DUET Admission 2027 Model Exam 016 - সিভিল ইঞ্জিনিয়ারিং (CE)
Civil Engineering · আসন সংখ্যা: 120
১ম পত্র: নন-টেকনিক্যাল (পদার্থবিজ্ঞান, রসায়ন, গণিত ও ইংরেজি)
পদার্থবিজ্ঞান (৪০) · রসায়ন (৪০) · গণিত (৪০) · ইংরেজি (৩০)বিভাগ-ক: বহু নির্বাচনি প্রশ্ন (MCQ)
৪০টি প্রশ্ন × ১.৫ নম্বর = ৬০ নম্বর (নেগেটিভ মার্ক ০.২৫)Rotating frame-এ centrifugal force না ধরলে কী সমস্যা হতে পারে?
Non-inertial frame-এর Newton law ব্যবহার করতে pseudo force যোগ করতে হয়।
Whirling bucket-এ water বাইরে উঠতে চায় কোন apparent force-এর জন্য?
Rotating frame-এ water outward centrifugal tendency দেখায়।
Salad spinner-এ water বাইরে বের হয় কোন effect-এ?
Rotation-এর ফলে water outward tendency নিয়ে holes দিয়ে বের হয়।
Centrifuge machine কোন principle ব্যবহার করে?
Different density-এর particles rotation-এ ভিন্ন radial response দেখায়।
Banked road-এ frictionless condition-এ centripetal force কে দেয়?
Bank angle-এর জন্য normal-এর inward horizontal component থাকে।
Flat road-এ car turn করতে friction না থাকলে কী হবে?
Friction inward centripetal force দেয়; তা না থাকলে tangent motion।
Flat road-এ maximum safe speed কোন quantity বাড়লে বাড়ে?
v_max=√(μrg), তাই μ ও r বাড়লে safe speed বাড়ে।
Flat road-এ frictional force-এর maximum value কী?
Maximum static friction f_max=μ_sN।
Flat circular road-এ turning-এর জন্য required friction কী direction-এর?
Friction inward net force হিসেবে centripetal force দেয়।
Vertical circle-এর bottom point-এ centripetal direction কোন দিকে?
Bottom point-এর centre উপরে, তাই centripetal force upward।
প্রধান কোয়ান্টাম সংখ্যা \(n = 5\) এবং সহকারী কোয়ান্টাম সংখ্যা \(l = 4\) (5g) এ মোট অরবিটাল ও সর্বোচ্চ ইলেকট্রন ধারণক্ষমতা কত?
অরবিটাল সংখ্যা \(2l+1 = 9\) এবং সর্বোচ্চ ইলেকট্রন সংখ্যা \(2(2l+1) = 18\)।
লা-শাতেলিয়ারের নীতি অনুসারে \(CO₂(g) + C(s) ⇌ 2CO(g) - 172 kJ\) বিক্রিয়ায় উৎপাদের পরিমাণ বৃদ্ধির অনুকূল শর্ত কোনটি?
বাউডোয়ার্ড বিক্রিয়া: বিক্রিয়ার এনথালপি ও গ্যাসীয় মোল সংখ্যার পরিবর্তন \(\Delta n = 1\) বিবেচনায় তাপমাত্রা বৃদ্ধি ও চাপ হ্রাস উৎপাদ বৃদ্ধি করে।
B এর প্রথম আয়নীকরণ শক্তির প্রবণতা কোনটি?
B এর কার্যকর আকর্ষণ বল দ্বারা এর আয়নীকরণ বিভব নির্ধারিত হয়।
Si এর প্রথম আয়নীকরণ শক্তির প্রবণতা কোনটি?
Si এর কার্যকর আকর্ষণ বল দ্বারা এর আয়নীকরণ বিভব নির্ধারিত হয়।
O এর প্রথম আয়নীকরণ শক্তির প্রবণতা কোনটি?
O এর কার্যকর আকর্ষণ বল দ্বারা এর আয়নীকরণ বিভব নির্ধারিত হয়।
I মৌলটির বিশিষ্ট রাসায়নিক বৈশিষ্ট্য কোনটি?
I এর প্রধান বৈশিষ্ট্য: উদ্বায়ী ও উজ্জ্বল ধাতব দ্যুতিযুক্ত কঠিন হ্যালোজেন।
Cu মৌলটির বিশিষ্ট রাসায়নিক বৈশিষ্ট্য কোনটি?
Cu এর প্রধান বৈশিষ্ট্য: পূর্ণ d¹⁰ কাঠামোযুক্ত মুদ্রা ধাতু।
M \(\text{HCl}\) দ্রবণের pH কত?
তীব্র এসিডের ক্ষেত্রে \[\text{pH} = -\log[H^+] = -\log(0.1) = 1.0\]।
e-05 M \(\text{NaOH}\) জলীয় দ্রবণের pH কত?
\[\text{pOH} = -\log(1e-05) = 5.0\], \[\text{pH} = 14 - 5.0 = 9.0\]।
লুকাস বিকারক দ্বারা কোন ধরনের অ্যালকোহল তাৎক্ষণিকভাবে সাদা ঘোলাটে অধঃক্ষেপ দেয়?
৩° কার্বোক্যাটায়নের উচ্চ স্থিতিশীলতার কারণে ৩° অ্যালকোহল সাথে সাথে বিক্রিয়া করে।
জন ব্যক্তির একটি গোল টেবিলে কত উপায়ে বসানো যেতে পারে?
n সংখ্যক বস্তুর বৃত্তাকার বিন্যাস সংখ্যা হলো (n - 1)!। সুতরাং 8 জনের জন্য (8 - 1)! = 7! = 5040।
i¹⁰⁰ + i¹⁰¹ + i¹⁰² + i¹⁰³ এর মান কত?
i¹⁰⁰ = 1, i¹⁰¹ = i, i¹⁰² = -1, i¹⁰³ = -i। যোগফল = 0। চারটি ধারাবাহিক ঘাতের যোগফল সর্বদা শূন্য।
z = a + bi হলে z · z̄ = কত?
z · z̄ = (a + bi)(a - bi) = a² - b²i² = a² + b² = |z|²।
z₂ ≠ 0 হলে |z₁/z₂| কত?
ভাগের ক্ষেত্রে modulus ভাগ হয়: |z₁/z₂| = |z₁| / |z₂|।
i এর argument কত?
i = 0 + 1i, অর্থাৎ বিন্দু (0, 1)। positive imaginary axis-এর সাথে কোণ 90°।
De Moivre-এর theorem অনুযায়ী (cos θ + i sin θ)ⁿ = ?
De Moivre-এর theorem: (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ। এখানে modulus 1 থাকে, শুধু argument n গুণ হয়।
zⁿ = 1 সমীকরণের root-এর সংখ্যা কত?
n ঘাতের সমীকরণের সর্বোচ্চ n সংখ্যক root হয়; zⁿ - 1 = 0 এর n সংখ্যক ভিন্ন root আছে।
|z - 2 - 3i| = 5 circle-এর কেন্দ্র ও radius কোনটি?
|z - (2 + 3i)| = 5 আকারে লিখলে কেন্দ্র 2 + 3i অর্থাৎ (2, 3) এবং radius 5।
C3 এর মান নির্ণয় করুন।
6C3 = rac{6!}{3!(6-3)!} = 20।
x² - 6x - 30 = 0 সমীকরণের উৎপাদকী রূপ কী?
শর্তগুলো মেলালে 5x² - 6x - 30 = (5x+6)(x-5)।
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'Many fundamental mathematical theorems derive ___ simple geometric postulates.'
'derive' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'from' বসে (অর্থ: উৎপন্ন হওয়া / পাওয়া)।
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The industrial instrumentation technician is thoroughly familiar ___ PLC ladder logic.'
'familiar' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'with' বসে (অর্থ: পরিচিত)।
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The aspiring diploma engineer was very keen ___ mastering finite element modeling.'
'keen' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'on' বসে (অর্থ: উৎসাহী)।
The train left before I arrived at the station.
Past perfect ব্যবহার করে আগে সংঘটিত কাজ বোঝানো হয়।
The baby ___ since morning.
Since morning-এ duration আছে, তাই present perfect continuous।
Choose the correct sentence with proper Subject-Verb Agreement:
When subjects are joined by 'along with', 'as well as', 'together with', the verb agrees with the primary subject ('The captain', singular -> 'was').
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The defendant was accused ___ misappropriating public funds.'
'accused' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'of' বসে (অর্থ: অভিযুক্ত)।
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The research scholars were anxious ___ their semester evaluation results.'
'anxious' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'about' বসে (অর্থ: উদ্বিগ্ন)।
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'The university bestowed an honorary doctorate ___ the eminent scientist.'
'bestow' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'upon' বসে (অর্থ: প্রদান করা)।
Fill in the blank with the appropriate preposition:
'Contractors must comply ___ the statutory environmental norms.'
'comply' শব্দের পর উপযুক্ত Preposition হিসেবে 'with' বসে (অর্থ: মান্য করা)।
বিভাগ-খ: সংক্ষিপ্ত ও বর্ণনামূলক লিখিত প্রশ্ন (Written/CQ)
১৮টি প্রশ্ন × ৫ নম্বর = ৯০ নম্বরদুটি ভেক্টর \(\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}\) এবং \(\vec{B} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}\)।
(ক) ভেক্টরদ্বয়ের ডট গুণন (\(\vec{A} \cdot \vec{B}\)) এবং মধ্যবর্তী কোণ (\(\theta\)) নির্ণয় করো।
(খ) ভেক্টরদ্বয়ের ক্রস গুণন (\(\vec{A} \times \vec{B}\)) দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত? [মান: ৫]
গণনা:
(ক) ডট গুণন: \[ ec{A} \cdot \vec{B} = (2)(1) + (3)(-2) + (-1)(2) = 2 - 6 - 2 = \mathbf{-6}\]
মানসমূহ: \(|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{14} \approx 3.742\)
\(|\vec{B}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\)
কোণ: \[\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|} = \frac{-6}{3 \times \sqrt{14}} = \frac{-2}{\sqrt{14}} \approx -0.5345 \implies \mathbf{\theta \approx 122.31^\circ}\]
(খ) ক্রস গুণন: \[ ec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 2) - \hat{j}(4 + 1) + \hat{k}(-4 - 3) = 4\hat{i} - 5\hat{j} - 7\hat{k}\]
ক্ষেত্রফল = \(|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 25 + 49} = \sqrt{90} = \mathbf{9.487\text{ বর্গ একক}}\)।
হুকের সূত্রটি লেখ। একটি \(2\,\text{m}\) দীর্ঘ ও \(1\,\text{mm}^2\) প্রস্থচ্ছেদের তারে \(100\,\text{N}\) ভার চাপালে এর দৈর্ঘ্য \(1\,\text{mm}\) বৃদ্ধি পায়।
(ক) তারের উপাদানের ইয়ং-এর গুণাঙ্ক (\(Y\)) কত?
(খ) প্রসারিত তারে সঞ্চিত স্থিতিশক্তি (Elastic Potential Energy) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
হুকের সূত্র: স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে বস্তুর পীড়ন তার বিকৃতির সমানুপাতিক (\(\text{পীড়ন} \propto \text{বিকৃতি}\))।
গণনা:
- \(L = 2\,\text{m}, A = 1\,\text{mm}^2 = 10^{-6}\,\text{m}^2, F = 100\,\text{N}, \Delta L = 1\,\text{mm} = 10^{-3}\,\text{m}\)
(ক) ইয়ং-এর গুণাঙ্ক: \[Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L} = \frac{100 \times 2}{10^{-6} \times 10^{-3}} = \frac{200}{10^{-9}} = \mathbf{2 \times 10^{11}\,\text{N/m}^2\text{ (200 GPa)}}\]
(খ) সঞ্চিত স্থিতিশক্তি: \[U = \frac{1}{2} F \cdot \Delta L = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-3} = \mathbf{0.05\,\text{J}}\]
ডপলার প্রভাব (Doppler Effect) বিবৃত করো। একটি ট্রেনের বাঁশির প্রকৃত কম্পাঙ্ক \(400\,\text{Hz}\)। ট্রেনটি \(20\,\text{m/s}\) বেগে একজন স্থির পর্যবেক্ষকের দিকে এগিয়ে আসলে পর্যবেক্ষক কর্তৃক অনুভূত আপাত কম্পাঙ্ক কত হবে? (বাতাসে শব্দের বেগ \(v = 340\,\text{m/s}\)) [মান: ৫]
ডপলার প্রভাব: উৎস ও পর্যবেক্ষকের আপেক্ষিক গতির কারণে তরঙ্গের আপাত কম্পাঙ্কের পরিবর্তনকে ডপলার প্রভাব বলে।
গণনা: উৎস পর্যবেক্ষকের দিকে গতিশীল (\(v_s = 20\,\text{m/s}, v_o = 0\)):
\[f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 400 \left( \frac{340}{340 - 20} \right) = 400 \left( \frac{340}{320} \right) = 400 \times 1.0625 = \mathbf{425\,\text{Hz}}\]
একটি ডিফ্র্যাকশন গ্রেটিংয়ে প্রতি সেন্টিমিটারে 5000 টি দাগ কাটা আছে। \(600\,\text{nm}\) তরঙ্গদৈর্ঘ্যের আলোর জন্য প্রথম ক্রমের (First order) অপবর্তন কোণ (\(\theta\)) নির্ণয় করো। [মান: ৫]
গ্রেটিং সমীকরণ (\(d \sin\theta = n \lambda\)):
গ্রেটিং ধ্রুবক: \[d = \frac{1}{N} = \frac{1\,\text{cm}}{5000} = \frac{10^{-2}\,\text{m}}{5000} = 2 \times 10^{-6}\,\text{m}\]
১ম ক্রম (\(n = 1\)), \(\lambda = 600 \times 10^{-9}\,\text{m}\):
\[\sin\theta = \frac{n \lambda}{d} = \frac{1 \times 600 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-6}} = 0.30\]
\[\mathbf{\theta = \sin^{-1}(0.30) \approx 17.46^\circ}\]
একটি সরল দোলকের ববের ভর 150 g এবং কার্যকরী দৈর্ঘ্য 1 m। ববটিকে সাম্যাবস্থান হতে 60° কোণে টেনে ছেড়ে দেওয়া হলো। সাম্যাবস্থান অতিক্রমকালে ববের বেগ এবং সুতার টান নির্ণয় করো। (g = 9.8 m/s²)
প্রদত্ত: দৈর্ঘ্য \(L = 1 ext{ m}\), কোণ \( heta = 60^\circ\), ভর \(m = 0.15 ext{ kg}\)।
সাম্যাবস্থান হতে উলম্ব উচ্চতা: \[h = L(1 - \cos 60^\circ) = 1(1 - 0.5) = 0.5 ext{ m}\]
শক্তির নিত্যতা নীতি অনুযায়ী: \[ rac{1}{2}mv^2 = mgh \implies v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 imes 9.8 imes 0.5} = \sqrt{9.8} pprox 3.13 ext{ m/s}\]
সাম্যাবস্থানে সুতার টান: \[T = mg + rac{mv^2}{L} = m\left(g + rac{v^2}{L}
ight) = 0.15\left(9.8 + rac{9.8}{1}
ight) = 0.15 imes 19.6 = 2.94 ext{ N}\]
সরল দোলকের যান্ত্রিক শক্তির রূপান্তর ও বৃত্তাকার গতির কেন্দ্রমুখী বল সমন্বয়।
ফ্যারাডের তড়িৎ বিশ্লেষণের ১ম সূত্রটি বিবৃত ও প্রতিপাদন করো (\(W = Z I t\))। কপার সালফেট দ্রবণে \(5\,\text{A}\) কারেন্ট \(30\,\text{minutes}\) চালনা করলে ক্যাথোডে কত গ্রাম তামা জমা হবে? (\(\text{Cu} = 63.5, 1\,\text{F} = 96500\,\text{C}\)) [মান: ৫]
১ম সূত্র: তড়িৎ বিশ্লেষণের সময় কোনো তড়িৎদ্বারে সঞ্চিত বা দ্রবীভূত পদার্থের ভর (\(W\)) প্রবাহিত মোট তড়িৎ আধানের (\(Q\)) সমানুপাতিক: \[W \propto Q \implies W = Z \cdot Q = \mathbf{Z I t}\]
(এখানে \(Z = \frac{\text{Molar mass}}{n \cdot F}\) হলো তড়িৎ-রাসায়নিক তুল্যাঙ্ক)।
গণনা (\(\text{Cu}^{2+} + 2e^- \rightarrow \text{Cu}\), ফলে \(n = 2\)):
- \(I = 5\,\text{A}\)
- \(t = 30 \times 60 = 1800\,\text{s}\)
- \(Q = I \cdot t = 5 \times 1800 = 9000\,\text{C}\)
\[Z = \frac{63.5}{2 \times 96500} = \frac{63.5}{193000} \approx 3.29 \times 10^{-4}\,\text{g/C}\]
সঞ্চিত তামার ভর: \[W = Z \cdot Q = (3.29 \times 10^{-4}) \times 9000 = \mathbf{2.961\,\text{g}}\]
মোলারিটি (Molarity) বলতে কী বোঝায়? \(250\,\text{mL}\) দ্রবণে \(10.6\,\text{g}\) সোডিয়াম কার্বনেট (\(\text{Na}_2\text{CO}_3\)) দ্রবীভূত থাকলে দ্রবণের মোলারিটি কত হবে? (\(\text{Na} = 23, \text{C} = 12, \text{O} = 16\)) [মান: ৫]
সংজ্ঞা: নির্দিষ্ট তাপমাত্রায় প্রতি লিটার (১০০০ মিলি) দ্রবণে দ্রবীভূত দ্রবের মোল সংখ্যাকে ঐ দ্রবণের মোলারিটি বলে (একক: \(\text{mol/L}\) বা M)।
গণনা:
\(\text{Na}_2\text{CO}_3\)-এর মোলার ভর: \[M_w = (23 \times 2) + 12 + (16 \times 3) = 46 + 12 + 48 = 106\,\text{g/mol}\]
মোলারিটির সূত্র: \[M = \frac{1000 \times w}{M_w \times V\,(\text{mL})}\]
- \(w = 10.6\,\text{g}, V = 250\,\text{mL}, M_w = 106\,\text{g/mol}\)
\[M = \frac{1000 \times 10.6}{106 \times 250} = \frac{10600}{26500} = \mathbf{0.40\,\text{M}}\]
অতএব দ্রবণের মোলার ঘনমাত্রা \(0.40\,\text{M}\)।
বাফার দ্রবণ কী? হেন্ডারসন-হ্যাসেলবালখ সমীকরণটি লেখ। \(0.1\,\text{M}\) অ্যাসিটিক অ্যাসিড এবং \(0.1\,\text{M}\) সোডিয়াম অ্যাসিটেট দ্রবণের মিশ্রণে গঠিত বাফার দ্রবণের pH কত? (\(K_a = 1.8 \times 10^{-5}\)) [মান: ৫]
বাফার দ্রবণ: যে দ্রবণে সামান্য এসিড বা ক্ষার যোগ করলেও দ্রবণের pH মান প্রায় অপরিবর্তিত থাকে।
হেন্ডারসন সমীকরণ: \[\text{pH} = \text{p}K_a + \log\frac{[\text{Salt}]}{[\text{Acid}]}\]
গণনা:
\(\text{p}K_a = -\log(1.8 \times 10^{-5}) = 4.745\)
\[\text{pH} = 4.745 + \log\frac{0.1}{0.1} = 4.745 + \log(1) = 4.745 + 0 = \mathbf{4.745}\]
\(25\,\text{mL}\) অজানা ঘনমাত্রার হাইড্রোক্লোরিক অ্যাসিড (\(\text{HCl}\)) দ্রবণকে প্রশমিত করতে \(0.15\,\text{M}\) সোডিয়াম কার্বনেট (\(\text{Na}_2\text{CO}_3\)) দ্রবণের \(20\,\text{mL}\) প্রয়োজন হলো। \(\text{HCl}\) দ্রবণের মোলারিটি এবং প্রতি লিটারে গ্রাম এককে ঘনমাত্রা নির্ণয় করো। [মান: ৫]
বিক্রিয়া সমীকরণ:
\[\text{Na}_2\text{CO}_3 + 2\text{HCl} \longrightarrow 2\text{NaCl} + \text{H}_2\text{O} + \text{CO}_2\]
এখানে, এসিডের মোল সংখ্যা \(n_A = 2\) এবং ক্ষারের মোল সংখ্যা \(n_B = 1\)।
টাইট্রেশন সূত্র:
\[\frac{V_A M_A}{n_A} = \frac{V_B M_B}{n_B} \implies \frac{25 \times M_A}{2} = \frac{20 \times 0.15}{1}\]
\[25 \times M_A = 2 \times 3.0 = 6.0 \implies M_A = \frac{6.0}{25} = \mathbf{0.24\,\text{M}}\]
গ্রাম/লিটার ঘনমাত্রা (\(S = M \times M_w\)):
\(\text{HCl}\)-এর আণবিক ভর = \(1 + 35.5 = 36.5\,\text{g/mol}\)।
\[S = 0.24 \times 36.5 = \mathbf{8.76\,\text{g/L}}\]
\(\text{SF}_6\) এবং \(\text{PCl}_5\) অণুদ্বয়ের সংকরায়ন (Hybridization), মুক্তজোড় ইলেকট্রন সংখ্যা এবং জ্যামিতিক আকৃতি বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করো।
১. \(\text{SF}_6\) অণু:
সালফারের যোজনী স্তরে ৬টি ইলেকট্রন এবং ৬টি ফ্লোরিন পরমাণুর সাথে ৬টি বন্ধন গঠন করে।
স্টেরিক সংখ্যা \(SN = 6 + 0 = 6\)। সংকরায়ন: \(sp^3d^2\)।
মুক্তজোড় ইলেকট্রন: 0টি। বন্ধন কোণ: 90°।
জ্যামিতিক আকৃতি: অষ্টতলকীয় (Octahedral)।
২. \(\text{PCl}_5\) অণু:
ফসফরাসের যোজনী স্তরে ৫টি ইলেকট্রন এবং ৫টি ক্লোরিনের সাথে ৫টি বন্ধন গঠন করে।
স্টেরিক সংখ্যা \(SN = 5 + 0 = 5\)। সংকরায়ন: \(sp^3d\)।
মুক্তজোড় ইলেকট্রন: 0টি। বন্ধন কোণ: 120° (নিরক্ষীয়) ও 90° (অক্ষীয়)।
জ্যামিতিক আকৃতি: ত্রিকোণাকার দ্বিপিরামিডীয় (Trigonal Bipyramidal)।
VSEPR তত্ত্ব ও সংকরায়ন কাঠামোর পূর্ণাঙ্গ বিশ্লেষণ।
ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে সমাধান করো (Cramer's Rule অথবা ইনভার্স পদ্ধতি):
\[2x + y = 7\]
\[3x - 2y = 7\]
ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়কের মান কত? [মান: ৫]
ম্যাট্রিক্স সমীকরণ: \[A X = B \implies \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 7 \end{bmatrix}\]
নির্ণায়কের মান: \[D = |A| = (2)(-2) - (1)(3) = -4 - 3 = -7 \neq 0\]
Cramer's Rule:
\[D_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 7 & -2 \end{vmatrix} = (7)(-2) - (1)(7) = -14 - 7 = -21\]
\[D_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} = (2)(7) - (7)(3) = 14 - 21 = -7\]
সমাধান: \[x = \frac{D_x}{D} = \frac{-21}{-7} = \mathbf{3}\]
\[y = \frac{D_y}{D} = \frac{-7}{-7} = \mathbf{1}\]
ক্র্যামারের নিয়ম (Cramer's Rule) ব্যবহার করে নিচের সমীকরণ জোট সমাধান করো:
\[x + y + z = 6\]
\[2x - y + z = 3\]
\[x + 2y - z = 2\] [মান: ৫]
নির্ণায়ক গঠন ও গণনা:
\[D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(1 - 2) - 1(-2 - 1) + 1(4 - (-1)) = -1 + 3 + 5 = 7\]
\[D_x = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 6(1 - 2) - 1(-3 - 2) + 1(6 - (-2)) = -6 + 5 + 8 = 7 \implies x = \frac{D_x}{D} = \frac{7}{7} = \mathbf{1}\]
\[D_y = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(-3 - 2) - 6(-2 - 1) + 1(4 - 3) = -5 + 18 + 1 = 14 \implies y = \frac{D_y}{D} = \frac{14}{7} = \mathbf{2}\]
\[D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 1(-2 - 6) - 1(4 - 3) + 6(4 - (-1)) = -8 - 1 + 30 = 21 \implies z = \frac{D_z}{D} = \frac{21}{7} = \mathbf{3}\]
নির্ণেয় সমাধান: \(\mathbf{(x, y, z) = (1, 2, 3)}\)।
\(y^2 = 8x\) পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু (Vertex), উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (Focus), উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য (Latus Rectum) এবং নিয়ামক রেখার (Directrix) সমীকরণ নির্ণয় করো। [মান: ৫]
আদর্শ সমীকরণের সাথে তুলনা:
\(y^2 = 4ax\) এর সাথে তুলনা করে পাই: \(4a = 8 \implies a = 2\)।
১. শীর্ষবিন্দু: \((0, 0)\)
২. উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক: \((a, 0) = \mathbf{(2, 0)}\)
৩. উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: \(|4a| = |8| = \mathbf{8\text{ একক}}\)
৪. নিয়ামক রেখার সমীকরণ: \(x = -a \implies x = -2 \implies \mathbf{x + 2 = 0}\)।
L'Hôpital's Rule প্রয়োগ করে মান নির্ণয় করো: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}\]
প্রদত্ত সীমাস্থ মান \(x = 0\) বসিয়ে পাই: \[\frac{e^0 - e^0 - 0}{0 - \sin 0} = \frac{0}{0} \quad \text{(অসংজ্ঞায়িত রূপ)}\]
লব ও হরকে পৃথকভাবে \(x\) এর সাপেক্ষে পর পর ব্যবকলন (L'Hôpital's Rule) করে পাই:
১ম অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x} = \frac{1 + 1 - 2}{1 - 1} = \frac{0}{0}\]
২য় অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}\]
৩য় অন্তরীকরণ: \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{e^0 + e^0}{\cos 0} = \frac{1 + 1}{1} = 2\]
সুতরাং নির্ণেয় মান: 2।
অনির্ণেয় আকার ও লাপ্লাস/লা-হস্পিটাল নিয়মের ধারাবাহিক ব্যবকলন প্রয়োগ।
উপবৃত্ত \(9x^2 + 16y^2 = 144\) এর (ক) উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity), (খ) উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক (Foci), এবং (গ) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণকে আদর্শ রূপ \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) এ প্রকাশ করে পাই:
\[\frac{9x^2}{144} + \frac{16y^2}{144} = 1 \implies \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\]
এখানে \(a^2 = 16 \implies a = 4\) এবং \(b^2 = 9 \implies b = 3\)। যেহেতু \(a > b\):
(ক) উৎকেন্দ্রিকতা (e): \[e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}\]
(খ) উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক: \[(\pm ae, 0) = \left(\pm 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}, 0\right) = (\pm \sqrt{7}, 0)\]
(গ) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: \[\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{4} = \frac{18}{4} = 4.5\text{ একক}\]
কণিক অধ্যায়ে উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ হতে বৈশিষ্ট্যাবলী বিশ্লেষণ।
নিচের বাক্যগুলোর ব্যাকরণগত ভুল সংশোধন করে সঠিক বাক্য লেখ:
(i) He gave me many advices.
(ii) The sceneries of Cox's Bazar are very charming.
(iii) He is senior than me in service.
(iv) The patient had died before the doctor came.
(v) Either of the two pens are good. [মান: ৫]
সংশোধিত বাক্যসমূহ:
(i) Correct: He gave me much advice. (বা He gave me many pieces of advice. 'Advice' হলো আনকাউন্টেবল নাউন)।
(ii) Correct: The scenery of Cox's Bazar is very charming. ('Scenery' সর্বদা সিঙ্গুলার)।
(iii) Correct: He is senior to me in service. (Senior, junior, superior, inferior এর পর 'to' বসে, 'than' নয়)।
(iv) Correct: The patient had died before the doctor came. (সঠিক বাক্য, অথবা The doctor came after the patient had died)।
(v) Correct: Either of the two pens is good. ('Either of' এর পর সিঙ্গুলার ভার্ব বসে)।
ব্র্যাকেটের ভার্বগুলোর সঠিক রূপ ব্যবহার করে বাক্যগুলো সম্পূর্ণ করো:
(i) If he (study) regularly, he would pass the DUET admission test.
(ii) It is high time we (start) the project.
(iii) The teacher entered the room while the students (make) a noise.
(iv) I look forward to (hear) from you soon.
(v) Had I possessed enough funds, I (establish) a software firm. [মান: ৫]
উত্তরসমূহ:
(i) studied (Second Conditional: If + Past Indefinite, would + base verb).
(ii) started ('It is high time' এর পর Past Indefinite tense হয়)।
(iii) were making ('While' এর পর Past Continuous tense হয়)।
(iv) hearing ('Look forward to' এর পর verb+ing বসে)।
(v) would have established (Third Conditional: Had + Subject + V3, Subject + would have + V3)।
Fill in the blanks with appropriate prepositions:
(i) The performance of an alternator depends ______ its excitation system.
(ii) Diploma engineers should adhere ______ safety regulations in the substation.
(iii) He is very proficient ______ Python programming.
(iv) The supervisor inquired ______ the cause of the boiler failure.
(v) This material is superior ______ conventional steel in corrosion resistance. [মান: ৫]
Answers:
(i) on / upon (depends on).
(ii) to (adhere to).
(iii) in / at (proficient in/at).
(iv) into / about (inquired into/about).
(v) to (superior to).
২য় পত্র: টেকনিক্যাল (বিভাগীয় বিষয়)
সিভিল ইঞ্জিনিয়ারিং (স্পেশালাইজড ইঞ্জিনিয়ারিং)বিভাগ-ক: বহু নির্বাচনি প্রশ্ন (Technical MCQ)
৪০টি প্রশ্ন × ১.৫ নম্বর = ৬০ নম্বর (নেগেটিভ মার্ক ০.২৫)ইউলারের সূত্র অনুসারে উভয় প্রান্ত ফিক্সড (Fixed-Fixed) কলামের কার্যকরী দৈর্ঘ্য (Effective Length, L_e) কত?
উভয় প্রান্ত সম্পূর্ণ দৃঢ়ভাবে আবদ্ধ থাকলে ইনফ্লেকশন বিন্দুর মধ্যকার কার্যকরী দৈর্ঘ্য মূল দৈর্ঘ্যের অর্ধেক হয় (L_e = 0.5 L বা L/2)।
তরলে নিমজ্জিত সমতল উল্লম্ব পৃষ্ঠে কার্যকর মোট হাইড্রোস্ট্যাটিক বল (Total Pressure, F) এর সূত্র কোনটি?
হাইড্রোস্ট্যাটিক বল ক্ষেত্রফলের সেন্ট্রয়েডের গভীরতায় চাপের সমান: \[F = P_{ ext{avg}} imes A = ( ho g ar{h}) A = w A ar{h}\]।
পাইপে প্রবাহিত পানির হেড লস (Head Loss) নির্ণয়ে ডার্সি-ওয়েইসব্যাক (Darcy-Weisbach) সূত্র কোনটি?
ডার্সি-ওয়েইসব্যাক সূত্রানুযায়ী পাইপে ঘর্ষণজনিত হেড লস: \[h_f = rac{f L v^2}{2 g D}\], যেখানে f ডার্সি ঘর্ষণ সহগ এবং v প্রবাহ বেগ।
ম্যানিংয়ের সূত্রে উন্মুক্ত খালের হাইড্রোলিক ব্যাসার্ধ (Hydraulic Radius, R) এর সংজ্ঞা কোনটি?
হাইড্রোলিক ব্যাসার্ধ হলো প্রবাহ ক্ষেত্রফল এবং পানির সংস্পর্শে থাকা চ্যানেলের তলার পরিসীমার অনুপাত: \[R = rac{A}{P}\]।
একটি উন্মুক্ত খালে ফ্রউড সংখ্যা (Froude Number, Fr) > 1.0 হলে উক্ত প্রবাহকে কী বলা হয়?
Fr = v / √(g y_h); Fr < 1 হলে সাবক্রিটিক্যাল বা শান্ত প্রবাহ, Fr = 1 হলে সংকট প্রবাহ এবং Fr > 1 হলে অতিসংকট বা সুপারক্রিটিক্যাল প্রবাহ।
মৃত্তিকা বলবিদ্যায় মাটির শূন্যস্থান অনুপাত (Void Ratio, e) এবং রন্ধ্রতার (Porosity, n) সঠিক সম্পর্ক কোনটি?
মৃত্তিকার দশা চিত্রে: \[e = rac{V_v}{V_s} = rac{n}{1 - n}\] এবং \[n = rac{V_v}{V} = rac{e}{1 + e}\]।
সম্পূর্ণ সম্পৃক্ত মাটিতে (Fully Saturated Soil) সম্পৃক্তি মাত্রা (Degree of Saturation, S) এর মান কত?
ডিগ্রি অব স্যাচুরেশন: \[S = rac{V_w}{V_v} imes 100\%\]। সমস্ত রন্ধ্রে পানি পূর্ণ থাকলে V_w = V_v হওয়ায় S = 100%।
মাটির প্লাস্টিসিটি ইনডেক্স (Plasticity Index, PI) নির্ণয়ের সঠিক সূত্র কোনটি?
অ্যাটারবার্গ লিমিট অনুসারে প্লাস্টিসিটি সূচক হলো তরল সীমা (Liquid Limit, LL) এবং প্লাস্টিক সীমার (Plastic Limit, PL) ব্যবধান: \[PI = LL - PL\]।
ডিমেনশনাল ডায়নামিকসে ডার্সির সূত্র (Darcy's Law) অনুসারে মাটিতে পানির নিঃসরণ বেগ (v) কিসের সমানুপাতিক?
ল্যামিনার প্রবাহে ডার্সির সূত্র: \[v = k \cdot i\], যেখানে k হলো মাটির পারমিয়্যাবিলিটি সহগ এবং i হলো হাইড্রোলিক গ্রেডিয়েন্ট (h/L)।
টারজাঘির একক বিয়ারিং ক্ষমতা সমীকরণে স্ট্রিপ ফুটিংয়ের (Strip Footing) জন্য আলটিমেট ভারবহন ক্ষমতা (q_ult) কোনটি?
Karl Terzaghi-র ক্লাসিকাল অগভীর ভিত্তির সমীকরণ: \[q_u = c N_c + \gamma D_f N_q + 0.5 \gamma B N_\gamma\]। বর্গাকার হলে প্রথম পদে 1.3 এবং শেষ পদে 0.4 গুণ হয়।
হাইওয়েতে অনুভূমিক বাঁকে কেন্দ্রাতিগ বল (Centrifugal Force) প্রশমিত করতে রাস্তার বাইরের ধার ভেতরের ধার অপেক্ষা উঁচুকরণকে কী বলে?
যানবাহন উল্টে যাওয়া বা স্কিডিং রোধ করতে বাঁকে বাইরের কিনারা উঁচুকরণকে সুপার-এলিভেশন বলে, যার সূত্র: \[e + f = rac{v^2}{127 R}\]।
সড়কের পৃষ্ঠ হতে বৃষ্টির পানি নিষ্কাশনের সুবিধার্থে রাস্তার কেন্দ্রের অংশকে দুই পাশের চেয়ে সামান্য উঁচুকরণকে কী বলা হয়?
রাস্তার পৃষ্ঠ থেকে দ্রুত বৃষ্টির পানি পার্শ্ব ড্রেনে সরিয়ে ফুটপাথকে সুরক্ষিত রাখতে ট্রান্সভার্স ঢাল বা ক্যাম্বার প্রদান করা হয়।
বিশুদ্ধ পানির 5-দিনের বায়োকেমিক্যাল অক্সিজেন ডিমান্ড (BOD₅) সাধারণত কত হওয়া উচিত?
বিশুদ্ধ ও পানযোগ্য প্রাকৃতিক পানির BOD₅ মান 1-2 ppm (বা mg/L) এর কম থাকে। মান যত বাড়ে পানি তত জৈব দূষণে দূষিত।
পানীয় জল শোধনাগারে রোগ সৃষ্টিকারী ক্ষতিকর জীবাণু ধ্বংসের জন্য ক্লোরিনেশন প্রক্রিয়াকে কী বলা হয়?
পানির প্যাথোজেনিক ব্যাকটেরিয়া ধ্বংস করতে ক্লোরিন, ওজোন বা অতিবেগুনি রশ্মি প্রয়োগকে ডিসইনফেকশন বা জীবাণুমুক্তকরণ বলে।
আরসিসি ডিজাইনে টেনসাইল রডের নূন্যতম রিইনফোর্সমেন্ট রেশিও (ρ_min) নির্ধারণের মূল উদ্দেশ্য কী?
কংক্রিট টেনশনে ফেটে যাওয়ার সাথে সাথে যাতে সম্পূর্ণ বিম ধসে না পড়ে রড লোড বহন করে প্লাস্টিক ডিফর্মেশন দেখাতে পারে এজন্য \[ ho_{\min} = rac{1.4}{f_y}\] নিশ্চিত করা হয়।
আরসিসি বিমে আন্ডার-রিইনফোর্সড (Under-Reinforced) ডিজাইনে ব্যর্থতার প্রকৃতি কেমন হয়?
আন্ডার-রিইনফোর্সড বিমে কংক্রিট ভাঙার পূর্বেই স্টিল ইল্ডিং সীমায় পৌঁছে প্রসারিত হয়, ফলে বিমে বড় ধরনের ডিফ্লেকশন ও ফাটলের মাধ্যমে আগাম সতর্কবার্তা পাওয়া যায়।
আরসিসি বিমে ডায়াগোনাল টেনশন ফাটল (Diagonal Tension Crack) সাধারণত কোন অঞ্চলে দেখা যায়?
সাপোর্টের সন্নিকটে সর্বোচ্চ শিয়ার বল এবং বেন্ডিং পীড়নের লব্ধির ফলে 45 ডিগ্রি কোণে ডায়াগোনাল টেনশন সৃষ্টি হয়, যা প্রতিরোধে খাড়া স্টিরাপ (Stirrups) দেওয়া হয়।
একটি দ্বিমুখী স্ল্যাবের (Two-Way Slab) দীর্ঘতম স্প্যান (L) ও সংক্ষিপ্ত স্প্যানের (S) অনুপাত (L/S) কত হতে হয়?
স্ল্যাবের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 2.0 এর কম হলে লোড উভয় দিকে বণ্টিত হয় এবং তাকে টু-ওয়ে স্ল্যাব বলে। অনুপাত 2.0 বা বেশি হলে ওয়ান-ওয়ে স্ল্যাব।
কলামে টাই বার (Ties) বা ল্যাটারাল স্পাইরাল ব্যবহারের প্রধান কাঠামোগত উদ্দেশ্য কোনটি?
টাই বার প্রধান ভার্টিক্যাল রডগুলোকে তাদের নির্ধারিত অবস্থানে দৃঢ়ভাবে ধরে রাখে এবং উচ্চ কম্প্রেসিভ লোডে রডের বাইরের দিকে বাঁকা বা বাকলিং হওয়া প্রতিহত করে।
প্রজেক্ট ম্যানেজমেন্টে ক্রিটিক্যাল পাথ (Critical Path Method, CPM) বলতে নিচের কোনটিকে বোঝায়?
ক্রিটিক্যাল পাথ হলো প্রজেক্ট নেটওয়ার্কের সবচেয়ে দীর্ঘ অবিচ্ছিন্ন পথ যা সমাপ্ত করতে সর্বোচ্চ সময় লাগে। এই পাথের কোনো কাজের বিলম্ব হলে সমগ্র প্রকল্প বিলম্বিত হয় (Total Float = 0)।
স্টিলে কার্বনের শতকরা পরিমাণ বৃদ্ধি করলে স্টিলের যান্ত্রিক বৈশিষ্ট্যে কোন পরিবর্তন ঘটে?
কার্বন বৃদ্ধি করলে পার্লাইট ও সিমেন্টাইট স্তর গঠনের ফলে উপাদান শক্ত ও মজবুত হয় কিন্তু এটি সহজে নমনীয় হতে পারে না অর্থাৎ ভঙ্গুরতা বাড়ে ও ডাকটিলিটি কমে।
মৃদু ইস্পাতের (Mild Steel) জন্য আদর্শ ইয়ং মডুলাস (Modulus of Elasticity, E) এর মান কত?
কাঠামোগত স্টিলের ক্ষেত্রে স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক প্রায় 200 GPa বা 29,000 ksi। কংক্রিটের ক্ষেত্রে এটি প্রায় 20-30 GPa।
সাধারণ ইটের আদর্শ পরিমাপ (Standard Modular Size of Brick in Bangladesh, মসলা ছাড়া) কোনটি?
BDS 208 ও PWD শিডিউল অনুযায়ী ঐতিহ্যবাহী বাংলাদেশী ইটের সাইজ 9.5 ইঞ্চি × 4.5 ইঞ্চি × 2.75 ইঞ্চি।
কাঠামোগত ট্রাসে (Truss) মেম্বারসমূহের সংযোগস্থলকে সাধারণত কী প্রকৃতির জয়েন্ট বিবেচনা করা হয়?
আইডিয়াল ট্রাস তত্ত্বে প্রতিটি নোড বা জয়েন্টকে ঘর্ষণহীন পিন ধরা হয় যাতে মেম্বারে কেবল অক্ষীয় টানা (Tension) বা চাপ (Compression) বল কাজ করে এবং বেন্ডিং মোমেন্ট শূন্য থাকে।
কংক্রিট ঢালাইয়ের পর পানির সংস্পর্শে শক্তিবৃদ্ধি প্রক্রিয়ার জন্য প্রয়োজনীয় আর্দ্রকরণ প্রক্রিয়াকে কী বলে?
সিমেন্টের পূর্ণ হাইড্রেশনের মাধ্যমে কাঙ্ক্ষিত শক্তি অর্জন এবং শুষ্ক সংকোচনজনিত ফাটল রোধে কমপক্ষে ৭-২৮ দিন ভিজিয়ে রাখাকে কিউরিং বলে।
সাধারণ পোর্টল্যান্ড সিমেন্টের (OPC) প্রাথমিক জমাটবদ্ধ কাল (Initial Setting Time) ন্যূনতম কত?
BDS ও ASTM C150 মান অনুযায়ী সাধারণ পোর্টল্যান্ড সিমেন্টের প্রাথমিক জমাটবদ্ধ কাল ন্যূনতম 30 মিনিট এবং চূড়ান্ত কাল সর্বোচ্চ 600 মিনিট (10 ঘণ্টা)।
কংক্রিটের স্ট্যান্ডার্ড কিউব টেস্টের (Compressive Strength) আদর্শ সাইজ কোনটি?
BS ও ASTM মান অনুযায়ী কংক্রিটের স্ট্যান্ডার্ড কিউব সাইজ 150 mm এবং সিলিন্ডারের সাইজ 150 mm ব্যাস × 300 mm উচ্চতা।
কংক্রিট তৈরিতে পানির সাথে সিমেন্টের ওজন অনুপাত (Water-Cement Ratio) বৃদ্ধি করলে কোনটি ঘটে?
Abrams' Law অনুসারে W/C অনুপাত বাড়লে ওয়ার্ক্যাবিলিটি বাড়ে তবে অতিরিক্ত পানি শুকিয়ে যাওয়ার পর সূক্ষ্ম ছিদ্র সৃষ্টির কারণে কংক্রিটের কম্প্রেসিভ শক্তি উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস পায়।
বালির সূক্ষ্মতা গুণাঙ্ক (Fineness Modulus, FM) 2.6 হতে 2.9 হলে উক্ত বালিকে কোন শ্রেণীর অন্তর্ভুক্ত করা হয়?
ASTM ও BNBC অনুযায়ী: FM 2.2-2.6 মধ্যম বালি, FM 2.6-2.9 মোটা বালি এবং FM 2.9 এর বেশি অতিরিক্ত মোটা বালি হিসেবে গণ্য হয়।
সিমেন্টের সাউন্ডনেস (Soundness) বা আয়তন স্থায়িত্ব পরীক্ষার জন্য কোন যন্ত্রটি ব্যবহৃত হয়?
মুক্ত চুন (Free Lime) ও ম্যাগনেশিয়ার কারণে সিমেন্টের অতিরিক্ত প্রসারণ রোধ ও সাউন্ডনেস যাচাইয়ে লে-শাতেলিয়ার অ্যাপারেটাস ও অটোকেভ টেস্ট ব্যবহৃত হয়। ভিকাট নিডল দিয়ে জমাটবদ্ধ কাল নির্ণয় করা হয়।
লেভেলিংয়ে ব্যাকসাইট (Backsight, BS) পাঠ সর্বদা কোন বিন্দুতে নেওয়া হয়?
যন্ত্র স্থাপনের পর প্রথম যে পাঠটি জানা আরএল (RL) বিশিষ্ট বেঞ্চমার্কে বা চেঞ্জ পয়েন্টে নেওয়া হয় তাকে ব্যাকসাইট বলে।
লেভেলিং যন্ত্রের উচ্চতা পদ্ধতিতে যন্ত্রের অক্ষের উচ্চতা (Height of Instrument, HI) নির্ণয়ের সমীকরণ কোনটি?
কলাইমেশন বা হাইট অব ইনস্ট্রুমেন্ট পদ্ধতিতে: \[HI = RL_{ ext{BM}} + BS\] এবং যেকোনো স্টেশনের \[RL = HI - IS ext{ বা } HI - FS\]।
পৃথিবীর বক্রতার (Curvature) জন্য লেভেলিং পাঠে প্রয়োজনীয় সংশোধন (Curvature Correction, C_c) এর মান কত?
পৃথিবীর বক্রতার কারণে দৃশ্যমান রেখা প্রকৃত অনুভূমিক তলের উপরে অবস্থান করায় স্টাফ পাঠ বেশি আসে। ফলে সংশোধন ঋণাত্মক হয়: \[C_c = - rac{d^2}{2R} pprox -0.0785 d^2 ext{ m}\], যেখানে d কিমি এককে দূরত্ব।
একটি কন্ট্যুর ম্যাপে কন্ট্যুর রেখাসমূহ খুব কাছাকাছি ঘন সন্নিবিষ্ট থাকলে তা ভূমির কোন প্রকৃতি নির্দেশ করে?
কন্ট্যুর রেখাগুলোর মধ্যবর্তী অনুভূমিক দূরত্ব (Horizontal Equivalent) যত কম হয়, ভূমির ঢাল তত বেশি বা খাড়া নির্দেশিত হয়।
হুকের সূত্র (Hooke's Law) স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে পীড়ন ও বিকৃতির কোন সম্পর্ক নির্দেশ করে?
স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে হুকের সূত্র: \[\sigma = E \cdot arepsilon\], যেখানে E হলো ইয়ং এর স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক (Young's Modulus)।
পয়সনের অনুপাত (Poisson's Ratio, ν) বলতে নিচের কোন দুই বিকৃতির অনুপাতকে বোঝায়?
অক্ষীয় বল প্রয়োগের ফলে অক্ষীয় প্রসারণের সাথে লম্ব অভিমুখে সংকোচনের অনুপাতই পয়সনের অনুপাত: \[ u = - rac{ arepsilon_{ ext{lateral}}}{ arepsilon_{ ext{axial}}}\]। স্টিলের ক্ষেত্রে এর মান প্রায় 0.28-0.30।
সমভাবে বিস্তৃত লোড (UDL) বিশিষ্ট সাধারণভাবে স্থাপিত বিমের বেন্ডিং মোমেন্ট ডায়াগ্রামের (BMD) আকার কেমন হয়?
লোড সমীকরণ ধ্রুবক (0 ডিগ্রি), শিয়ার ফোর্স 1ম মাত্রার রৈখিক এবং বেন্ডিং মোমেন্ট সমীকরণ ২য় মাত্রার বহুপদী হওয়ায় প্যারাবলিক বক্ররেখা সৃষ্টি হয়।
বিমের যে বিন্দুতে বেন্ডিং মোমেন্টের মান শূন্য হয় এবং বক্রতার দিক ধনাত্মক হতে ঋণাত্মকে পরিবর্তিত হয় তাকে কী বলে?
ওভারহ্যাংগিং বা অবিচ্ছিন্ন বিমে যেখানে স্যাগিং হতে হগিং মোমেন্টে রূপান্তর ঘটে এবং মোমেন্ট ডায়াগ্রাম শূন্য অক্ষ অতিক্রম করে তাকে পয়েন্ট অব কন্ট্রাফ্লেক্সার বলে।
ফ্লেক্সারাল সূত্র (Bending Stress Formula) অনুসারে বিমের প্রস্থচ্ছেদে বেন্ডিং স্ট্রেসের সঠিক সমীকরণ কোনটি?
বিশুদ্ধ বেন্ডিং সমীকরণ: \[ rac{M}{I} = rac{\sigma}{y} = rac{E}{R} \implies \sigma = rac{M y}{I}\], যেখানে y নিরপেক্ষ অক্ষ হতে দূরত্ব এবং I জড়তার ভ্রামক।
বৃত্তাকার শ্যাফটের টরশন সূত্রে পোলার সেকশন মডুলাস (Z_p) এর মান d ব্যাসের শ্যাফটের জন্য কত?
পোলার মোমেন্ট অব ইনার্শিয়া \[J = rac{\pi d^4}{32}\]। সর্বোচ্চ ব্যাসার্ধ \[r = rac{d}{2}\]। সুতরাং \[Z_p = rac{J}{r} = rac{\pi d^3}{16}\]।
বিভাগ-খ: টেকনিক্যাল লিখিত প্রশ্ন (Technical Written/CQ)
১৮টি প্রশ্ন × ৫ নম্বর = ৯০ নম্বরএকটি ৩০ মিটার দীর্ঘ স্টিল টেপ \(20^\circ\text{C}\) তাপমাত্রা এবং \(100\,\text{N}\) টানে প্রমিত (Standardized)। এই টেপ দিয়ে \(35^\circ\text{C}\) তাপমাত্রা এবং \(150\,\text{N}\) টানে একটি পরিমাপকৃত দূরত্ব পাওয়া গেল \(600\,\text{m}\)।
(ক) তাপমাত্রাজনিত সংশোধন (\(C_t\)) নির্ণয় করো (\(\alpha = 11.5 \times 10^{-6}\,/^\circ\text{C}\))।
(খ) টানজনিত সংশোধন (\(C_p\)) নির্ণয় করো (\(A = 3\,\text{mm}^2, E = 2 \times 10^5\,\text{N/mm}^2\))। [মান: ৫]
গণনা:
(ক) তাপমাত্রা সংশোধন: \[C_t = L \cdot \alpha \cdot (T_m - T_0) = 600 \times (11.5 \times 10^{-6}) \times (35 - 20) = 600 \times 11.5 \times 10^{-6} \times 15 = \mathbf{+0.1035\,\text{m}}\]
(খ) টান সংশোধন: \[C_p = \frac{(P_m - P_0) L}{A \cdot E} = \frac{(150 - 100) \times 600}{3 \times (2 \times 10^5)} = \frac{50 \times 600}{600000} = \frac{30000}{600000} = \mathbf{+0.05\,\text{m}}\]
সঠিক দূরত্ব: \[L_{true} = 600 + 0.1035 + 0.05 = \mathbf{600.1535\,\text{m}}\]
লেভেলিংয়ের রাইজ অ্যান্ড ফল (Rise and Fall) পদ্ধতির মূল ধারণা ব্যাখ্যা করো। HI পদ্ধতির তুলনায় এই পদ্ধতির সুবিধা কী? এর গাণিতিক শুদ্ধতা পরীক্ষার ৩টি সমীকরণ লেখ। [মান: ৫]
মূল ধারণা: ধারাবাহিক দুটি স্টাফ পাঠের তুলনা করে যদি পরবর্তী পাঠ কম হয় তবে তা উঁচুতে থাকা নির্দেশ করে (\(\text{Rise} = \text{Previous} - \text{Current}\)) এবং পাঠ বেশি হলে নিচু জমি নির্দেশ করে (\(\text{Fall}\))।
সুবিধা: এতে প্রতিটি ইন্টারমিডিয়েট সাইট (IS)-এরও হিসাব স্বয়ংক্রিয়ভাবে গাণিতিক চেকে যাচাই হয়ে যায়, যা HI পদ্ধতিতে সম্ভব হয় না।
৩টি সমীকরণ চেক:
\[\sum \text{BS} - \sum \text{FS} = \sum \text{Rise} - \sum \text{Fall} = \text{Last RL} - \text{First RL}\]
একটি স্টিল রডের দৈর্ঘ্য \(2\,\text{m}\) এবং ব্যাস \(20\,\text{mm}\)। এর উপর \(50\,\text{kN}\) অক্ষীয় টানা বল প্রয়োগ করা হলো। স্টিলের ইয়ং-এর গুণাঙ্ক \(E = 200\,\text{GPa}\) হলে:
(ক) পীড়ন (Stress) এবং বিকৃতি (Strain) নির্ণয় করো।
(খ) রডটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি (\(\Delta L\)) কত হবে? [মান: ৫]
গণনা:
প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল: \[A = \frac{\pi}{4} d^2 = \frac{\pi}{4} (20)^2 = 100\pi \approx 314.16\,\text{mm}^2\]
(ক) পীড়ন: \[\sigma = \frac{P}{A} = \frac{50 \times 10^3\,\text{N}}{314.16\,\text{mm}^2} = \mathbf{159.15\,\text{N/mm}^2\text{ (MPa)}}\]
বিকৃতি: \[\epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{159.15}{200 \times 10^3} = \mathbf{7.96 \times 10^{-4}}\]
(খ) দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি: \[\Delta L = \epsilon \times L = (7.96 \times 10^{-4}) \times 2000\,\text{mm} = \mathbf{1.592\,\text{mm}}\]
একটি \(4\,\text{m}\) দীর্ঘ ক্যান্টিলিভার বিমের মুক্ত প্রান্তে (Free end) একটি \(5\,\text{kN}\) বিন্দু লোড দেওয়া আছে। ফিক্সড সাপোর্টে রিঅ্যাকশন ফোর্স ও মোমেন্ট কত? এর SFD ও BMD অঙ্কন পদ্ধতি লেখ। [মান: ৫]
ফিক্সড সাপোর্টের রিঅ্যাকশন:
- উল্লম্ব রিঅ্যাকশন: \(R = 5\,\text{kN}\)
- ফিক্সড মোমেন্ট: \[M = P \times L = 5 \times 4 = \mathbf{20\,\text{kN}\cdot\text{m}\text{ (Hogging)}}\]
ডায়াগ্রাম বর্ণনা:
- SFD: মুক্ত প্রান্ত থেকে ফিক্সড প্রান্ত পর্যন্ত সম্পূর্ণ বিমে একটি অপরিবর্তিত অনুভূমিক আয়তক্ষেত্রাকার শেয়ার ফোর্স (\(-5\,\text{kN}\)) থাকবে।
- BMD: মুক্ত প্রান্তে বেন্ডিং মোমেন্ট শূন্য (\(0\)) এবং সেখান থেকে সরলরৈখিকভাবে বৃদ্ধি পেয়ে ফিক্সড প্রান্তে সর্বোচ্চ ঋণাত্মক মোমেন্ট (\(-20\,\text{kN}\cdot\text{m}\)) এ পৌঁছাবে (ত্রিভুজাকার হগিং মোমেন্ট)।
লম্বা কলামের জন্য অয়লারের ক্রিটিক্যাল বাকলিং লোডের সূত্র \(P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{L_e^2}\) লেখ। নিচের প্রান্তিক অবস্থার জন্য কার্যকর দৈর্ঘ্য (\(L_e\))-এর মান কত?
(i) উভয় প্রান্ত কব্জাবদ্ধ (Both ends hinged)
(ii) উভয় প্রান্ত ফিক্সড (Both ends fixed)
(iii) এক প্রান্ত ফিক্সড, অন্য প্রান্ত ফ্রি (One end fixed, other free) [মান: ৫]
কার্যকর দৈর্ঘ্য (\(L_e\)):
(i) Both ends hinged: \(\mathbf{L_e = L}\)
(ii) Both ends fixed: \(\mathbf{L_e = 0.5 L}\) (বা তাত্ত্বিক \(L/2\))
(iii) One fixed, other free: \(\mathbf{L_e = 2 L}\)
(iv) One fixed, other hinged: \(L_e = \frac{L}{\sqrt{2}} \approx 0.707 L\)
তাৎপর্য: উভয় প্রান্ত ফিক্সড কলাম কব্জাবদ্ধ কলামের চেয়ে ৪ গুণ বেশি লোড (\(4 P_{cr}\)) বহন করতে পারে।
আন্ডার-রিইনফোর্সড (Under-reinforced) এবং ওভার-রিইনফোর্সড (Over-reinforced) বিম বলতে কী বোঝায়? সিভিল ইঞ্জিনিয়ারিং ডিজাইনে আন্ডার-রিইনফোর্সড বিম কেন সর্বদা অগ্রাধিকার পায়? [মান: ৫]
সংজ্ঞা:
- Under-reinforced: স্টিলের পরিমাণ সুষম পরিমাণের চেয়ে কম (\(\rho < \rho_b\)); লোড বাড়লে কংক্রিটের আগে স্টিল ইল্ড পয়েন্টে পৌঁছায়।
- Over-reinforced: স্টিলের পরিমাণ বেশি (\(\rho > \rho_b\)); স্টিল ইল্ড করার আগেই কংক্রিট কম্প্রেশনে চূর্ণবিচূর্ণ হয়।
অগ্রাধিকারের কারণ: আন্ডার-রিইনফোর্সড বিমে রড প্লাস্টিক ডিফরমেশনে যায়, ফলে বিমে বড় বড় ফাটল ধরে এবং দৃশ্যমান ডিফ্লেকশন দেখা যায় (Ductile failure), যা ধ্বংসের পূর্বে ভবনবাসীদের নিরাপদে সরে যাওয়ার পর্যাপ্ত সতর্কবার্তা দেয়। ওভার-রিইনফোর্সড বিমে কোনো সতর্কবার্তা ছাড়াই কংক্রিটের আকস্মিক ও মারাত্মক ভঙ্গুর ধ্বংস (Brittle failure) ঘটে।
একটি টাইড শর্ট কলামের (Tied Column) অক্ষীয় লোড বহন ক্ষমতার সূত্র \(P_u = 0.80 \phi [0.85 f_c' (A_g - A_{st}) + f_y A_{st}]\) ব্যাখ্যা করো। স্পাইরাল কলাম কেন টাইড কলামের চেয়ে বেশি নিরাপদ? [মান: ৫]
সূত্রের উপাদানসমূহ:
- \(0.80\): দুর্ঘটনাজনিত ইসেন্ট্রিসিটির জন্য রিডাকশন ফ্যাক্টর (স্পাইরালে \(0.85\))
- \(\phi = 0.65\): টাইড কলামের স্ট্রেংথ রিডাকশন ফ্যাক্টর (স্পাইরালে \(0.75\))
- \(0.85 f_c' (A_g - A_{st})\): কংক্রিট কর্তৃক গৃহীত লোড
- \(f_y A_{st}\): অনুদৈর্ঘ্য স্টিল কর্তৃক গৃহীত লোড
স্পাইরাল কলামের সুবিধা: স্পাইরাল রড কলামের কংক্রিট কোরকে চারপাশ থেকে বৃত্তাকারে শক্তভাবে আটকে রেখে ট্রাই-অ্যাক্সিয়াল স্ট্রেস অবস্থা সৃষ্টি করে, ফলে এটি সর্বোচ্চ লোডে সহজে ধ্বংস না হয়ে অত্যন্ত স্থিতিস্থাপক ও ডাকটাইল আচরণ প্রদর্শন করে।
একটি ডাবল রিইনফোর্সড বিম (Doubly Reinforced Beam) কখন ডিজাইন করা আবশ্যক হয়ে পড়ে? কম্প্রেশন জোনে রড প্রদানের দুটি সুবিধা লেখ। [মান: ৫]
কখন ডিজাইন করা আবশ্যক:
যখন আর্কিটেকচারাল বা স্পেসের সীমাবদ্ধতার কারণে বিমের আকার (প্রস্থ \(b\) ও গভীরতা \(d\)) সীমাবদ্ধ থাকে, কিন্তু আগত বেন্ডিং মোমেন্ট একটি সিঙ্গলি রিইনফোর্সড ব্যালেন্সড সেকশনের ধারণক্ষমতা (\(M_{max}\))-র চেয়ে বেশি হয়।
সুবিধাসমূহ:
১. লং-টার্ম ডিফ্লেকশন হ্রাস: কম্প্রেশন স্টিল কংক্রিটের ক্রিপ (Creep) এবং শ্রিঙ্কেজ বিকৃতি ব্যাপকভাবে রোধ করে।
২. ডাকটিলিটি বৃদ্ধি: কম্প্রেশন রড বিমের প্লাস্টিক বিকৃতি ক্ষমতা বৃদ্ধি করে ভূমিকম্প বা ডায়নামিক লোডে ধ্বংস প্রতিরোধ করে।
একটি সমকোণী (\(\theta = 90^\circ\)) ত্রিভুজাকার নচের (V-Notch) ডিসচার্জের সমীকরণ \(Q = \frac{8}{15} C_d \sqrt{2g} \tan(\theta/2) H^{5/2}\) ব্যবহার করে ডিসচার্জ নির্ণয় করো, যেখানে \(H = 0.3\,\text{m}\) এবং \(C_d = 0.60\)। আয়তাকার নচের তুলনায় V-নচের সুবিধা কী? [মান: ৫]
গণনা (\(\theta = 90^\circ \implies \tan 45^\circ = 1\)):
\[Q = \frac{8}{15} \times 0.60 \times \sqrt{2 \times 9.81} \times 1 \times (0.3)^{5/2}\]
\[\sqrt{2 \times 9.81} = 4.429\]
\[(0.3)^{2.5} = (0.3)^2 \times \sqrt{0.3} = 0.09 \times 0.5477 = 0.04929\]
\[Q = 0.32 \times 4.429 \times 0.04929 = \mathbf{0.0698\,\text{m}^3/\text{s} = 69.8\,\text{Liters/sec}}\]
সুবিধা: অত্যন্ত কম প্রবাহ বা লো-ডিসচার্জের ক্ষেত্রেও পানির হেড \(H\) পরিমাপযোগ্য উচ্চতায় থাকে, ফলে ক্ষুদ্র প্রবাহ নির্ভুলভাবে মাপা যায়।
একটি আয়তাকার উন্মুক্ত চ্যানেলের সবচেয়ে মিতব্যয়ী বা অর্থনৈতিক প্রস্থচ্ছেদের (Most Economical Section) শর্ত প্রমাণ করো: \(b = 2 y\) এবং \(R = y/2\) (যেখানে \(b\) হলো তলদেশের প্রস্থ এবং \(y\) হলো পানির গভীরতা)। [মান: ৫]
প্রমাণ:
প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল: \(A = b \cdot y \implies b = A / y\)
ভেজা পরিসীমা: \(P = b + 2y = \frac{A}{y} + 2y\)
সর্বাধিক ডিসচার্জের জন্য ভেজা পরিসীমা \(P\) সর্বনিম্ন হতে হবে (\(\frac{dP}{dy} = 0\)):
\[\frac{dP}{dy} = -\frac{A}{y^2} + 2 = 0 \implies \frac{A}{y^2} = 2 \implies A = 2y^2\]
যেহেতু \(A = b \cdot y\): \[b \cdot y = 2 y^2 \implies \mathbf{b = 2y}\]
হাইড্রোলিক রেডিয়াস: \[R = \frac{A}{P} = \frac{b y}{b + 2y} = \frac{(2y)(y)}{2y + 2y} = \frac{2y^2}{4y} = \mathbf{\frac{y}{2}}\] (প্রমাণিত)
মাটির তিন-দশা ডায়াগ্রাম (Three-Phase Diagram) অঙ্কন করো। ভয়েড রেশিও (\(e\)), পোরোসিটি (\(n\)), সম্পৃক্তি মাত্রা (\(S_r\)) এবং আর্দ্রতা বা পানির পরিমাণের (\(w\)) মধ্যে মৌলিক সম্পর্ক \(S_r \cdot e = w \cdot G_s\) প্রতিপাদন করো। [মান: ৫]
প্রতিপাদন:
আমরা জানি:
- ভয়েড রেশিও: \(e = V_v / V_s\)
- আর্দ্রতা: \(w = W_w / W_s\)
- সম্পৃক্তি মাত্রা: \(S_r = V_w / V_v \implies V_w = S_r V_v = S_r (e V_s)\)
পানির ওজন: \[W_w = V_w \gamma_w = S_r e V_s \gamma_w\]
মাটির কঠিন অংশের ওজন: \[W_s = V_s \gamma_s = V_s (G_s \gamma_w)\]
পানির পরিমাণ \(w = \frac{W_w}{W_s}\)-এ মান বসিয়ে:
\[w = \frac{S_r e V_s \gamma_w}{V_s G_s \gamma_w} = \frac{S_r e}{G_s} \implies \mathbf{S_r \cdot e = w \cdot G_s}\] (প্রমাণিত)
মাটির কম্প্যাকশন (Compaction) এবং কনসলিডেশন (Consolidation)-এর মধ্যে পার্থক্য কী? স্ট্যান্ডার্ড প্রোক্টর টেস্টে অপটিমাম ময়েশ্চার কন্টেন্ট (OMC) এবং ম্যাক্সিমাম ড্রাই ডেনসিটি (MDD) কীভাবে পাওয়া যায়? [মান: ৫]
পার্থক্য:
- Compaction: তাৎক্ষণিকভাবে যান্ত্রিক রোলিং বা ব্লো দিয়ে বাতাস বের করে ঘনত্ব বাড়ানো।
- Consolidation: দীর্ঘমেয়াদে দীর্ঘস্থায়ী লোডের প্রভাবে মাটি থেকে ধীরে ধীরে পানি বের হয়ে বসা।
OMC ও MDD নির্ণয়:
১. বিভিন্ন আর্দ্রতায় মাটিকে ছাঁচে ৩ স্তরে প্রতি স্তরে ২৫টি আঘাতে কম্প্যাক্ট করে শুষ্ক ঘনত্ব বের করা হয়: \(\gamma_d = \frac{\gamma}{1 + w}\)।
২. আর্দ্রতা (\(w\)) বনাম শুষ্ক ঘনত্বের (\(\gamma_d\)) গ্রাফ আঁকলে একটি বেল-আকৃতির কার্ভ পাওয়া যায়।
৩. কার্ভের শীর্ষবিন্দুর ঘনত্ব হলো MDD এবং তার সংশ্লিষ্ট আর্দ্রতা হলো OMC।
বায়োকেমিক্যাল অক্সিজেন ডিমান্ড (BOD) কী? একটি বর্জ্য পানির নমুনার প্রাথমিক দ্রবীভূত অক্সিজেন (Initial DO) ছিল \(9.0\,\text{mg/L}\) এবং \(20^\circ\text{C}\)-এ ৫ দিন ইনকিউবেশনের পর DO পাওয়া গেল \(3.0\,\text{mg/L}\)। ডাইলুশন ফ্যাক্টর \(50\) হলে \(BOD_5\) কত? [মান: ৫]
BOD সংজ্ঞা: নির্দিষ্ট তাপমাত্রায় (সাধারণত \(20^\circ\text{C}\)) পানির জৈব পদার্থকে ব্যাকটেরিয়া দ্বারা জারিত (বিয়োজিত) করতে যে পরিমাণ দ্রবীভূত অক্সিজেনের প্রয়োজন হয়।
গণনা:
\[BOD_5 = (DO_i - DO_f) \times \text{Dilution Factor}\]
- \(DO_i = 9.0\,\text{mg/L}\)
- \(DO_f = 3.0\,\text{mg/L}\)
- ডাইলুশন ফ্যাক্টর \(= 50\)
\[BOD_5 = (9.0 - 3.0) \times 50 = 6.0 \times 50 = \mathbf{300\,\text{mg/L}}\]
হাইওয়ে কার্ভে সুপার-এলিভেশন (Super-elevation, \(e\)) কেন প্রদান করা হয়? সুপার-এলিভেশনের সূত্র \(e + f = \frac{v^2}{127 R}\) ব্যাখ্যা করো। একটি \(400\,\text{m}\) ব্যাসার্ধের বাঁকে \(80\,\text{km/h}\) গতির জন্য নকশা সুপার-এলিভেশন কত হবে (যেখানে \(f = 0.15\))? [মান: ৫]
সুপার-এলিভেশনের উদ্দেশ্য: অনুভূমিক বাঁকে গাড়ির উপর সৃষ্ট কেন্দ্রবিমুখী বলকে (Centrifugal force) নিষ্ক্রিয় করে গাড়িকে উল্টে যাওয়া (Overturning) বা ছিটকে যাওয়া (Skidding) থেকে রক্ষা করার জন্য রাস্তার বাইরের প্রান্তকে ভেতরের প্রান্তের তুলনায় উঁচুতে তোলা হয়।
গণনা:
\[e + f = \frac{V^2}{127 R} = \frac{80^2}{127 \times 400} = \frac{6400}{50800} = 0.126\]
\[e = 0.126 - f = 0.126 - 0.15 = -0.024\]
যেহেতু ঘর্ষণ সহগ একাই কেন্দ্রবিমুখী বল সামলাতে যথেষ্ট, তবুও স্ট্যান্ডার্ড কোড অনুযায়ী নিরাপত্তা ও ড্রেনেজের জন্য ন্যূনতম কাম্বার/সুপার-এলিভেশন \(e = \mathbf{0.04\text{ থেকে }0.07}\) (বা \(4\% - 7\%\)) প্রদান করতে হবে।
একটি 150 mm প্রস্থ এবং 310 mm গভীরতার আয়তাকার কাঠের বিমে 41 kN·m বেন্ডিং মোমেন্ট প্রয়োগ করা হয়েছে। বিমের চরম আঁশে সৃষ্ট সর্বোচ্চ বেন্ডিং স্ট্রেস (Maximum Bending Stress) কত? [মান: ৫]
১. মোমেন্ট অব ইনার্শিয়া:
\[I_{NA} = rac{b d^3}{12} = rac{150 imes 310^3}{12} = 372387500.0 ext{ mm}^4\]
২. বেন্ডিং স্ট্রেস:
নিরপেক্ষ অক্ষ হতে সর্বোচ্চ দূরত্ব \(y_{max} = d / 2 = 155.0\) mm।
\[\sigma_{max} = rac{M \cdot y_{max}}{I} = rac{41 imes 10^6 imes 155.0}{372387500.0} = 17.07 ext{ MPa}\]
ফ্লেক্সার ফর্মুলা ও চরম তন্তুতে বেন্ডিং পীড়ন গণনা।
একটি উলম্ব আয়তাকার স্লুইস গেটের প্রস্থ 2.2 m এবং উচ্চতা 3.2 m। গেটটির কেন্দ্র পানির মুক্ত তল থেকে 4.1 m গভীরে নিমজ্জিত থাকলে গেটের উপর মোট হাইড্রোস্ট্যাটিক বল (Total Hydrostatic Force) এবং সেন্টার অব প্রেশার (Center of Pressure) হিসাব করো। [মান: ৫]
১. মোট হাইড্রোস্ট্যাটিক বল:
ক্ষেত্রফল \(A = 2.2 imes 3.2 = 7.04 ext{ m}^2\)।
\[F = \gamma \cdot A \cdot ar{h} = 9.81 imes 7.04 imes 4.1 = 283.16 ext{ kN}\]
২. সেন্টার অব প্রেশার (\(h_p\)):
\[I_G = rac{b h^3}{12} = rac{2.2 imes 3.2^3}{12} = 6.0075 ext{ m}^4\]
\[h_p = ar{h} + rac{I_G}{A \cdot ar{h}} = 4.1 + rac{6.0075}{7.04 imes 4.1} = 4.308 ext{ m}\]
নিমজ্জিত সমতলের উপর হাইড্রোস্ট্যাটিক চাপ ও চাপের কেন্দ্র নির্ণয়।
একটি মাটির নমুনার শূন্যস্থান অনুপাত \(e = 0.615\), আপেক্ষিক গুরুত্ব \(G_s = 2.66\) এবং জলীয় অংশ \(w = 16.0\%\)। মাটিটির সম্পৃক্ততার মাত্রা (Degree of Saturation, \(S_r\)) এবং শুষ্ক একক ওজন (Dry Unit Weight, \(\gamma_d\)) নির্ণয় করো। (\(\gamma_w = 9.81 ext{ kN/m}^3\)) [মান: ৫]
১. সম্পৃক্ততার মাত্রা:
\[S_r \cdot e = w \cdot G_s \implies S_r = rac{w \cdot G_s}{e} imes 100 = rac{0.16 imes 2.66}{0.615} imes 100 = 69.2\%\longleftarrow\]
২. শুষ্ক একক ওজন:
\[\gamma_d = rac{G_s \cdot \gamma_w}{1 + e} = rac{2.66 imes 9.81}{1 + 0.615} = 16.16 ext{ kN/m}^3\]
সয়েল মেকানিক্স থ্রি-ফেজ সিস্টেম ফান্ডামেন্টাল রিলেশনশিপ।
প্রিজম্যাটিক কম্পাস দিয়ে একটি ট্রাভার্সের AB রেখার ফোর বেয়ারিং \(FB = 46^\circ 30'\) এবং ব্যাক বেয়ারিং \(BB = 226^\circ 30'\) পাওয়া গেল। রেখাটি স্থানীয় আকর্ষণ (Local Attraction) মুক্ত কিনা তা যাচাই করো এবং স্থানীয় আকর্ষণ দূরীকরণের নিয়মাবলী ব্যাখ্যা করো। [মান: ৫]
পরীক্ষা:
\[|BB - FB| = |226^\circ 30' - 46^\circ 30'| = 180^\circ 00'\]
যেহেতু ফোর বেয়ারিং এবং ব্যাক বেয়ারিংয়ের পার্থক্য হুবহু \(180^\circ\), তাই স্টেশন A এবং B উভয়েই স্থানীয় আকর্ষণমুক্ত।
যদি পার্থক্য \(180^\circ\) না হতো, তবে নির্ভুল স্টেশন হতে ক্রমান্বয়ে অভ্যন্তরীণ কোণ বা ত্রুটি সংশোধন করতে হতো।
কম্পাস সার্ভে, স্থানীয় আকর্ষণ ও বেয়ারিং সংশোধন।