ইঞ্জিনিয়ারিং (স্পেশালাইজড ইঞ্জিনিয়ারিং)বিভাগ-ক: বহু নির্বাচনি প্রশ্ন (Technical MCQ)
৪০টি প্রশ্ন × ১.৫ নম্বর = ৬০ নম্বর (নেগেটিভ মার্ক ০.২৫)হাইওয়েতে অনুভূমিক বাঁকে কেন্দ্রাতিগ বল (Centrifugal Force) প্রশমিত করতে রাস্তার বাইরের ধার ভেতরের ধার অপেক্ষা উঁচুকরণকে কী বলে?
সড়কের পৃষ্ঠ হতে বৃষ্টির পানি নিষ্কাশনের সুবিধার্থে রাস্তার কেন্দ্রের অংশকে দুই পাশের চেয়ে সামান্য উঁচুকরণকে কী বলা হয়?
বিশুদ্ধ পানির 5-দিনের বায়োকেমিক্যাল অক্সিজেন ডিমান্ড (BOD₅) সাধারণত কত হওয়া উচিত?
পানীয় জল শোধনাগারে রোগ সৃষ্টিকারী ক্ষতিকর জীবাণু ধ্বংসের জন্য ক্লোরিনেশন প্রক্রিয়াকে কী বলা হয়?
আরসিসি ডিজাইনে টেনসাইল রডের নূন্যতম রিইনফোর্সমেন্ট রেশিও (ρ_min) নির্ধারণের মূল উদ্দেশ্য কী?
আরসিসি বিমে আন্ডার-রিইনফোর্সড (Under-Reinforced) ডিজাইনে ব্যর্থতার প্রকৃতি কেমন হয়?
আরসিসি বিমে ডায়াগোনাল টেনশন ফাটল (Diagonal Tension Crack) সাধারণত কোন অঞ্চলে দেখা যায়?
একটি দ্বিমুখী স্ল্যাবের (Two-Way Slab) দীর্ঘতম স্প্যান (L) ও সংক্ষিপ্ত স্প্যানের (S) অনুপাত (L/S) কত হতে হয়?
কলামে টাই বার (Ties) বা ল্যাটারাল স্পাইরাল ব্যবহারের প্রধান কাঠামোগত উদ্দেশ্য কোনটি?
প্রজেক্ট ম্যানেজমেন্টে ক্রিটিক্যাল পাথ (Critical Path Method, CPM) বলতে নিচের কোনটিকে বোঝায়?
স্টিলে কার্বনের শতকরা পরিমাণ বৃদ্ধি করলে স্টিলের যান্ত্রিক বৈশিষ্ট্যে কোন পরিবর্তন ঘটে?
মৃদু ইস্পাতের (Mild Steel) জন্য আদর্শ ইয়ং মডুলাস (Modulus of Elasticity, E) এর মান কত?
সাধারণ ইটের আদর্শ পরিমাপ (Standard Modular Size of Brick in Bangladesh, মসলা ছাড়া) কোনটি?
কাঠামোগত ট্রাসে (Truss) মেম্বারসমূহের সংযোগস্থলকে সাধারণত কী প্রকৃতির জয়েন্ট বিবেচনা করা হয়?
কংক্রিট ঢালাইয়ের পর পানির সংস্পর্শে শক্তিবৃদ্ধি প্রক্রিয়ার জন্য প্রয়োজনীয় আর্দ্রকরণ প্রক্রিয়াকে কী বলে?
সাধারণ পোর্টল্যান্ড সিমেন্টের (OPC) প্রাথমিক জমাটবদ্ধ কাল (Initial Setting Time) ন্যূনতম কত?
কংক্রিটের স্ট্যান্ডার্ড কিউব টেস্টের (Compressive Strength) আদর্শ সাইজ কোনটি?
কংক্রিট তৈরিতে পানির সাথে সিমেন্টের ওজন অনুপাত (Water-Cement Ratio) বৃদ্ধি করলে কোনটি ঘটে?
বালির সূক্ষ্মতা গুণাঙ্ক (Fineness Modulus, FM) 2.6 হতে 2.9 হলে উক্ত বালিকে কোন শ্রেণীর অন্তর্ভুক্ত করা হয়?
সিমেন্টের সাউন্ডনেস (Soundness) বা আয়তন স্থায়িত্ব পরীক্ষার জন্য কোন যন্ত্রটি ব্যবহৃত হয়?
লেভেলিংয়ে ব্যাকসাইট (Backsight, BS) পাঠ সর্বদা কোন বিন্দুতে নেওয়া হয়?
লেভেলিং যন্ত্রের উচ্চতা পদ্ধতিতে যন্ত্রের অক্ষের উচ্চতা (Height of Instrument, HI) নির্ণয়ের সমীকরণ কোনটি?
পৃথিবীর বক্রতার (Curvature) জন্য লেভেলিং পাঠে প্রয়োজনীয় সংশোধন (Curvature Correction, C_c) এর মান কত?
একটি কন্ট্যুর ম্যাপে কন্ট্যুর রেখাসমূহ খুব কাছাকাছি ঘন সন্নিবিষ্ট থাকলে তা ভূমির কোন প্রকৃতি নির্দেশ করে?
হুকের সূত্র (Hooke's Law) স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে পীড়ন ও বিকৃতির কোন সম্পর্ক নির্দেশ করে?
পয়সনের অনুপাত (Poisson's Ratio, ν) বলতে নিচের কোন দুই বিকৃতির অনুপাতকে বোঝায়?
সমভাবে বিস্তৃত লোড (UDL) বিশিষ্ট সাধারণভাবে স্থাপিত বিমের বেন্ডিং মোমেন্ট ডায়াগ্রামের (BMD) আকার কেমন হয়?
বিমের যে বিন্দুতে বেন্ডিং মোমেন্টের মান শূন্য হয় এবং বক্রতার দিক ধনাত্মক হতে ঋণাত্মকে পরিবর্তিত হয় তাকে কী বলে?
ফ্লেক্সারাল সূত্র (Bending Stress Formula) অনুসারে বিমের প্রস্থচ্ছেদে বেন্ডিং স্ট্রেসের সঠিক সমীকরণ কোনটি?
বৃত্তাকার শ্যাফটের টরশন সূত্রে পোলার সেকশন মডুলাস (Z_p) এর মান d ব্যাসের শ্যাফটের জন্য কত?
ইউলারের সূত্র অনুসারে উভয় প্রান্ত ফিক্সড (Fixed-Fixed) কলামের কার্যকরী দৈর্ঘ্য (Effective Length, L_e) কত?
তরলে নিমজ্জিত সমতল উল্লম্ব পৃষ্ঠে কার্যকর মোট হাইড্রোস্ট্যাটিক বল (Total Pressure, F) এর সূত্র কোনটি?
পাইপে প্রবাহিত পানির হেড লস (Head Loss) নির্ণয়ে ডার্সি-ওয়েইসব্যাক (Darcy-Weisbach) সূত্র কোনটি?
ম্যানিংয়ের সূত্রে উন্মুক্ত খালের হাইড্রোলিক ব্যাসার্ধ (Hydraulic Radius, R) এর সংজ্ঞা কোনটি?
একটি উন্মুক্ত খালে ফ্রউড সংখ্যা (Froude Number, Fr) > 1.0 হলে উক্ত প্রবাহকে কী বলা হয়?
মৃত্তিকা বলবিদ্যায় মাটির শূন্যস্থান অনুপাত (Void Ratio, e) এবং রন্ধ্রতার (Porosity, n) সঠিক সম্পর্ক কোনটি?
সম্পূর্ণ সম্পৃক্ত মাটিতে (Fully Saturated Soil) সম্পৃক্তি মাত্রা (Degree of Saturation, S) এর মান কত?
মাটির প্লাস্টিসিটি ইনডেক্স (Plasticity Index, PI) নির্ণয়ের সঠিক সূত্র কোনটি?
ডিমেনশনাল ডায়নামিকসে ডার্সির সূত্র (Darcy's Law) অনুসারে মাটিতে পানির নিঃসরণ বেগ (v) কিসের সমানুপাতিক?
টারজাঘির একক বিয়ারিং ক্ষমতা সমীকরণে স্ট্রিপ ফুটিংয়ের (Strip Footing) জন্য আলটিমেট ভারবহন ক্ষমতা (q_ult) কোনটি?
বিভাগ-খ: টেকনিক্যাল লিখিত প্রশ্ন (Technical Written/CQ)
১৮টি প্রশ্ন × ৫ নম্বর = ৯০ নম্বরপূর্ণ বৃত্ত বিয়ারিং (WCB) এবং হ্রাসকৃত বিয়ারিং (RB)-এর মধ্যে পার্থক্য কী? নিচের WCB মানগুলোকে সমতুল্য কোয়াড্রেন্টাল/হ্রাসকৃত বিয়ারিংয়ে (RB) রূপান্তর করো:
(i) \(45^\circ 30'\)
(ii) \(130^\circ 15'\)
(iii) \(240^\circ 00'\)
(iv) \(315^\circ 45'\) [মান: ৫]
পার্থক্য: WCB উত্তর দিক থেকে ক্লকওয়াইজ \(0^\circ - 360^\circ\) মাপা হয়; RB উত্তর বা দক্ষিণ থেকে পূর্ব বা পশ্চিমে \(0^\circ - 90^\circ\) মাপা হয় (যেমন: N\(\theta\)E)।
রূপান্তর:
(i) \(45^\circ 30'\) (১ম চতুর্ভাগ) \(\rightarrow\) N \(45^\circ 30'\) E
(ii) \(130^\circ 15'\) (২য় চতুর্ভাগ) \(\rightarrow 180^\circ - 130^\circ 15' =\) S \(49^\circ 45'\) E
(iii) \(240^\circ 00'\) (৩য় চতুর্ভাগ) \(\rightarrow 240^\circ - 180^\circ =\) S \(60^\circ 00'\) W
(iv) \(315^\circ 45'\) (৪র্থ চতুর্ভাগ) \(\rightarrow 360^\circ - 315^\circ 45' =\) N \(44^\circ 15'\) W
একটি সিম্পল সার্কুলার কার্ভের ব্যাসার্ধ \(R = 300\,\text{m}\) এবং ডিফ্লেকশন কোণ \(\Delta = 60^\circ\)।
(ক) ট্যাঞ্জেন্ট দৈর্ঘ্য (\(T\)) নির্ণয় করো।
(খ) কার্ভের দৈর্ঘ্য (\(L\)) এবং অ্যাপেক্স দূরত্ব (\(E\)) কত? [মান: ৫]
গণনা:
(ক) ট্যাঞ্জেন্ট দৈর্ঘ্য: \[T = R \tan(\Delta / 2) = 300 \times \tan(30^\circ) = 300 \times 0.57735 = \mathbf{173.205\,\text{m}}\]
(খ) কার্ভের দৈর্ঘ্য: \[L = \frac{\pi R \Delta}{180^\circ} = \frac{3.1416 \times 300 \times 60}{180} = \pi \times 100 = \mathbf{314.16\,\text{m}}\]
অ্যাপেক্স দূরত্ব: \[E = R [\sec(\Delta / 2) - 1] = 300 \times [\sec(30^\circ) - 1] = 300 \times [1.1547 - 1] = 300 \times 0.1547 = \mathbf{46.41\,\text{m}}\]
একটি \(6\,\text{m}\) দীর্ঘ সাধারণভাবে সমর্থিত (Simply Supported) বিমের কেন্দ্রবিন্দুতে একটি \(12\,\text{kN}\) একক বিন্দু লোড (Point Load) প্রয়োগ করা আছে।
(ক) সাপোর্ট রিঅ্যাকশনদ্বয় নির্ণয় করো।
(খ) শেয়ার ফোর্স ডায়াগ্রাম (SFD) এবং বেন্ডিং মোমেন্ট ডায়াগ্রাম (BMD) অঙ্কন করো এবং সর্বোচ্চ মোমেন্টের মান দেখাও। [মান: ৫]
গণনা:
(ক) প্রতিসাম্যের কারণে সাপোর্ট রিঅ্যাকশন: \[R_A = R_B = \frac{12}{2} = \mathbf{6\,\text{kN}}\]
(খ) SFD:
- \(x = 0\) থেকে \(3\,\text{m}\) (বাম অংশ): \(SF = +6\,\text{kN}\) (সোজা অনুভূমিক রেখা)
- \(x = 3\,\text{m}\)-এ: \(SF = 6 - 12 = -6\,\text{kN}\)
- \(x = 3\,\text{m}\) থেকে \(6\,\text{m}\): \(SF = -6\,\text{kN}\)
BMD:
- প্রান্তে মোমেন্ট \(M_A = M_B = 0\)।
- কেন্দ্রবিন্দুতে সর্বোচ্চ বেন্ডিং মোমেন্ট: \[M_{max} = \frac{W L}{4} = \frac{12 \times 6}{4} = \mathbf{18\,\text{kN}\cdot\text{m}}\]
মোমেন্ট ডায়াগ্রাম দুই প্রান্তে সরলরৈখিকভাবে শূন্য থেকে কেন্দ্রে \(18\,\text{kN}\cdot\text{m}\) পর্যন্ত উঠবে (ত্রিভুজাকার)।
বিমের বেন্ডিং পীড়নের সমীকরণ \(\frac{M}{I} = \frac{\sigma}{y} = \frac{E}{R}\) বিবৃত করো। \(200\,\text{mm} \times 300\,\text{mm}\) আকারের একটি আয়তাকার বিমের সেকশন মডুলাস (\(Z\)) এবং জড়তার ভ্রামক (\(I_x\)) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
ফ্লেক্সার সমীকরণ: বিমে খাঁটি বেন্ডিংয়ের ক্ষেত্রে বেন্ডিং মোমেন্ট \(M\), জড়তার ভ্রামক \(I\), নিরপেক্ষ অক্ষ থেকে দূরত্ব \(y\), বেন্ডিং স্ট্রেস \(\sigma\), ইলাস্টিক মডুলাস \(E\) এবং বক্রতার ব্যাসার্ধ \(R\)-এর অনুপাত সমান।
গণনা (\(b = 200\,\text{mm}, d = 300\,\text{mm}\)):
১. জড়তার ভ্রামক (Neutral axis-এর সাপেক্ষে): \[I_x = \frac{b d^3}{12} = \frac{200 \times (300)^3}{12} = \frac{200 \times 2.7 \times 10^7}{12} = \mathbf{4.5 \times 10^8\,\text{mm}^4}\]
২. সেকশন মডুলাস: \[Z = \frac{b d^2}{6} = \frac{200 \times (300)^2}{6} = \frac{200 \times 90000}{6} = \mathbf{3.0 \times 10^6\,\text{mm}^3}\]
একটি আয়তাকার প্রস্থচ্ছেদের বিমে শেয়ার পীড়নের সমীকরণ \(\tau = \frac{V Q}{I b}\) ব্যাখ্যা করো। প্রমাণ করো যে আয়তাকার বিমে সর্বোচ্চ শিয়ার পীড়ন গড় শিয়ার পীড়নের ১.৫ গুণ (\(\tau_{max} = 1.5 \tau_{avg}\))। [মান: ৫]
প্রমাণ:
আয়তাকার সেকশন (\(b \times d\)):
গড় শিয়ার পীড়ন: \(\tau_{avg} = \frac{V}{b \cdot d}\)
নিরপেক্ষ অক্ষ থেকে \(y\) দূরত্বে শিয়ার পীড়ন: \[ au = \frac{V}{2 I} \left( \frac{d^2}{4} - y^2 \right)\]
সর্বোচ্চ পীড়ন ঘটে নিরপেক্ষ অক্ষে (\(y = 0\)):
\[ au_{max} = \frac{V}{2 I} \cdot \frac{d^2}{4} = \frac{V d^2}{8 \left( \frac{b d^3}{12} \right)} = \frac{12 V d^2}{8 b d^3} = \frac{3}{2} \frac{V}{b d} = \mathbf{1.5 \tau_{avg}}\] (প্রমাণিত)
RCC বিমে খাড়া স্টিরাপ (Vertical Stirrups) ব্যবহারের উদ্দেশ্য কী? ACI কোড অনুযায়ী স্টিরাপ স্পেসিং (\(s\))-এর সূত্র \(s = \frac{A_v f_y d}{V_s}\) ব্যাখ্যা করো এবং সর্বোচ্চ অনুমোদিত স্পেসিংয়ের সীমাবদ্ধতা লেখ। [মান: ৫]
উদ্দেশ্য: বিমের প্রান্তে অতিরিক্ত শেয়ার ফোর্সের কারণে সৃষ্ট \(45^\circ\) কোণের ডায়াগোনাল টেনশন ক্র্যাক (Diagonal tension crack) প্রতিরোধ করা।
সূত্র ব্যাখ্যা:
- \(A_v\): স্টিরাপের দুই পায়ের মোট ক্ষেত্রফল
- \(f_y\): স্টিলের ইল্ড স্ট্রেন্থ
- \(d\): বিমের কার্যকর গভীরতা
- \(V_s\): স্টিরাপ কর্তৃক বহনযোগ্য অতিরিক্ত শেয়ার বল (\(V_s = V_u - \phi V_c\))
সর্বোচ্চ স্পেসিং সীমাবদ্ধতা:
\(s_{max} \le \frac{d}{2}\) অথবা \(24\,\text{inches} (600\,\text{mm})\)। যদি \(V_s > 0.33\sqrt{f_c'} b_w d\) হয় তবে \(s_{max} \le d/4\)।
কংক্রিট ও স্টিলের মধ্যে বন্ড (Bond) কী? ডেভেলপমেন্ট দৈর্ঘ্য (Development Length, \(L_d\))-এর প্রয়োজনীয়তা কী? যদি পর্যাপ্ত ডেভেলপমেন্ট দৈর্ঘ্য না দেওয়া হয় তবে কী ঘটবে? [মান: ৫]
বন্ডের ধারণা: স্টিল ও কংক্রিটের ইন্টারফেসে সৃষ্ট আঠালো ঘর্ষণ বল (Adhesion and friction) যার মাধ্যমে দুটি উপাদান একসাথে একক কাঠামো হিসেবে আচরণ করে।
ডেভেলপমেন্ট লেন্থ: স্টিলের সম্পূর্ণ ইল্ড স্ট্রেস (\(f_y\)) কংক্রিটে নিরাপদে স্থানান্তরিত করার জন্য কংক্রিটের ভেতরে রডকে ন্যূনতম যে দৈর্ঘ্য পর্যন্ত প্রবেশ করাতে হয়, তাকে ডেভেলপমেন্ট দৈর্ঘ্য বলে।
পর্যাপ্ত না হলে পরিণতি: লোড বাড়লে রড কংক্রিট থেকে পিছলে (Bond failure / Pull-out) বেরিয়ে আসবে এবং বিম বা জয়েন্ট সম্পূর্ণ ব্যর্থ হবে।
বার্নোলির উপপাদ্য (Bernoulli's Theorem) বিবৃত করো এবং এর শর্তাবলী লেখ। ভেনচুরিমিটারের (Venturimeter) মধ্য দিয়ে পানি প্রবাহের ডিসচার্জের সূত্র \(Q = \frac{C_d a_1 a_2}{\sqrt{a_1^2 - a_2^2}} \sqrt{2gh}\) ব্যাখ্যা করো। [মান: ৫]
বিবৃতি: কোনো অবিচ্ছিন্ন, ঘর্ষণহীন ও অসংকোচনীয় তরলের ধারারেখ প্রবাহে প্রতিটি বিন্দুতে প্রেসার হেড, ভেলোসিটি হেড এবং ডেটাম হেডের সমষ্টি সর্বদা ধ্রুবক থাকে: \[ rac{P}{\gamma} + \frac{v^2}{2g} + z = \text{Constant}\]
শর্তসমূহ: তরল আদর্শ, অসংকোচনীয়, ঘর্ষণহীন (অসান্দ্র) এবং প্রবাহ স্থির (Steady) হতে হবে।
ভেনচুরিমিটার সমীকরণ:
- \(a_1\): ইনলেট পাইপের প্রস্থচ্ছেদ
- \(a_2\): সরু থ্রোটের (Throat) প্রস্থচ্ছেদ
- \(h\): ইনলেট ও থ্রোটের মধ্যকার প্রেসার হেড পার্থক্য (\(\frac{P_1 - P_2}{\gamma}\))
- \(C_d\): ডিসচার্জ সহগ (\(0.96 - 0.98\))
পাইপে ঘর্ষণজনিত হেড লস নির্ণয়ের ডার্সি-ওয়েসবাখ সমীকরণ \(h_f = \frac{4 f L v^2}{2 g d}\) ব্যাখ্যা করো। একটি \(200\,\text{m}\) দীর্ঘ ও \(0.1\,\text{m}\) ব্যাসের পাইপে পানির গতিবেগ \(2\,\text{m/s}\) এবং ঘর্ষণ সহগ \(f = 0.005\) হলে হেড লস কত? [মান: ৫]
গণনা:
- \(L = 200\,\text{m}\)
- \(d = 0.1\,\text{m}\)
- \(v = 2\,\text{m/s}\)
- \(f = 0.005\)
- \(g = 9.81\,\text{m/s}^2\)
\[h_f = \frac{4 \times 0.005 \times 200 \times (2)^2}{2 \times 9.81 \times 0.1} = \frac{4 \times 0.005 \times 200 \times 4}{1.962} = \frac{16}{1.962} = \mathbf{8.155\,\text{m}}\]
অতএব পাইপে ঘর্ষণজনিত হেড লস \(8.155\,\text{m}\)।
রেনল্ডস সংখ্যা (Reynolds Number, \(R_e\))-এর সংজ্ঞা ও সমীকরণ দাও। পাইপের মধ্য দিয়ে প্রবাহের ক্ষেত্রে ল্যামিনার (Laminar) ও টার্বুলেন্ট (Turbulent) প্রবাহের জন্য \(R_e\)-এর সীমারেখা কত? [মান: ৫]
সংজ্ঞা: তরল প্রবাহে জড়তা বল (Inertia force) এবং সান্দ্রতা বলের (Viscous force) অনুপাতকে রেনল্ডস সংখ্যা বলে: \[R_e = \frac{\rho v d}{\mu} = \frac{v d}{\nu}\]
- \(\rho\): তরলের ঘনত্ব, \(v\): প্রবাহের বেগ, \(d\): পাইপের ব্যাস, \(\mu\): ডাইনামিক সান্দ্রতা, \(\nu\): কাইনেমেটিক সান্দ্রতা।
প্রবাহের সীমারেখা:
১. Laminar Flow: \(R_e < 2000\) (তরলের কণাগুলো সমান্তরাল স্তরে স্তরে প্রবাহিত হয়)।
২. Transition: \(2000 \le R_e \le 4000\)
৩. Turbulent Flow: \(R_e > 4000\) (কণাগুলোর গতি এলোমেলো ও বিশৃঙ্খল হয়)।
মাটির ভয়েড রেশিও (\(e\)) এবং পোরোসিটি (\(n\))-এর সংজ্ঞা দাও। প্রমাণ করো যে \(n = \frac{e}{1 + e}\) এবং \(e = \frac{n}{1 - n}\)। যদি কোনো মাটির \(e = 0.80\) হয়, তবে তার পোরোসিটি কত? [মান: ৫]
সংজ্ঞা:
- \(e = V_v / V_s\) (ভয়েডের আয়তন ও কঠিন অংশের আয়তনের অনুপাত)
- \(n = V_v / V\) (ভয়েডের আয়তন ও মাটির মোট আয়তনের অনুপাত)
প্রতিপাদন:
মোট আয়তন \(V = V_s + V_v\)।
\[n = \frac{V_v}{V} = \frac{V_v}{V_s + V_v} = \frac{V_v / V_s}{1 + V_v / V_s} = \mathbf{\frac{e}{1 + e}}\]
পুনর্বিন্যাস করে: \[n (1 + e) = e \implies n + n e = e \implies e(1 - n) = n \implies \mathbf{e = \frac{n}{1 - n}}\]
গণনা (\(e = 0.80\)): \[n = \frac{0.80}{1 + 0.80} = \frac{0.80}{1.80} = 0.444 = \mathbf{44.44\%}\]
মাটির শিয়ার স্ট্রেন্থের জন্য মোহর-কুলম্ব সমীকরণ \(\tau_f = c + \sigma \tan\phi\) ব্যাখ্যা করো। কোহেশনহীন বালুকা মাটির (Sand) এবং বিশুদ্ধ কাদার (Clay) জন্য সমীকরণটি কেমন হবে? [মান: ৫]
সমীকরণ ব্যাখ্যা:
- \(\tau_f\): মাটির সর্বোচ্চ শিয়ার প্রতিরোধ ক্ষমতা
- \(c\): সংযুক্তি বা সংশক্তি (Cohesion)
- \(\sigma\): শিয়ার তলের উপর লম্ব বা নরমাল স্ট্রেস (Normal stress)
- \(\phi\): অভ্যন্তরীণ ঘর্ষণ কোণ (Angle of internal friction)
বিশেষ ক্ষেত্রে রূপ:
১. বালুকা মাটি (Pure Sand, \(c = 0\)): \[\mathbf{\tau_f = \sigma \tan\phi}\] (সম্পূর্ণ ঘর্ষণ নির্ভর)
২. সম্পৃক্ত বিশুদ্ধ কাদা (Pure Clay under undrained condition, \(\phi = 0\)): \[\mathbf{\tau_f = c_u}\] (সম্পূর্ণ কোহেশন নির্ভর)
একটি সারফেস ওয়াটার ট্রিটমেন্ট প্ল্যান্টের (Water Treatment Plant) প্রধান ধাপগুলোর নাম লিখে একটি ফ্লোচার্ট আঁকো। অ্যালুম (Alum) কোয়াগুল্যান্টের কাজ কী? [মান: ৫]
ট্রিটমেন্ট প্ল্যান্ট ফ্লোচার্ট:
নদীর পানি \(\rightarrow\) স্ক্রিনিং (Screening) \(\rightarrow\) কোয়াগুলেশন ও ফ্লকুলেশন (Alum যোগ করে) \(\rightarrow\) সেডিমেন্টেশন বা থিতানো (Sedimentation) \(\rightarrow\) দ্রুত বালুকা ফিল্ট্রেশন (Rapid Sand Filtration) \(\rightarrow\) ক্লোরিনেশন বা জীবাণুমুক্তকরণ (Disinfection) \(\rightarrow\) নিরাপদ পানির রিজার্ভার \(\rightarrow\) সরবরাহ নেটওয়ার্ক।
অ্যালুমের কাজ: পানির ভাসমান অতি-সূক্ষ্ম ঋণাত্মক চার্জযুক্ত ঘোলাটে কলয়েডাল কণাগুলোর চার্জ প্রশমিত করে বড় ফ্লক (Floc) তৈরি করা, যাতে দ্রুত নিচে তলানি পড়ে।
একটি 6 m স্প্যানের সাধারণভাবে স্থাপিত বিমের বাম প্রান্ত হতে 2 m দূরত্বে একটি 21 kN বিন্দু লোড এবং সম্পূর্ণ স্প্যান জুড়ে 5 kN/m সমভাবে বিস্তৃত লোড (UDL) কার্যকর রয়েছে। সাপোর্ট প্রতিক্রিয়া নির্ণয় করো এবং শিয়ার ফোর্স ডায়াগ্রাম (SFD) ও বেন্ডিং মোমেন্ট ডায়াগ্রাম (BMD) অঙ্কন করো। [মান: ৫]
১. সাপোর্ট রিঅ্যাকশন:
\(\sum M_A = 0 \implies R_B imes 6 - 21 imes 2 - (5 imes 6) imes rac{6}{2} = 0\)
\[R_B = 29.0 ext{ kN}, \quad R_A = 22.0 ext{ kN}\]
২. ক্রিটিক্যাল সেকশনে মোমেন্ট:
যে বিন্দুতে শিয়ার ফোর্স শূন্য হয় সেখানে সর্বোচ্চ বেন্ডিং মোমেন্ট সংঘটিত হয়। ডায়াগ্রামের গুরুত্বপূর্ণ বিন্দুসমূহ যথানিয়মে চিহ্নিত করা হলো।
বিমের ভারসাম্য সমীকরণ, সাপোর্ট প্রতিক্রিয়া ও এসএফডি-বিএমডি অঙ্কন।
একটি নিরেট বৃত্তাকার শ্যাফটের ব্যাস 65 mm। শ্যাফটটিতে 2.7 kN·m টর্ক প্রয়োগ করলে শ্যাফটের বহিঃপৃষ্ঠে সৃষ্ট সর্বোচ্চ শিয়ার পীড়ন (Maximum Shear Stress) কত হবে? [মান: ৫]
১. পোলার মোমেন্ট অব ইনার্শিয়া:
\[J = rac{\pi d^4}{32} = rac{\pi imes 65^4}{32} = 1752481.0 ext{ mm}^4\]
২. সর্বোচ্চ শিয়ার স্ট্রেস:
\[ au_{max} = rac{T \cdot r}{J} = rac{2.7 imes 10^6 imes 32.5}{1752481.0} = 50.07 ext{ MPa}\]
টর্শন ফর্মুলা ও পোলার মোমেন্ট অব ইনার্শিয়া প্রয়োগ।
একটি 520 m দীর্ঘ এবং 0.2 m ব্যাসের কাস্ট আয়রন পাইপের মধ্য দিয়ে 1.6 m/s বেগে পানি প্রবাহিত হচ্ছে। ঘর্ষণ গুণাঙ্ক \(f = 0.02\) হলে ডার্সি-ওয়েইসবাক সমীকরণ ব্যবহার করে পাইপটিতে ঘর্ষণজনিত হেড লস (Head loss due to friction, \(h_f\)) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
ডার্সি-ওয়েইসবাক সমীকরণ:
\[h_f = rac{f L v^2}{2 g d}\]
\[h_f = rac{0.02 imes 520 imes 1.6^2}{2 imes 9.81 imes 0.2} = rac{26.624}{3.924} = 6.78 ext{ m}\]
পাইপ প্রবাহে ফ্রিকশন হেড লস সমীকরণ।
ধ্রুবক হেড পারমিয়ামিটার (Constant Head Permeability Test) পরীক্ষায় নমুনার দৈর্ঘ্য \(L = 15.0\) cm এবং ব্যাস 10 cm। 31 cm ধ্রুবক হেড পার্থক্যে 120 সেকেন্ডে 205 cm³ পানি সংগৃহীত হলে মাটির ব্যাপ্তিযোগ্যতা গুণাঙ্ক (Coefficient of Permeability, \(k\)) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
ডার্সির সূত্রানুসারে ব্যাপ্তিযোগ্যতা:
প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল: \[A = rac{\pi imes 10^2}{4} = 78.54 ext{ cm}^2\]
\[k = rac{Q \cdot L}{A \cdot h \cdot t} = rac{205 imes 15.0}{78.54 imes 31 imes 120} = 0.01052 ext{ cm/s}\]
কনস্ট্যান্ট হেড টেস্ট ও ডার্সির সূত্র প্রয়োগ।
একটি দ্বিমুখী দুই-লেনের সড়কে ডিজাইন বেগ \(V = 75\) km/h। চালকের প্রতিক্রিয়া সময় 2.5 সেকেন্ড এবং অনুদৈর্ঘ্য ঘর্ষণ সহগ \(f = 0.35\) হলে সড়কটির প্রয়োজনীয় নিরাপদ থামা দৃষ্টি দূরত্ব (Stopping Sight Distance, SSD) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
SSD সমীকরণ:
বেগ \(v = rac{75}{3.6} = 20.83\) m/s।
১. ল্যাগ দূরত্ব (প্রতিক্রিয়া সময়ের দূরত্ব): \[d_1 = v \cdot t = 20.83 imes 2.5 = 52.08 ext{ m}\]
২. ব্রেকিং দূরত্ব: \[d_2 = rac{v^2}{2 g f} = rac{20.83^2}{2 imes 9.81 imes 0.35} = 63.2 ext{ m}\]
মোট SSD \(= d_1 + d_2 = 52.08 + 63.2 = 115.28 ext{ m}\]
হাইওয়ে জ্যামিতিক নকশা ও নিরাপদ দৃষ্টি দূরত্ব নির্ধারণ।